複数の実変数の関数

数学において、複数の実変数関数、または実多変数関数とは、引数が複数あり、すべての引数が実変数である関数を指します。この概念は、実変数関数の概念を複数の変数に拡張したものです。「入力」変数は実数値をとりますが、「出力」、つまり「関数の値」は実数値または複素数値をとります。ただし、複素数値関数の研究は、複素関数の実部と虚部を考慮することで、実数値関数の研究に容易に帰着させることができます。したがって、特に明記しない限り、この記事では実数値関数のみを扱います。

$n 個$ の変数を持つ関数の定義域は⁠の部分集合です $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ⁠関数が定義される対象です。通常どおり、複数の実変数を持つ関数の定義域は、空でない開部分集合を含むものと想定されます。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ⁠ .

一般的な定義

n = 1

n = 2

n = 3

n

個の変数の関数

f (x 1, x 2, \dots, x n)

を、空間

R

n

+ 1

にグラフとしてプロットしたものです。定義域は赤色の

n

次元領域、画像は紫色の

n

次元曲線です。

$n$ 個の実変数の実数値関数とは、 $n$ 個の実数（一般に変数 $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ で表される）を入力として受け取り、別の実数、すなわち関数の値（一般に $f$ $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)と表記される）を出力する関数のことです。簡潔にするため、この記事では複数の実変数の実数値関数を単に「$ 関数」と呼びます。曖昧さを避けるため、その他の種類の関数については明示的に説明します。

関数の中には、変数のすべての実数値に対して定義されるもの（つまり、至るところで定義されるもの）があるが、他の関数は、変数の値が関数の定義域である R n の部分集合 X に含まれる場合にのみ定義される。 $この$ $部分$ 集合 $は$ 常に $R$ $n$ の開集合を含むものと想定される。言い換えれば、 $n 個$ の実変数の実数値関数は関数である。

f:X\to \mathbb {R}

その定義域 $X$ は、空でない開集合を含む $R n$ の部分集合である。

$X$ の要素がn タプル $($ x $1$ $,$ $x$ $2$ $,$ $\dots$ $,$ $x$ $n$ $)$ (通常は括弧で囲まれる)である場合、関数を表す一般的な表記は $f$ $(($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $))$ となります。集合間の関数の一般的な定義よりもはるかに古い一般的な使用法は、二重括弧を使用せず、単に $f$ $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)$ と書くことです。

$n$ タプル $(x 1, x 2, \dots, x n)を、$ ベクトルと同様の表記法、例えば太字 $x$ 、下線 $x$ 、上矢印 $x \to$ などを用いて省略することも一般的です。この記事では太字を使用します。

2変数関数の簡単な例は次のとおりです。

{\begin{aligned}&V:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(A,h)\in \mathbb {R} ^{2}\mid A>0,h>0\right\}\\&V(A,h)={\frac {1}{3}}Ah\end{aligned}}

これは、底面積が $A$ で、底面から垂直に測った高さが $h$ の円錐の体積 $V$ です。定義域では、長さと面積は正の値でなければならないため、すべての変数は正の値に制限されます。

2変数関数の例を以下に示します。

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \\&z(x,y)=ax+by\end{aligned}}

ここで $、a$ と $b は$ ゼロでない実定数です。3次元直交座標系 ( xy平面が定義域 $R 2$ 、z 軸が値域 $R )$ を用いると、画像は x方向の傾きが $a 、y 方向の傾きが$ $bの 2 次元平面として視覚化できます。この関数は、$ $R$ $2$ 内のすべての点 $(x, y)$ で適切に定義されます。前の例は、より高次元に簡単に拡張できます。

{\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} \\&z(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{p}x_{p}\end{aligned}}

$p 個$ のゼロでない実定数 $a 1 、 a 2 、 \dots、 a p$ に対して、 $p$ 次元超平面を記述します。

ユークリッドノルム：

f({\boldsymbol {x}})=\|{\boldsymbol {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}

は、 n 個の変数の関数でもあり、どこでも定義されていますが、

g({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{f({\boldsymbol {x}})}}

$はx \neq (0, 0, \dots, 0)$ の場合にのみ定義されます。

2変数の非線形関数の例を以下に示します。

{\begin{aligned}&z:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,x^{2}+y^{2}\leq 8\,,\,x\neq 0\,,\,y\neq 0\right\}\\&z(x,y)={\frac {1}{2xy}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}

これは、平面 $R$ $2$ の原点 $($ $x$ $,$ $y$ $) = (0, 0)で「穴が開けられた」$ 半径 $\sqrt$ $8$ の円盤 $X$ のすべての点を入力として受け取り、 $R$ 内の点を返します。この関数は原点 $($ $x$ $,$ $y$ $) = (0, 0)$ を含みません。もし含めると、その点で $f$ が不適切に定義されてしまいます。xy平面を領域 $R$ $2$ とし、z 軸を終領域 $R$ とする 3 次元直交座標系を使用すると、画像は曲面として視覚化できます。

$この関数は、 X$ 内の点 $(x, y) = (2, \sqrt 3)$ で評価できます。

z\left(2,{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}}}{\sqrt {\left(2\right)^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4{\sqrt {3}}}}{\sqrt {7}}\,,

しかし、例えば、関数は評価できませんでした。

(x,y)=(65,{\sqrt {10}})\,\Rightarrow \,x^{2}+y^{2}=(65)^{2}+({\sqrt {10}})^{2}>8

これらの $x$ と $yの$ 値は、定義域の規則を満たしていないため。

画像

関数 $f$ $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)$ の像は、 $n$ 組 $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $)が$ $f$ の定義域全体で実行されるときの $f$ のすべての値の集合です。連続 (定義については後述) 実数値関数で、定義域が連結している場合、像は区間または単一の値になります。後者の場合、関数は定数関数です。

与えられた実数 $c$ の逆像はレベルセットと呼ばれます。これは方程式 $f$ $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ $) =$ $c$ の解の集合です。

ドメイン

複数の実変数を持つ関数の定義域は、R n の部分集合であり、明示 $的に$ 定義される場合もありますが、常にそうとは限りません。実際、関数 $fの定義域$ $X$ を部分集合 $Y$ $\subset$ $X$ に制限すると、形式的には異なる関数、つまり $fの$ $Y$ への制限が得られ、これは次のように表されます。 $f|_{Y}$ 実際には、 $f$ とを特定することは多くの場合 (常にではないが) 有害ではない。 $f|_{Y}$ 、制限子 $| Y$ を省略します。

逆に、連続性や解析接続などによって、与えられた関数の定義域を自然に拡大できる場合もある。

さらに、多くの関数は定義域を明示的に指定することが難しい方法で定義されています。たとえば、関数 $f$ が与えられた場合、関数の定義域を指定することは難しい場合があります。 $g({\boldsymbol {x}})=1/f({\boldsymbol {x}}).$ $f$ が多変数多項式である場合、（ $\mathbb {R} ^{n}$ $（ドメインとして） g$ のドメインがであるかどうかをテストすることさえ難しい $\mathbb {R} ^{n}$ これは、多項式が常に正であるかどうかをテストすることと同等であり、活発な研究分野の対象となっています（正の多項式を参照）。

代数構造

実数に対する通常の算術演算は、以下のようにして複数の実変数を持つ実数値関数に拡張することができる。

任意の実数 $r$ に対して、定数関数 $(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r$ あらゆる場所で定義されている。
任意の実数 $r$ と任意の関数 $f$ に対して、関数は次のようになる。 $rf:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $f$ と同じ定義域を持つ（または $r = 0$ の場合はどこでも定義される）。
$f$ と $gが$ それぞれ領域 $X$ と $Y$ の2つの関数であり、 $X \cap Yが$ $R n$ の空でない開部分集合を含む場合、 $f\,g:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ そして $g\,f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n})\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $X \cap Y$ を含む定義域を持つ関数です。

したがって、 $n$ 変数の関数で至るところで定義されているものと、 $与え$ られた点の近傍で定義されているものの両方が、実数上の可換代数（ $R$ 代数）を形成する。これは関数空間の典型的な例である。

同様に定義することもできる

1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),

$これは、 f$ の定義域内の点 $(x 1, \dots, x n)の集合で$ $f$ $($ $x$ $1$ $, \dots,$ $x$ $n$ $) \neq 0 と$ なるものが $R$ $n$ の開部分集合を含む場合にのみ関数となります。この制約は、上記の 2 つの代数が体ではないことを意味します。

多変数関数に関連付けられた単変数関数

1つの実変数を持つ関数は、1つの変数を除くすべての変数に定数を与えることで容易に得られます。例えば、 $(a 1, \dots, a n)$ が関数 $f$ の定義域の内部にある点である場合、 $x$ $2$ $, \dots,$ $x$ $n$ の値をそれぞれ $a$ $2$ $, \dots,$ $a$ $n$ に固定することで、1変数関数を得ることができます。

x\mapsto f(x,a_{2},\ldots ,a_{n}),

$その定義域はa 1$ を中心とする区間を含みます。この関数は、 $i$ $= 2, \dots,$ $n$ の方程式 $x$ $i$ $=$ $a$ $i$ で定義される直線への関数 $f$ の制限と見なすこともできます。

$その他の単変数関数は、 f を$ $(a 1, \dots, a n)$ を通る任意の直線に制限することによって定義できます。これらは関数です。

x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),

ここで、 $c i$ はすべてゼロではない実数です。

次のセクションでは、多変数関数が連続であれば、これらの単変数関数もすべて連続であるが、その逆は必ずしも真ではないことを示す。

連続性と限界

19世紀後半まで、数学者は連続関数のみを考察対象としていました。当時、連続性の概念は、位相空間や位相空間間の連続写像が正式に定義されるよりもかなり前に、1つまたは複数の実変数の関数について確立されていました。複数の実変数の連続関数は数学において遍在しているため、位相空間間の連続写像という一般的な概念を参照せずに、この概念を定義することは有益です。

$連続性を定義するために、 R$ $n$ の距離関数を考慮すると便利です。これは、 $2$ $n 個$ の実変数の至るところで定義される関数です。

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}

関数 $f$ は、定義域の内部にある点a = ( a 1 , …, a n ) において $、任意の正の実数 ε に対して$ 、 $d$ $($ $x$ $,$ $a$ $)$ $<$ $φ$ となるすべての $x$ $に対して|$ $f$ $($ $x$ $) -$ $f$ $($ $a$ $)| <$ $ε$ となるような正の実数 $φ$ が存在する場合に連続である。言い換えれば、 $φ は$ 、a を中心とする半径 $φ$ の球の $f$ による像が、 $f$ $($ $a$ $)$ を中心とする長さ $2$ $ε$ の区間に含まれる $よう$ に十分に小さく選ぶことができる。関数は、定義域のすべての点で連続である場合に連続である。

関数が $f (a)$ で連続である場合、変数 $x i$ $のうち 1 つを除いてすべてa i の$ 値に固定して得られるすべての単変数関数は $f (a)$ で連続です。逆は成り立ちません。つまり、これらのすべての単変数関数は、 $f (a)で連続でない関数に対して連続である可能性があります。例として、$ $f$ $(0, 0) = 0$ であり、それ以外は次のように定義される関数 $f を考えてみましょう。$

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.

関数 $x \mapsto f (x, 0)$ と $y \mapsto f (0, y)$ はどちらも定数でゼロに等しいため、連続です。関数 $f は$ $(0, 0)$ で連続ではありません。なぜなら、 $ε < 1/2$ かつ $y = x 2 \neq 0$ の場合、 $|$ $x$ $|$ が非常に小さい場合でも $f (x, y) = 1/2となるからです。この関数は連続ではありませんが、$ $(0, 0)$ を通る直線に制限して得られるすべての単変数関数も連続であるという性質があります。実際、次のようになります。

f(x,\lambda x)={\frac {\lambda x}{x^{2}+\lambda ^{2}}}

$λ \neq 0$ の場合。

複数の実変数を持つ実数値関数のある点における極限は、次のように定義されます。[ 1 ^{] a =} $(a 1, a 2, \dots, a n)を関数$ $f$ の定義域 $X$ の位相閉包内の点とします。関数 $fは、$ $x が$ $a$ に近づくときに極限 $L$ を持ちます。

L=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}),

以下の条件が満たされる場合：すべての正の実数 $ε > 0$ に対して、正の実数 $δ > 0$ が存在し、

|f({\boldsymbol {x}})-L|<\varepsilon

定義域内のすべての $x$ に対して、

d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {a}})<\delta .

極限が存在する場合、それは一意です。a $が$ 定義域の内部にある場合、極限が存在するのは、関数が $a$ で連続である場合のみです。この場合、次のようになります。

f({\boldsymbol {a}})=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}).

$a が$ $f$ の定義域の境界にあり、 fが a で極限を持つ場合 $、$ $後者$ の式は $f$ の定義域を $a$ まで「連続性によって拡張」することを可能にする。

対称

対称関数とは、2つの変数 $x$ $i$ と $x$ $j$ を入れ替えても変化しない関数 $fのことである。$

f(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=f(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )

ここで $、i$ と $j$ $はそれぞれ1、2、\dots、 n$ のいずれかである。例：

f(x,y,z,t)=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}

$関数は、x 、 y 、 z$ に関して対称です。なぜなら、 $x 、 y 、 z$ の任意のペアを入れ替えても $f$ は変化しないからです。しかし、関数は、 $x 、 y 、 z 、 t$ のすべてに関して対称ではありません。なぜなら、 $t を$ $x$ 、 $y$ 、 $z$ に入れ替えると、異なる関数が得られるからです。

機能構成

関数を仮定します

\xi _{1}=\xi _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\quad \xi _{2}=\xi _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots \xi _{m}=\xi _{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),

またはより簡潔に $ξ = ξ (x)$ と表されるものはすべて領域 $X$ 上で定義されます。n $タプル$ $x = (x 1, x 2, \dots, x n)が$ $R$ $n$ の部分集合である $X$ 内で変化すると、 $m$ タプル $ξ$ $= ($ $ξ$ $1$ $,$ $ξ$ $2$ $, \dots,$ $ξ$ $m$ $)は$ $R$ $m$ の部分集合である別の領域 $Ξ$ 内で変化します。これを言い換えると次のようになります。

{\boldsymbol {\xi }}:X\to \Xi .

$次に、 Ξ$ 上で定義された関数 $ξ$ $($ $x$ $)$ の関数 $ζ は$ 、

{\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta

$X$ 上で定義された関数合成である^[²^]言い換えれば、写像

{\begin{aligned}&\zeta :X\to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}

$m$ と $nの$ 値は必ずしも等しい必要はありません。

例えば、関数

f(x,y)=e^{xy}[\sin 3(x-y)-\cos 2(x+y)]

$R 2$ の至る所で定義されるものは、導入することで書き換えることができる。

(\alpha ,\beta ,\gamma )=(\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=(xy,x-y,x+y)

また、 $R 3$ で至るところで定義されており、

f(x,y)=\zeta (\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=\zeta (\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{\alpha }[\sin(3\beta )-\cos(2\gamma )]\,.

関数合成は関数を簡略化するために使用でき、これは多重積分を実行したり偏微分方程式を解いたりするのに役立ちます。

微積分

初等微積分は、1つの実変数の実数値関数の微積分であり、そのような関数の微分と積分の基本概念は、複数の実変数の関数にも拡張できます。この拡張が多変数微積分です。

偏微分

偏微分は、各変数に関して定義できます。

{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

偏導関数自体も関数であり、それぞれが定義域内のすべての点における、 $x$ $1$ $、$ $x$ $2$ $、\dots、$ $x$ $n$ $軸のいずれかに平行な方向でのf$ の変化率を表します（導関数が存在し、かつ連続である場合。詳細は後述）。1 階導関数は、関数が関連する軸の方向に沿って増加する場合は正、減少する場合は負、増加も減少もない場合はゼロになります。定義域内の特定の点で偏導関数を評価すると、その点における特定の軸に平行な方向での関数の変化率、つまり実数が得られます。

実変数の実数値関数 $y = f (x)$ の場合、その通常の導関数 $dy / dxは、幾何学的には、定義域内のすべての点における曲線$ $y = f (x)$ への接線の勾配に相当します。偏導関数は、この考え方を曲線への接超平面に拡張したものです。

2階偏導関数は、すべての変数ペアについて計算できます。

{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

幾何学的には、これらは定義域内のすべての点における関数の像の局所的な曲率に関係しています。関数が明確に定義されている任意の点において、関数は一部の軸に沿って増加し、他の軸に沿って減少し、また他の軸に沿って増加も減少もしない可能性があります。

これにより、さまざまな停留点が存在します。すなわち、大域的または局所的な最大値、大域的または局所的な最小値、および鞍点（ 1つの実変数を持つ実関数の変曲点の多次元版）です。ヘッセ行列は、すべての2階偏導関数の行列であり、数学的最適化において重要な関数の停留点を調べるために使用されます。

一般に、高階偏微分 $p$ は次の形式をとる。

{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1}^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{p_{n}}}{\partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

ここで $、p 1 、 p 2 、\dots、 p n は$ $それぞれ0$ から $p$ までの整数であり、 $p 1 + p 2 + \dots + p n = p$ となる。0 次偏微分の定義を恒等演算子として使用する。

{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.

$p$ が大きくなるにつれて可能な偏微分の数は増加するが、2 階偏微分の対称性により、複数の変数に関する混合偏微分（混合偏微分）は不要となる。これにより、一部の $p$ に対して計算すべき偏微分の数が減少する。

多変数微分可能性

関数 $f (x)$ は、一般に $a$ $に依存するn$ 組の数 $A$ $($ $a$ $) = ($ $A$ $1$ $( a$ $),$ $A$ $2$ $($ $a$ $), \dots,$ $A$ $n$ $($ $a$ $))$ が存在し、次のようになる場合、 $点a の近傍で微分可能$ $である。$ ^[³^]

f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

どこ $\alpha ({\boldsymbol {x}})\to 0$ として $|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|\to 0$ $これは、 f が$ 点 $a$ で微分可能であれば、 $f は$ $x = a$ で連続であることを意味しますが、その逆は真ではありません。定義域での連続性は、定義域での微分可能性を意味しません。f $が$ 点 $a$ で微分可能であれば、

\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}=A_{i}({\boldsymbol {a}})

$i = 1, 2, \dots, n$ の場合、これは個々の偏導関数の定義から見つけることができるので、 $f$ の偏導関数が存在する。

直交座標系の $n$ 次元版を仮定すると、これらの偏微分を用いて、この座標系における勾配（「ナブラ」または「デル」とも呼ばれる）と呼ばれるベクトル線形微分演算子を形成することができる。

\nabla f({\boldsymbol {x}})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)f({\boldsymbol {x}})

ベクトル解析において広く用いられている。なぜなら、他の微分演算子を構築したり、ベクトル解析における定理を簡潔に定式化したりするのに役立つからである。

次に、勾配∇f（x = aで評価したもの）を上記の式に代入し $、$ 少し $変形すると次$ $の$ 式が得られます。

f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|

ここで $、\cdotは$ 内積を表します。この式は、 $a$ の近傍内のすべての点 $x$ における関数 $f$ の最良線形近似を表します。x $\to$ $a$ における $f$ と $x$ の微小変化については、 $次$ のようになります。

df=\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{1}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{1}+\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{2}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{2}+\dots +\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{n}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{n}=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot d{\boldsymbol {x}}

$これは、点a$ における $f$ の全微分、または単に微分として定義されます。この式は、すべての $x$ $i$ $方向におけるf$ の微小変化をすべて加算することによって、 $f$ の全微小変化に対応します。また、 $df は$ 、各方向の微小 $dx$ $i$ を基底ベクトルとし、 $f$ の偏微分を成分とする共変ベクトルとして解釈することもできます。

幾何学的に、ゼロでない $\nablafは、$ $f$ $($ $x$ $) =$ $cで与えられる$ $f$ のレベルセットに垂直であり、これはある定数 $c$ $に対して($ $n$ $-1)$ 次元の超曲面を記述します。定数の微分はゼロなので、

df=(\nabla f)\cdot d{\boldsymbol {x}}=0

ここで、 $d x は$ 超曲面 $f$ $($ $x$ $) =$ $cにおける$ $x$ の微小変化であり、 $\nabla$ $f$ と $d$ $x$ の内積はゼロであるため、与えられた $d$ $x$ に対して、 $\nabla$ $f$ はゼロであるか、またはそれに垂直である。

$n$ 次元の任意の曲線座標系では、直交座標系とは異なり、勾配の明示的な表現はそれほど単純ではなく、その座標系の計量テンソルによるスケールファクターが必要になります。この記事全体を通して使用されている上記のケース（直交座標系）では、計量はクロネッカーのデルタのみであり、スケールファクターはすべて1です。

微分可能性クラス

定義域内の点 $aにおいて評価されたすべての一次偏導関数が次のようになる場合：$

\left.{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\quad \left.{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\ldots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

定義域内のすべての $a$ に対して存在し連続である場合、 $f は$ 微分クラス $C 1$ を持ちます。一般に、点 $a$ $で評価されたすべてのp$ 階偏導関数が次のようになる場合：

\left.{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}

が存在し、連続である。ここで、 $p 1 、 p 2 、\dots、 p n$ 、および $p$ は上記のとおりであり、領域内のすべての $a$ $に対して、 fは領域全体で$ $p$ 次まで微分可能であり、微分クラス $C p$ を持つ。

$関数fが微分クラス$ $C \infty$ に属する場合、 $f は$ すべての階数の連続な偏導関数を持ち、滑らかであると呼ばれます。f $が$ 解析関数であり、定義域内の任意の点におけるテイラー級数に等しい場合、記号 $C ω$ はこの微分クラスを表します。

多重積分

定積分は、次の表記法を用いて、複数の実変数に関する多重積分に拡張することができる。

\int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}

ここで、各領域 $R 1 、 R 2 、 \dots、 R n$ は実数直線の部分集合または全体である。

R_{1}\subseteq \mathbb {R} \,,\quad R_{2}\subseteq \mathbb {R} \,,\ldots ,R_{n}\subseteq \mathbb {R} ,

そして、それらのデカルト積は、積分対象領域を単一の集合として与える。

R=R_{1}\times R_{2}\times \dots \times R_{n}\,,\quad R\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,

n次元の $超$ 体積。定積分は、評価時に、積分領域 $R$ 内で収束する場合に実数となります(定積分の結果は、特定の領域で無限大に発散する可能性があり、その場合、積分は定義されません)。変数は、積分過程で数値の代わりに用いられる「ダミー」または「境界」変数として扱われます。

$実変数y = f (x)$ の実数値関数の $x$ に関する積分は、曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれた領域として幾何学的に解釈されます。多重積分はこの概念の次元を拡張します。直交座標系の $n次元類似を仮定すると、上記の定積分は、$ $f$ $($ $x$ $)$ と $x$ $1$ $、$ $x$ $2$ $、 \dots、$ $x$ $n$ $軸で囲まれたn$ 次元の超体積として幾何学的に解釈されます。これらの超体積は、積分される関数に応じて、正、負、またはゼロになります (積分が収束する場合)。

有界ハイパーボリュームは有用な洞察ではありますが、定積分のより重要な概念は、空間内の総量を表すという点です。これは応用数学や物理学において重要な意味を持ちます。f が何らかのスカラー密度場であり、x が位置ベクトル座標、すなわち単位 n 次元ハイパーボリュームあたりの何らかのスカラー量である場合 $、$ 領域R上 $で$ 積分すると、R内の総量 $が$ $得$ られます。ハイパーボリュームのより形式的な概念は測度論の対象です。上記ではルベーグ測度を使用しました。このトピックの詳細については、ルベーグ積分を参照してください。

定理

多重積分と偏微分の定義を用いることで、多変数実数における微積分学の基本定理（ストークスの定理）、多変数実数における部分積分、高次偏微分の対称性、多変数関数に対するテイラーの定理など、重要な定理を定式化することができる。積分と偏微分の組み合わせを評価するには、積分記号の下での定理微分を用いる。

ベクトル解析

複数の実変数の関数をそれぞれ集めることができる。

y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})

$m$ タプル、あるいは場合によっては列ベクトルまたは行ベクトルとしてそれぞれ変換されます。

(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\cdots &f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}

$これらはすべてm$ 成分ベクトル場として扱われ、都合の良い形式を使用できます。上記の表記法はすべて、 $y = f (x)$ という共通の簡潔な表記法を持ちます。このようなベクトル場の計算はベクトル解析です。多変数関数の行ベクトルと列ベクトルの扱いについては、行列解析を参照してください。

暗黙関数

複数の実変数の実数値陰関数は、「 $y = f (\dots)$ 」の形式では記述されません。代わりに、写像は空間 $R n + 1から$ $R$ の零元(通常の零点 0)への写像となります。

{\displaystyle {\begin{aligned}&\phi

これはすべての変数に関する方程式です。陰関数は、関数を表すより一般的な方法です。なぜなら、次のようになるからです。

y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

そうすれば、常に次のように定義できます。

\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=y-f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0

しかし、その逆は必ずしも可能ではなく、つまり、すべての暗黙関数が明示的な形式を持つとは限らない。

例えば、区間表記法を用いて、

{\begin{aligned}&\phi :X\to \{0\}\\&\phi (x,y,z)=\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}-1=0\\&X=[-a,a]\times [-b,b]\times [-c,c]=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c\right\}.\end{aligned}}

3 次元 (3D) デカルト座標系を選択すると、この関数は、原点 $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = (0, 0, 0)を中心とする 3D$ 楕円体の表面を記述します。この楕円体は、正のx 軸、y軸、z軸に沿ってそれぞれ一定の半長軸 $a$ $、$ $b$ $、$ $cを持ちます。$ $a$ $=$ $b$ $=$ $c$ $=$ $r$ の場合、原点を中心とする半径 $r$ の球面が得られます。同様に記述できる他の円錐曲線の例には、双曲面や放物面があり、より一般的には、3D ユークリッド空間内の任意の 2D 曲面も同様に記述できます。上記の例は $x$ 、 $y$ または $z$ について解くことができますが、陰関数形式で記述する方がはるかに簡潔です。

より高度な例としては、次のようになります。

{\displaystyle {\begin{aligned}&\phi

ゼロでない実定数 $A 、 B 、 C 、 ω$ に対して、この関数はすべての $(t 、 x 、 y 、 z)$ に対して適切に定義されますが、これらの変数に対して明示的に解いて " $t =$ "、" $x =$ "などと書くことはできません。

2 つ以上の実変数の陰関数定理は、関数の連続性と微分可能性を次のように扱います。[ ^{4 ] ϕ} $(x 1, x 2, \dots, x n)$ を連続な 1 階偏導関数を持つ連続関数とし、点 $($ $a$ $,$ $b$ $) = ($ $a$ $1$ $,$ $a$ $2$ $, \dots,$ $a$ $n$ $,$ $b$ $)における$ ϕの評価値をゼロとします。

\phi ({\boldsymbol {a}},b)=0;

$また、 ($ $a$ $,$ $b$ $)$ における $ϕの$ $y$ に関する1階偏導関数がゼロでないとする。

\left.{\frac {\partial \phi ({\boldsymbol {x}},y)}{\partial y}}\right|_{({\boldsymbol {x}},y)=({\boldsymbol {a}},b)}\neq 0.

$すると、 b$ を含む区間 $[y 1, y 2]と、$ $($ $a$ $,$ $b$ $)$ を含む領域 $Rが存在し、$ $R$ 内の任意の $x$ に対して、 $ϕ$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = 0$ を満たす $y$ $の値が[$ $y$ $1$ $,$ $y$ $2$ $]$ 内にちょうど 1 つ存在し、 $y は$ $x$ の連続関数であるため、 $ϕ$ $($ $x$ $,$ $y$ $($ $x$ $)) = 0$ となります。これらの関数の全微分は次のようになります。

dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n};

d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}dx_{n}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy.

$dy$ を後者の微分に代入し、微分係数を等しくすると、元の関数の導関数を用いて $yの$ $x i$ に関する1 階偏導関数が得られ、それぞれが線形方程式の解となる。

{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=0

$i = 1, 2, \dots, n$ の場合。

複数の実変数の複素数値関数

複数の実変数の複素数値関数は、実数値関数の定義において、終域を実数に限定するという制約を緩和し、複素数値を許容することによって定義することができる。

$f (x 1, \dots, x n)$ がこのような複素数値関数である場合、次のように分解できます。

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},\ldots ,x_{n})+ih(x_{1},\ldots ,x_{n}),

ここで、 $g$ と $h$ は実数値関数である。言い換えれば、複素数値関数の研究は、実数値関数のペアの研究に容易に帰着する。

この簡略化は一般的な性質には有効です。しかし、例えば次のような明示的に与えられた関数には適用できません。

z(x,y,\alpha ,a,q)={\frac {q}{2\pi }}\left[\ln \left(x+iy-ae^{i\alpha }\right)-\ln \left(x+iy+ae^{-i\alpha }\right)\right]

実部と虚部の計算は難しい場合がある。

アプリケーション

実変数の多変数関数は、工学や物理学において必然的に現れる。なぜなら、観測可能な物理量は実数（関連する単位と次元を持つ）であり、一般的に、ある物理量は他の多くの物理量に依存するからである。

複数の実変数の実数値関数の例

連続体力学の例としては、質量分布の局所質量密度 $ρ 、空間位置座標（ここでは例としてデカルト座標系）、$ $r$ $= ($ $x$ $、$ $y$ $、$ $z$ $)$ 、および時間 $t$ に依存するスカラー場などがある。

\rho =\rho (\mathbf {r} ,t)=\rho (x,y,z,t)

同様に、帯電した物体の電荷密度や、その他多くのスカラーポテンシャル場についても同様である。

もう1つの例は速度場、つまりベクトル場であり、速度の成分 $v = (v x 、 v y 、 v z)$ を持ち、それぞれが空間座標と時間の多変数関数である。

\mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)]

同様に、電場や磁場、ベクトルポテンシャル場などの他の物理ベクトル場についても同様である。

もう一つの重要な例は、熱力学における状態方程式です。これは流体の圧力 $P$ 、温度 $T$ 、体積 $V$ の関係を表す方程式で、一般に陰関数形式をとります。

f(P,V,T)=0

最も単純な例は理想気体の法則です。

f(P,V,T)=PV-nRT=0

ここで $、n$ はモル数であり、一定量の物質に対しては定数、 $Rは$ 気体定数である。より複雑な状態方程式が経験的に導出されているが、それらはすべて上記の暗黙的な形式を持つ。

経済学では、複数の実変数の実数値関数が広く用いられています。消費者理論の根底では、効用は消費される様々な財の量の関数として表され、それぞれの量は効用関数の引数となります。効用を最大化すると、需要関数の集合が得られます。それぞれの需要関数は、特定の財の需要量を、様々な財の価格と所得または富の関数として表します。生産者理論では、企業は通常、生産される様々な財の量と使用される様々な生産要素の量の関数として利益を最大化すると想定されます。最適化の結果、様々な生産要素の需要関数の集合と、様々な製品の供給関数の集合が得られます。これらの関数はそれぞれ、財の価格と生産要素の価格を引数とします。

Examples of complex-valued functions of several real variables

Some "physical quantities" may be actually complex valued - such as complex impedance, complex permittivity, complex permeability, and complex refractive index. These are also functions of real variables, such as frequency or time, as well as temperature.

In two-dimensional fluid mechanics, specifically in the theory of the potential flows used to describe fluid motion in 2d, the complex potential

F(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )+i\psi (x,y,\ldots )

is a complex valued function of the two spatial coordinates $x$ and $y$ , and other real variables associated with the system. The real part is the velocity potential and the imaginary part is the stream function.

The spherical harmonics occur in physics and engineering as the solution to Laplace's equation, as well as the eigenfunctions of the z-component angular momentum operator, which are complex-valued functions of real-valued spherical polar angles:

Y_{\ell }^{m}=Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )

In quantum mechanics, the wavefunction is necessarily complex-valued, but is a function of real spatial coordinates (or momentum components), as well as time $t$ :

\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi (x,y,z,t)\,,\quad \Phi =\Phi (\mathbf {p} ,t)=\Phi (p_{x},p_{y},p_{z},t)

where each is related by a Fourier transform.

References

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] a =

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4 ] ϕ