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厳格さ（イギリス英語）または厳密さ（アメリカ英語、綴りの違いを参照）は、硬直性や厳格さの状態を表します。[ 1 ]これらの制約は、「飢饉の厳しさ」のように環境的に課せられたもの、一貫した答えを維持しなければならない数学的証明のように論理的に課せられたもの、倫理や法律を定義するプロセスのように社会的に課せられたものなどがあります。
「Rigour」は、古フランス語（13世紀、現代フランス語rigueur ）の「堅苦しさ」という語から英語に入ってきたもので、これはラテン語のrigorem（主格rigor）「麻痺、堅苦しさ、硬さ、しっかりさ、粗野さ、無作法さ」に由来し、動詞rigere「堅苦しい」から来ている。[ 2 ]この名詞は、選択または受動的に経験された状況や制約から生じる厳格さや堅苦しさの状態を表すためによく使われた。例えば、Theologia Moralis Inter Rigorem et Laxitatem Mediという本のタイトルは、おおよそ「厳格さと緩さの間の神学的道徳の仲介」と訳される。この本は、聖職者に対して、教会法に厳密に従う義務がある状況と、より寛容であってもなお道徳的とみなされる状況について詳しく述べている。[ 3 ]死後硬直は、死（mortis ）の硬直（rigor ）と直訳され、これもまた、ある制約（死）から生じる状態を表しています。
知的厳密性とは、一貫性があり、自己矛盾を含まず、その主題に関する利用可能な知識の全範囲を考慮に入れる思考プロセスである。それは論理的誤謬を積極的に回避する。さらに、利用可能な知識に対する懐疑的な評価を必要とする。主題や事例が厳密な方法で扱われるということは、通常、それが包括的、徹底的かつ完全な方法で扱われ、矛盾の余地がないことを意味する。[ 4 ]
学術的方法とは、出版される情報の質を確保するために、組織レベルで知的厳密性を適用する際に用いられる様々なアプローチや手法を指します。体系的なアプローチによって支えられる知的厳密性の一例として、科学的方法が挙げられます。科学的方法では、人は自分が正しいと信じることに基づいて仮説を立て、その仮説が誤りであることを証明するために実験を行います。この方法を正しく適用すれば、学術界で結論を悩ませる循環論法やその他の誤謬を防ぐことができます。哲学や数学などの他の分野では、知的厳密性を確保するために独自の構造を採用しています。どの方法においても、論理的一貫性の基準、関連するすべての証拠、そして解釈の相違の可能性に細心の注意を払う必要があります。組織レベルでは、査読制度が知的厳密性を検証するために用いられます。
知的厳密性は知的誠実性の一部であり、自分の信念を有効な証拠に比例させる思考の実践である。[ 5 ]知的誠実性とは、アイデアの獲得、分析、伝達に対する偏りのないアプローチである。人は、真実を知っていて、外部の社会的/環境的圧力に関係なくその真実を述べるときに、知的誠実である。誰も自分の前提を完全に制御することはできないという理由で、完全な知的誠実性が存在するかどうかを疑うことは可能だが、ある種の知的厳密性が潜在的に可能であることを疑うことはない。議論の前提に欠陥があると主張したい場合は、この区別は議論において確かに非常に重要である。
知的厳密性を追求する場では、議論を進めるにあたって、原則に基づいた立場を前提とする傾向がある。例えば政治の世界ではよく見られるが、手近にある議論を都合よく利用する日和見主義的な傾向は、厳密とは言えない。ある日はある主張をし、翌日には別の主張をするという行為は、事例主義、つまり「事例が異なる」と言うことで正当化されてしまう。
法的な文脈においては、実際的な観点から言えば、個々の事案の事実関係は常に異なる。そのため、判例法は原則的なアプローチと矛盾することがあり、知的厳密性が損なわれるように見えることもある。これが、成文化されていない法律に関して裁判官が抱える問題点である。成文化された法律は、明確な原則を本質を損なうことなく解釈し適用するという、また別の問題を抱えている。この場合、法律の条文を厳格に適用することが、時として原則的なアプローチを損なうように見えることがある。
数学的厳密性は、数学的証明の方法と数学的実践の方法の両方に適用できる（したがって、厳密性の他の解釈とも関連する）。
数学的厳密性は、数学的証明の一種のゴールドスタンダードとしてしばしば挙げられる。その歴史はギリシャ数学、特にユークリッドの『原論』に遡る。[ 6 ]
19 世紀までは、ユークリッドの『原論』は非常に厳密で深遠なものと見なされていましたが、19 世紀後半にヒルベルト(その他) は、この著作にはいくつかの暗黙の前提が残されていることに気付きました。これらの前提は、ユークリッドの公理からは証明できないものでした (例えば、2 つの円は 1 点で交わる、ある点はある角の内側にある、図形は互いに重ね合わせることができるなど)。[ 7 ]これは、すべての前提を明示し、何も暗黙のうちに残してはならないという厳密な証明の考え方に反していました。この『原論』に見られる厳密さのギャップに対処するために、公理的方法を用いた新しい基礎が開発されました(例えば、ヒルベルトの公理、ビルコフの公理、タルスキの公理など)。
19世紀には、「厳密な」という用語は、微積分を扱う際の抽象化のレベルが高まっていくことを表すために使われるようになり、これは最終的に数学解析として知られるようになりました。コーシーの業績は、オイラーとガウスの古い業績に厳密さを加えました。リーマンの業績は、コーシーの業績に厳密さを加えました。ワイエルシュトラスの業績は、リーマンの業績に厳密さを加え、最終的に解析の算術化へと至りました。1870年代以降、この用語は徐々にカントール集合論と関連付けられるようになりました。
数学的厳密性は、アルゴリズムによる証明検証への適合性としてモデル化できる。実際、コンピュータの助けを借りれば、いくつかの証明を機械的に検証することが可能である。[ 8 ]形式的厳密性とは、 ZFCなどの集合論を用いて証明をコード化できる形式言語によって、高度な完全性を導入することである（自動定理証明を参照）。
発表される数学的議論は厳密性の基準に準拠する必要があるが、記号と自然言語が混在した形で記述される。この意味で、数学的な文章は形式的証明の原型と言える。多くの場合、書かれた証明は、まだ形式化されていなくても厳密であると認められる。数学者が非形式的な記述を好む理由としてよく挙げられるのは、完全に形式的な証明は長くなり、扱いにくくなるため、議論の流れが不明瞭になる傾向があるからである。人間の直感には自明に見える議論でも、実際には公理からかなり長い形式的な導出が必要となる場合がある。特に有名な例として、『プリンキピア・マテマティカ』において、ホワイトヘッドとラッセルは、「1+1=2」と言うことが確かに意味のあることであると証明するために、かなり難解な記述を何行も費やしている。要するに、文章においては、形式性よりも理解しやすさが優先されるのである。
しかし、自動定理証明システムの支持者は、証明の形式化によって、非公式な記述における欠陥や不備が明らかになり、数学的な厳密性が向上すると主張するかもしれない。証明の正しさが争われた場合、形式化は誤解や曖昧さを減らすのに役立つため、そのような論争を解決する手段となる。
物理学における数学的厳密性の役割は二つある。
物理学における数学的厳密性の両側面は、科学哲学においてかなりの注目を集めてきた（例えば、参考文献[ 10 ]および参考文献[ 11 ]、およびそこに引用されている文献を参照）。
授業における厳格さは、教育者の間で激しい議論の的となっている。その言葉の意味さえも議論の的となっている。
一般的に言って、教室での厳しさとは、多角的で挑戦的な指導と、生徒の適切な配置によって成り立つものです。形式的操作的思考に優れた生徒は、才能のある生徒向けのクラスで優れた成績を収める傾向があります。発達心理学者のジャン・ピアジェによれば、認知発達 の最終段階に達していない生徒でも、適切な訓練を受けた教師の助けを借りれば、その能力をさらに伸ばすことができます。
教室での厳しさは一般的に「厳密な指導」と呼ばれています。それは、生徒が自ら意味を構築し、情報に構造を与え、個々のスキルをプロセスに統合し、能力の範囲内で限界に挑戦し、学んだことを複数の文脈や予測不可能な状況に適用することを求める指導です。[ 12 ]