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『分析家：異教徒の数学者に宛てた論考：現代分析の対象、原理、推論が、宗教の神秘や信仰の要点よりも明確に構想されているか、あるいはより明白に演繹されているかを検証する』は、ジョージ・バークリーの著書である。1734年にJ.トンソン（ロンドン）によって初版が発行され、その後S.フラー（ダブリン）によって出版された。「異教徒の数学者」とはエドモンド・ハレーのことと考えられているが、アイザック・ニュートンのことではないかと推測する人もいる。 [ 1 ]
本書は、微積分学の基礎、特にアイザック・ニュートンの流率の概念とライプニッツの微小変化の概念に対する直接的な批判を含んでいる。
バークレーは作家としての初期の頃から、風刺的なペンを手に取り、当時「自由思想家」（世俗主義者、懐疑論者、不可知論者、無神論者など、要するに、キリスト教の教えの真理を疑ったり、公共生活における宗教の縮小を主張したりする人）と呼ばれていた人々を攻撃していた。[ 2 ] 1732年、この取り組みの最新版として、バークレーはさまざまなタイプの「自由思想家」に向けた対話集である『アルキフロン』を出版した。バークレーが取り上げた典型的な人物の1人は、キリスト教の神秘を不必要な迷信として捨て去り、人間の理性と科学の確実性に対する自信を表明する世俗的な科学者だった。バークレーは、彼の主張に対して、キリスト教信仰のこれらの要素の妥当性と有用性を巧妙に擁護した。
『アルキフロン』は広く読まれ、ちょっとした騒ぎを巻き起こした。しかし、バークレーが再びペンを手に取り、新たな試みに挑戦するきっかけとなったのは、自由思想家として知られる王室天文学者エドモンド・ハレー卿が、バークレーの主張を何気なく嘲笑したコメントだった。その結果生まれたのが『分析家』である。これは、自由思想家たちが宗教的真理を攻撃するのと同じ勢いとスタイルで、数学の基礎を攻撃する風刺作品として構想された。
バークレーは、当時の微積分学の基礎を解体しようと試み、証明における数々の欠陥を暴いたと主張し、無限小、単位正方形の対角線、数そのものの存在などを攻撃した。その主な目的は、数学や数学者を嘲笑することではなく、むしろ、彼らが批判したキリスト教徒と同様に、数学者もまた、推論の基礎において不可知の神秘に頼っていることを示すことであった。さらに、こうした「迷信」の存在は数学的推論にとって致命的なものではなく、むしろ助けとなるものであった。キリスト教徒とその神秘についても同様である。バークレーは、数学の確実性は宗教の確実性よりも大きいものではないと結論づけた。
『アナリスト』は、微積分学の基礎、特にニュートンの流率の概念とライプニッツの微小変化の概念に対する直接的な攻撃であった。第16節でバークレーは、
…ある時点まで増加を仮定して進み、その後すぐに増加がないという仮定に切り替えるという誤った方法…なぜなら、この2番目の仮定が通常のoによる除算の前になされていたならば、すべてが一瞬にして消え去り、仮定によって何も得られなかったはずだからである。一方、最初に除算し、次に仮定を変更するというこの技巧によって、1 と nx n-1が保持される。しかし、これを覆い隠すためのこのすべての説明にもかかわらず、誤謬は依然として同じである。[ 3 ]
これはよく引用される一節で、特に彼が次のように書いたときに引用される。[ 4 ] [ 5 ]
そして、これらの流束とは何でしょうか？ 消えゆく増分の速度でしょうか？ そして、これらの消えゆく増分とは何でしょうか？ それらは有限量でもなく、無限に小さい量でもなく、かといって無でもありません。 それらを、消え去った量の幽霊と呼んではいけないでしょうか？[ 6 ]
バークレーは微積分の結果に異議を唱えたのではなく、結果が正しいことを認めた。彼の批判の要点は、微積分が宗教よりも論理的に厳密ではないということだった。彼はむしろ、数学者が宗教の教義の信奉者と同じように「権威に服従し、物事を信頼する」[ 7 ]のかどうかを疑問視した。バートンによれば、バークレーは微積分の結果の正しさを説明するために、巧妙な相殺誤差の理論を導入した。バークレーは、微積分を行う者がいくつかの誤差を導入し、それらが相殺されて正しい答えが残ると主張した。彼自身の言葉を借りれば、「二重の誤りによって、科学には至らないものの、真理にたどり着く」[ 8 ]のである。
ニュートンがこの論説の意図された受取人であったという考えは、本の終盤に現れる次の一節によって疑問視される。 「質問58：同じ人々が偉大な著者の流率論を賞賛し、彼の宗教を嘲笑するのは、本当に思考の結果なのか？」[ 9 ]
ここでバークレーは、ニュートン（微分積分学の後の版における微分にほぼ相当する「流率」の発明者）を天才として称賛する人々を嘲笑し、彼のよく知られた宗教性を揶揄している。バークレーがここでニュートンの宗教的信仰に明確に言及していることから、読者に「無神論者（つまり信仰を持たない）数学者」をニュートンと同一視させようとしたわけではないと思われる。
数学史家のジュディス・グラビナーは、「バークレーの微積分学の厳密さに対する批判は、機知に富み、辛辣で、そして彼が批判していた数学的実践に関して言えば、本質的に正しかった」と述べている。[ 10 ]数学的実践に対する彼の批判は妥当であったが、彼の論文は論理的および哲学的根拠から批判されてきた。
例えば、デイヴィッド・シェリーは、バークレーの微積分学に対する批判は論理的批判と形而上学的批判から成ると主張している。論理的批判は、仮定の誤謬（fallacia suppositionis）であり、これは、ある仮定によって議論の論点を獲得し、その論点を維持したまま、矛盾する仮定で議論を結論づけることを意味する。形而上学的批判は、流率、モーメント、微分などの概念の存在そのものに対する挑戦であり、指示対象のない表現を許容しないバークレーの経験主義哲学に根ざしている。 [ 11 ]アンダーセン（2011）は、バークレーの誤謬補償の教義には論理的な循環が含まれていることを示した。すなわち、バークレーによる二次関数の導関数の決定は、アポロニウスによる放物線の接線の決定に依拠している。[ 12 ]
この出版から2年後、トーマス・ベイズは匿名で「流率の教義入門、および『解析学』の著者の異議に対する数学者の弁護」（1736年）を出版し、その中でアイザック・ニュートンの微積分学の論理的基礎を『解析学』で概説された批判から擁護した。コリン・マクローリンの2巻からなる『流率論』も1742年に出版され、バークレーの攻撃への反論として始まり、ニュートンの微積分学をギリシャ幾何学の方法に還元することで、その厳密性を示すことを目的としていた。[ 10 ]
これらの試みにもかかわらず、微積分は厳密でない方法を用いて発展し続け、1830 年頃にオーギュスタン・コーシー、そして後にベルンハルト・リーマンとカール・ワイエルシュトラスが、極限の概念の厳密な定義を用いて 微分と積分を再定義するまで続いた。極限を微積分の基礎として用いるという考えはダランベールによって提案されていたが、ダランベールの定義は現代の基準からすると厳密ではなかった。[ 13 ]極限の概念はすでにニュートンの著作に現れていたが、[ 14 ]バークレーの批判に耐えうるほど明確に述べられていなかった。[ 15 ]
1966年、アブラハム・ロビンソンは非標準解析を提唱し、無限小量を扱うための厳密な基礎を提供した。これは、極限の(ε, δ)定義が完全に確立される以前の方法と同様に、微積分を数学的に厳密な基礎の上に築くもう一つの方法となった。
『分析家』の終盤で、バークレーは数学者が提示する可能性のある微積分学の基礎の正当化について論じている。流率を消滅する量の究極的な比率を用いて定義できるという考えに対し、バークレーは次のように書いている。[ 16 ]
ニュートンは、建物の足場のように、有限の線が比例して見つかるとすぐに脇に置いたり取り除いたりするものとして、流率を用いたことは確かに認めざるを得ない。しかし、これらの有限の指数は流率の助けを借りて見つかる。したがって、そのような指数と比例によって得られるものはすべて流率に帰属するものでなければならない。したがって、流率は事前に理解されていなければならない。では、これらの流率とは何だろうか？ はかない増分の速度だろうか？ そして、これらのはかない増分とは何だろうか？ それらは有限の量でも、無限に小さい量でもなく、かといって無でもない。それらを去った量の幽霊と呼んではいけないだろうか？[ 6 ]
エドワーズはこれを本書で最も印象的な点だと述べている。[ 15 ]カッツとシェリーは、この表現は無限小とニュートンの流率理論の両方を扱うことを意図していたと主張している。[ 17 ]
今日では、「消え去った量の幽霊」という表現は、バークレーが微積分学の他の基礎を攻撃したことを論じる際にも使われています。特に、無限小[ 18 ]を論じる際に使われますが、微分[ 19 ]や不等式[ 20 ]を論じる際にも使われます。
『ジ・アナリスト』の全文は、ウィキソースや、デイビッド・R・ウィルキンスのウェブサイト[ 21 ]で読むことができ、そこには解説やバークレーの同時代人による反応へのリンクも含まれている。
『アナリスト』は、解説付きで近年の著作にも再録されている。
エヴァルトは、バークレーが当時の微積分学に対して行った異議は、当時としては概ね妥当であったと結論づけている。
ウィキソースにある『アナリスト：異教徒の数学者に向けた論説』に関連する作品