期待値

パスカルもホイヘンスも「期待」という言葉を現代的な意味では使っていません。特にホイヘンスは次のように書いています。^{[ 7 ]}

何かを獲得するチャンスや期待値は、同じチャンスと期待値で公正な賭けをした場合に得られる金額と全く同じ価値を持つ。...私がaまたはbを期待し、それらを獲得する確率が等しい場合、私の期待値は(a+b)/2となる。

100年以上後の1814年、ピエール＝シモン・ラプラスは論文「確率の解析理論」を発表し、その中で期待値の概念を明示的に定義した。^{[ 8 ]}

確率論におけるこの利点は、期待される合計とそれを得る確率の積である。これは、分配が確率に比例すると仮定して、その事象のリスクを負いたくない場合に生じるべき部分的な合計である。あらゆる異常な状況が排除された場合、この分配は唯一公平な分配である。なぜなら、等しい確率は、期待される合計に対する等しい権利を与えるからである。我々はこの利点を数学的希望と呼ぶことにする。

確率変数を考える${\displaystyle X}$有限リスト​${\displaystyle x_{1},...,x_{k}}$起こりうる結果のそれぞれが（それぞれ）確率を持つ${\displaystyle p_{1},...,p_{k}}$発生すること。${\displaystyle X}$^{[ 12 ]}と定義される$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.}$$

確率は満たさなければならない${\displaystyle p_{1}+...+p_{k}=1}$解釈するのは自然なことだ${\displaystyle E[X]}$加重平均として${\displaystyle x_{i}}$値、それぞれの確率によって重みが与えられる${\displaystyle p_{i}}$。

すべての可能な結果が等確率である特別な場合（つまり、${\displaystyle p_{1}=...=p_{k}}$加重平均は標準平均で与えられます。一般的に、期待値は、ある結果が他の結果よりも起こりやすいという事実を考慮に入れています。

例

• させて${\displaystyle X}$公平な6面サイコロを振った結果を表す。より具体的には、${\displaystyle X}$は、サイコロを投げた後、上面に表示される目（ピップ）の数になります。 の可能な値は、${\displaystyle X}$1、2、3、4、5、6 はすべて同じ確率で 1/6 で発生する。期待値は${\displaystyle X}$は$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.}$$サイコロを振ると${\displaystyle n}$を回して結果の平均（算術平均）を計算し、${\displaystyle n}$が増加すると、平均値はほぼ確実に 期待値に収束します。これは大数の強法則として知られています。
• ルーレットゲームは、小さなボールと、周囲に38個の番号付きポケットがあるホイールで構成されています。ホイールが回転すると、ボールはランダムに跳ね回り、いずれかのポケットに落ち着くまで続きます。ランダム変数を仮定します。${\displaystyle X}$これは、 1つの数字に1ドルを賭けた（「ストレートアップ」ベット）結果（金銭的）を表します。賭けが当たった場合（アメリカンルーレットでは確率1/38）、配当は35ドルです。そうでなければ、プレイヤーは賭けに負けます。このような賭けからの期待利益は$${\displaystyle \operatorname {E} [\,{\text{gain from }}\$1{\text{ bet}}\,]=-\$1\cdot {\frac {37}{38}}+\$35\cdot {\frac {1}{38}}=-\${\frac {1}{19}}.}$$つまり、1ドルの賭け金から得られる期待値は-1/19ドルです。したがって、 190回の賭けでは、純損失は約10ドルになるでしょう。

非公式には、可算無限個の可能な結果を​​持つ確率変数の期待値は、すべての可能な結果の加重平均として同様に定義され、重みは各値が実現する確率によって与えられます。つまり、 $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},}$$ どこ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$確率変数の可能な結果は次のとおりです。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle p_{1},p_{2},...}$それらは対応する確率である。多くの非数学の教科書では、これがこの文脈における期待値の完全な定義として提示されている。^{[ 13 ]}

しかし、無限和には微妙な点があるため、上記の式は数学的な定義としては適切ではありません。特に、数学解析におけるリーマン級数の定理は、正負の項を含む特定の無限和の値が、項の順序に依存することを示しています。確率変数の結果には自然な順序がないため、期待値を正確に定義することが困難になります。

このため、多くの数学の教科書では、上記の無限和が絶対収束する場合のみを考慮しており、これは無限和が項の順序に関係なく有限数であることを意味します。^{[ 14 ]}無限和が絶対収束しない場合は、確率変数の期待値が有限ではないと言われます。^{[ 14 ]}

ここで確率変数を考えてみましょう${\displaystyle X}$確率密度関数は関数によって与えられる${\displaystyle f}$実数直線上。これは、確率が${\displaystyle X}$与えられた開区間内で任意の値をとる関数fの期待値は、その区間におけるfの積分によって与えられる。${\displaystyle X}$積分^{[ 15 ]によって与えられる。}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx.}$$ この定義の一般的かつ数学的に厳密な定式化には測度論とルベーグ積分が用いられ、絶対的に連続な確率変数の対応する理論は次のセクションで説明される。多くの一般的な分布の密度関数は区分的に連続であり、そのためこの理論はしばしばこの制限された設定で展開される。^{[ 16 ]}このような関数については、標準的なリーマン積分のみを考慮すれば十分である。連続確率変数は、この特殊なクラスの密度に対応するものとして定義されることもあるが、この用語は著者によって異なる意味で使用されている。

上記の可算無限の場合と同様に、積分領域が無限であるため、この式には微妙な点があります。このような微妙な点は、分布が${\displaystyle X}$はコーシー分布Cauchy(0, π)によって与えられるので、${\displaystyle f(x)=(x^{2}+\pi ^{2})^{-1}}$この場合、計算は簡単である。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}xf(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {x}{x^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}+\pi ^{2}}{a^{2}+\pi ^{2}}}.}$$ この式の極限は${\displaystyle a\to -\infty }$そして${\displaystyle b\to +\infty }$存在しない:制限が次のように取られる場合${\displaystyle a=-b}$制約がゼロの場合、${\displaystyle 2a=-b}$が取られると、極限は${\displaystyle \ln(2)}$。

このような曖昧さを避けるため、数学の教科書では、与えられた積分が絶対収束し、${\displaystyle E[X]}$それ以外の場合は未定義のままとなる。^{[ 17 ]}ただし、以下に示す測度論的概念を用いて体系的な定義を与えることができる。${\displaystyle E[X]}$より一般的な確率変数${\displaystyle X}$。

期待値の定義はすべて測度論の言葉で表現できる。一般に、${\displaystyle X}$は確率空間上で定義された実数値の確率変数である。${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,P)}$すると、期待値は${\displaystyle X}$、で示される${\displaystyle E[X]}$は、ルベーグ積分として定義される^{[ 18 ]}$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{\Omega }X\,d\operatorname {P} .}$$ 新たに抽象化された状況にもかかわらず、この定義は、上記で示した期待値の最も単純な定義、つまり特定の加重平均と本質的に非常によく似ています。これは、測度論では、ルベーグ積分の値が${\displaystyle X}$は、近似値の加重平均によって定義される。${\displaystyle X}$有限個の値をとる確率変数。^{[ 19 ]}さらに、有限個または可算個の値をとる確率変数が与えられた場合、ルベーグ期待値理論は上記の総和公式と同一になります。ただし、ルベーグ理論は確率密度関数の理論の範囲を明確にします。確率変数${\displaystyle X}$以下のいずれかの条件が満たされる場合、それは絶対連続であると言われます。

• 非負の可測関数が存在する${\displaystyle f}$実数直線上で$${\displaystyle \operatorname {P} (X\in A)=\int _{A}f(x)\,dx,}$$ボレルセットの場合${\displaystyle A}$ここで、積分はルベーグ積分である。
• 累積分布関数${\displaystyle A}$絶対的に連続的である。
• ボレルセットの場合${\displaystyle A}$ルベーグ測度がゼロの実数の場合、確率は${\displaystyle X}$高く評価されている${\displaystyle A}$ゼロにも等しい
• 任意の正の数に対して${\displaystyle \varepsilon }$正の数があります${\displaystyle \delta }$つまり、もし${\displaystyle A}$は、ルベーグ測度が以下のボレル集合である。${\displaystyle \delta }$すると、${\displaystyle X}$高く評価されている${\displaystyle A}$より小さい${\displaystyle \varepsilon }$。

これらの条件はすべて同等であるが、これを確立するのは容易ではない。^{[ 20 ]}この定義では、${\displaystyle f}$は確率密度関数と呼ばれます${\displaystyle X}$（ルベーグ測度に関して）。ルベーグ積分の変数変換公式^{[ 21 ]}と無意識の統計学者の法則[ ^{22 ]を}組み合わせると、次のことが導かれる。 $${\displaystyle \operatorname {E} [X]\equiv \int _{\Omega }X\,d\operatorname {P} =\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,dx}$$ 絶対的に連続な確率変数${\displaystyle X}$以上の連続確率変数に関する議論は、区分的に連続な関数はすべて可測であるという事実から、一般的なルベーグ理論の特殊な場合である。

実数値の確率変数の期待値${\displaystyle X}$累積分布関数のグラフ上でも定義できる${\displaystyle F}$面積がほぼ等しいことから、${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\mu }$実数${\displaystyle \mu }$2 つの表面が${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$平面、以下で記述される $${\displaystyle x\leq \mu ,\;\,0\leq y\leq F(x)\quad {\text{or}}\quad x\geq \mu ,\;\,F(x)\leq y\leq 1}$$ それぞれ、同じ有限面積を持つ、つまり、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\mu }F(x)\,dx=\int _{\mu }^{\infty }{\big (}1-F(x){\big )}\,dx}$$ そして、両方の広義リーマン積分は収束する。最後に、これは次の表現と同等である。 $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}1-F(x){\bigr )}\,dx-\int _{-\infty }^{0}F(x)\,dx,}$$ 収束積分の場合も同様である。^{[ 23 ]}

上記で定義した期待値は自動的に有限値になります。しかし、多くの場合、期待値を考慮することが不可欠です。${\displaystyle \pm \infty }$これは直感的に理解できる。例えば、サンクトペテルブルクのパラドックスの場合、可能な結果を​​持つ確率変数を考える。${\displaystyle x_{i}=2^{i}}$関連する確率とともに${\displaystyle p_{i}=2^{-i}}$、 のために${\displaystyle i}$すべての正の整数にわたる。可算個の結果を持つ確率変数の場合の総和公式によれば、次のようになる。 $${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=2\cdot {\frac {1}{2}}+4\cdot {\frac {1}{4}}+8\cdot {\frac {1}{8}}+16\cdot {\frac {1}{16}}+\cdots =1+1+1+1+\cdots .}$$ 期待値は${\displaystyle +\infty }$。

このような考え方の根底には厳密な数学理論があり、それはしばしばルベーグ積分の定義の一部として扱われます。^{[ 19 ]}最初の基本的な観察は、上記の定義のいずれに従う場合でも、任意の非負の確率変数には明確な期待値を与えることができるということです。絶対収束が失敗するときはいつでも、期待値は次のように定義できます。${\displaystyle +\infty }$2つ目の基本的な観察は、任意の確率変数は2つの非負の確率変数の差として表すことができるということです。${\displaystyle X}$正の部分と負の部分を次のように定義します。${\displaystyle X^{+}=\max(X,0)}$そして${\displaystyle X^{-}=\max(-X,0)}$これらは非負の確率変数であり、直接確認できる。${\displaystyle X=X^{+}-X^{-}}$。 以来${\displaystyle E[X^{+}]}$そして${\displaystyle E[X^{-}]}$はどちらも非負数または+∞として定義されるため、次のように定義するのが自然である。 $${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\begin{cases}\operatorname {E} [X^{+}]-\operatorname {E} [X^{-}]&{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty$$ ;\\+\infty &{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]<\infty  ;\\-\infty &{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]<\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty  ;\\{\text{undefined}}&{\text{if }}\operatorname {E} [X^{+}]=\infty {\text{ and }}\operatorname {E} [X^{-}]=\infty .\end{cases}}}

この定義によれば、${\displaystyle E[X]}$存在し、かつ有限であるのは、${\displaystyle E[X^{+}]}$そして${\displaystyle E[X^{-}]}$両方とも有限です。式により${\displaystyle \left|X\right|=X^{+}+X^{-}}$これは、${\displaystyle E[\left|X\right|]}$は有限であり、これは上記の定義における絶対収束条件と同等である。したがって、本稿で考察する内容は、これまで検討されていないいかなる場合においても有限の期待値を定義するものではなく、無限の期待値の場合にのみ有効である。

• サンクトペテルブルクのパラドックスの場合、${\displaystyle X^{-}=0}$など${\displaystyle E[X]=+\infty }$ご希望に応じて。
• 確率変数${\displaystyle X}$値を取る${\displaystyle 1,-2,3,-4,...}$それぞれの確率で${\displaystyle 6\pi ^{-2},6(2\pi )^{-2},6(3\pi )^{-2},6(4\pi )^{-2},...}$すると、次のことが導かれる。${\displaystyle X^{+}}$価値を持つ${\displaystyle 2k-1}$ 確率で${\displaystyle 6((2k-1)\pi )^{-2}}$各正の整数に対して${\displaystyle k}$価値を持ちます${\displaystyle 0}$残りの確率で。同様に、${\displaystyle X^{-}}$価値を持つ${\displaystyle 2k}$確率で${\displaystyle 6(2k\pi )^{-2}}$各正の整数に対して${\displaystyle k}$そして価値を取る${\displaystyle 0}$残りの確率で。非負の確率変数の定義を用いると、両方とも${\displaystyle E[X^{+}]=\infty }$そして${\displaystyle E[X^{-}]=\infty }$（調和級数を参照）。したがって、この場合の期待値は${\displaystyle X}$未定義です。
• 同様に、前述したように、コーシー分布の期待値は定義されていません。

非負の整数値をとる確率変数の場合${\displaystyle X}$期待値は、その裾確率（裾和公式と呼ばれることもある）を用いて表現することもできます。

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum _{k=0}^{\infty }\Pr(X>k).}$

より一般的なバージョンは、任意の非負の確率変数（離散型または連続型）に対して成り立つ。

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }\Pr(X>t)\,dt,}$

ここで、被積分関数は生存関数である。${\displaystyle X}$。

集中不等式は、確率変数が大きな値を取る可能性を制御します。マルコフの不等式は最もよく知られており、証明も最も簡単です。非負の確率変数Xと任意の正の数aに対して、 ^{[ 37 ]}が成り立ちます。$${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} [X]}{a}}.}$$

X が有限期待値を持つ任意の確率変数である場合、マルコフの不等式を確率変数| X −E[ X ]| ²に適用すると、チェビシェフの不等式が得られます。$${\displaystyle \operatorname {P} (|X-{\text{E}}[X]|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} [X]}{a^{2}}},}$$ ここでVarは分散です。^{[ 37 ]}これらの不等式は、条件付き仮定がほとんどない点で重要です。たとえば、有限の期待値を持つ任意の確率変数に対して、チェビシェフの不等式は、結果が期待値の 2標準偏差の範囲内にある確率が少なくとも 75% であることを意味します。ただし、特殊なケースでは、マルコフの不等式とチェビシェフの不等式は、通常得られる情報よりもはるかに弱い情報を提供することがよくあります。たとえば、重み付けされていないサイコロの場合、チェビシェフの不等式は、1 から 6 の間を転がす確率が少なくとも 53% であることを示していますが、実際には、確率は当然 100% です。^{[ 38 ]}コルモゴロフの不等式は、チェビシェフの不等式を確率変数の和の文脈に拡張したものです。^{[ 39 ]}

以下の３つの不等式は、数学解析の分野および確率論への応用において、根本的に重要な意味を持つ。

• イェンセンの不等式：f : R → R を凸関数とし、X を有限期待値を持つ確率変数とする。このとき^{[ 40 ]}$${\displaystyle f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X)).}$$主張の一部は、f ( X )の負の部分が有限の期待値を持つため、右辺が適切に定義される（おそらく無限大になる）ということです。f の凸性は、2つの入力の加重平均の出力が、2 つの出力の同じ加重平均を過小評価する、と表現できます。イェンセンの不等式は、これを期待値で表される完全に一般的な加重平均の設定に拡張します。f ( x ) = | x | t / s という特別な場合（正の数s < ^tの場合）、リアプノフの不等式^{[ 41 ]}が得られます。$${\displaystyle \left(\operatorname {E} |X|^{s}\right)^{1/s}\leq \left(\operatorname {E} |X|^{t}\right)^{1/t}.}$$これはヘルダーの不等式によっても証明できます。^{[ 40 ]}測度論では、これは特に確率空間の特殊な場合において、L ^p空間のL ^s ⊂ L ^tの包含を証明する上で注目に値します。
• ヘルダーの不等式：p > 1およびq > 1がp ⁻¹ + q ⁻¹ = 1を満たす数である場合、$${\displaystyle \operatorname {E} |XY|\leq (\operatorname {E} |X|^{p})^{1/p}(\operatorname {E} |Y|^{q})^{1/q}.}$$任意の確率変数XとYに対して。^{[ 40 ]} p = q = 2の特殊なケースはコーシー・シュワルツの不等式と呼ばれ、特に有名である。^{[ 40 ]}
• ミンコフスキーの不等式：任意の数p ≥ 1が与えられたとき、E| X | ^pとE| Y | ^pの両方が有限である任意の確率変数XとYに対して、 E| X + Y | ^pも有限であり、^{[ 42 ]}$${\displaystyle {\Bigl (}\operatorname {E} |X+Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\leq {\Bigl (}\operatorname {E} |X|^{p}{\Bigr )}^{1/p}+{\Bigl (}\operatorname {E} |Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}.}$$

ヘルダーの不等式とミンコフスキーの不等式は、一般的な測度空間にも拡張でき、しばしばその文脈で用いられる。一方、イェンセンの不等式は、確率空間の場合に特有のものである。

一般的には、${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]\to \operatorname {E} [X]}$たとえ${\displaystyle X_{n}\to X}$点ごとに。したがって、確率変数に追加の条件を付けない限り、極限と期待値を入れ替えることはできません。これを確認するには、${\displaystyle U}$は、一様に分布する確率変数である。${\displaystyle [0,1].}$のために${\displaystyle n\geq 1,}$ランダム変数のシーケンスを定義する $${\displaystyle X_{n}=n\cdot \mathbf {1} \left\{U\in \left(0,{\tfrac {1}{n}}\right)\right\},}$$ と${\displaystyle \mathbf {1} \{A\}}$イベントの指標関数である${\displaystyle A.}$すると、次のことが導かれる。${\displaystyle X_{n}\to 0}$ポイントごとに。しかし、${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]=n\cdot \Pr \left(U\in \left[0,{\tfrac {1}{n}}\right]\right)=n\cdot {\tfrac {1}{n}}=1}$各${\displaystyle n.}$したがって、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {E} [X_{n}]=1\neq 0=\operatorname {E} \left[\lim _{n\to \infty }X_{n}\right].}$

同様に、一般的な確率変数の列についても${\displaystyle \{Y_{n}:n\geq 0\},}$期待値演算子は${\displaystyle \sigma }$-添加物、つまり $${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{n=0}^{\infty }Y_{n}\right]\neq \sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {E} [Y_{n}].}$$

例として、以下のように設定すると簡単に得られます。${\displaystyle Y_{0}=X_{1}}$そして${\displaystyle Y_{n}=X_{n+1}-X_{n}}$のために${\displaystyle n\geq 1,}$どこ${\displaystyle X_{n}}$前の例と同様です。

いくつかの収束結果は、以下に示すように、極限と期待値を交換できる正確な条件を規定している。

• 単調収束定理：${\displaystyle \{X_{n}:n\geq 0\}}$はランダム変数の列であり、${\displaystyle 0\leq X_{n}\leq X_{n+1}}$（例）各${\displaystyle n\geq 0.}$さらに、${\displaystyle X_{n}\to X}$点ごとに。すると、単調収束定理は次のように述べている。${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X].}$
  単調収束定理を用いると、期待値は非負の確率変数に対して可算加法性を満たすことが示される。特に、${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=0}^{\infty }}$は非負の確率変数である。単調収束定理から、$${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=0}^{\infty }X_{i}\right]=\sum _{i=0}^{\infty }\operatorname {E} [X_{i}].}$$
• ファトゥの補題：${\displaystyle \{X_{n}\geq 0:n\geq 0\}}$は非負の確率変数の列である。ファトゥの補題によれば、$${\displaystyle \operatorname {E} [\liminf _{n}X_{n}]\leq \liminf _{n}\operatorname {E} [X_{n}].}$$
  系。${\displaystyle X_{n}\geq 0}$と${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n}]\leq C}$すべての人々のために${\displaystyle n\geq 0.}$もし${\displaystyle X_{n}\to X}$（そう）、それから${\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq C.}$
  証明は、${\textstyle X=\liminf _{n}X_{n}}$（そしてファトゥの補題を適用する。）
• 優位収束定理：${\displaystyle \{X_{n}:n\geq 0\}}$は確率変数の列である。${\displaystyle X_{n}\to X}$ポイントごとに（として）、${\displaystyle |X_{n}|\leq Y\leq +\infty }$（として）そして${\displaystyle \operatorname {E} [Y]<\infty .}$そして、優収束定理によれば、
  • ${\displaystyle \operatorname {E} |X|\leq \operatorname {E} [Y]<\infty }$;
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [X]}$
  • ${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} |X_{n}-X|=0.}$
• 一様積分可能性: 場合によっては、等式${\displaystyle \lim _{n}\operatorname {E} [X_{n}]=\operatorname {E} [\lim _{n}X_{n}]}$シーケンスが成り立つときに成り立つ${\displaystyle \{X_{n}\}}$一様積分可能である。

確率密度関数${\displaystyle f_{X}}$スカラー確率変数の${\displaystyle X}$その特性関数に関連している${\displaystyle \varphi _{X}}$逆算式により： $${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt.}$$

期待値については${\displaystyle g(X)}$（どこ${\displaystyle g:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }}$はボレル関数であるため、この逆関数公式を使用して を得ることができます。 $${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }g(x)\left[\int _{\mathbb {R} }e^{-itx}\varphi _{X}(t)\,dt\right]dx.}$$

もし${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]}$は有限であり、積分の順序を変更すると、フビニ・トネリの定理に従って、 $${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }G(t)\varphi _{X}(t)\,dt,}$$ どこ $${\displaystyle G(t)=\int _{\mathbb {R} }g(x)e^{-itx}\,dx}$$はフーリエ変換で ある${\displaystyle g(x).}$表現${\displaystyle \operatorname {E} [g(X)]}$これはプランシュレルの定理からも直接導かれる。