テクニック
タウバーの定理
もし
として
どこ
そして
はゆっくりと変化する関数であるため、[ 15 ]
![{\displaystyle [z^{n}]f(z)\sim {\frac {n^{\sigma -1}}{\Gamma (\sigma )}}L(n)\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891e51f21ed5123bb84b98fe1cf4973c179489f8)
として
ハーディ・リトルウッドのタウバー型定理も参照のこと。
鞍点法
関数全体を含む関数を生成するため。[ 19 ] [ 20 ]
直感的に言えば、経路積分への最大の寄与は鞍点付近にあり、鞍点付近で推定することで経路全体の推定値が得られる。
もし
は許容関数である、[ 21 ]ならば[ 22 ] [ 23 ]
![{\displaystyle [z^{n}]F(z)\sim {\frac {F(\zeta )}{\zeta ^{n+1}{\sqrt {2\pi f^{''}(\zeta )}}}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f8fa94dcd8f02c2e6955e82672c8eae434d899)
として
どこ
。
最急降下法も参照のこと。
注記
- ↑メルツァー 2021、vii 頁および ix 頁。
- ↑ペマントルとウィルソン、2013 年、11 ページ。
- ↑ Flajolet and Sedgewick 2009、pp. ix。
- ↑メルツァー 2021、pp. vii。
- ↑ペマントルとウィルソン、2013、62-63 ページ。
- ↑ペマントルとウィルソン、2013 年、62 ページ。
- ↑ペマントルとウィルソン、2013 年、63 ページ。
- ↑ウィルフ 2006、197頁。
- ↑ Flajolet and Sedgewick 2009、pp. 607。
- ↑ Flajolet and Sedgewick 2009、pp. 438。
- ↑メルツァー 2021、13ページ。
- ↑ Flajolet and Sedgewick 2009、pp. 650および717。
- ↑メルツァー 2021、13-14頁。
- ↑セッジウィック4、59ページ
- ↑ Flajolet and Sedgewick 2009, pp. 435. Hardy 1949, pp. 166. 私はFlajoletとSedgewickが述べている形式を使用します。
- ↑ペマントルとウィルソン、2013、55-56 ページ。
- ↑ウィルフ 2006、194頁。
- ↑ Flajolet and Sedgewick 2009、pp. 393。
- ↑ウィルフ 2006、196頁。
- ↑ Flajolet and Sedgewick 2009、pp. 542。
- ↑ Flajolet and Sedgewick 2009、pp. 565 または Wilf 2006、pp. 199 を参照。
- ↑ Flajolet and Sedgewick 2009、pp. 553。
- ↑セッジウィック 8、25 ページ。
参考文献
- Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009).解析的組み合わせ論(PDF) . Cambridge University Press.
- ハーディ、GH（1949）。ダイバージェントシリーズ（初版 ）。オックスフォード大学出版局。
- メルツァー、スティーブン（2021）。解析的組み合わせ論への招待：1変数から多変数へ（PDF）。シュプリンガー記号計算テキスト＆モノグラフ。
- ペマントル、ロビン；ウィルソン、マーク C. (2013).多変数解析的組み合わせ論(PDF) . ケンブリッジ大学出版局。
- セジウィック、ロバート。「4. 複素解析、有理および有理型の漸近解析」(PDF) 。 2023年11月4日取得。
- セジウィック、ロバート。「8. サドルポイント漸近解析」(PDF) 。 2023年11月4日取得。
- Szegő, Gabor (1975).直交多項式（第4 版）. アメリカ数学会.
- Wilf, Herbert S. (2006).生成機能学(PDF) (第3 版). AK Peters, Ltd.
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さらに読む
- デ・ブライジン、NG (1981)。分析における漸近的手法。ドーバー出版。
- Flajolet, Philippe; Odlyzko, Andrew (1990). 「母関数の特異点解析」(PDF) . SIAM Journal on Discrete Mathematics . 1990 (3).
- ミシュナ、マーニ（2020）。分析的組み合わせ論：多次元的アプローチ。テイラー＆フランシスグループLLC。
- Pemantle, Robin; Wilson, Mark C.; Melczer, Stephen (2024).多変数解析的組み合わせ論(PDF) (第2 版). Cambridge University Press.
- セジウィック、ロバート。「6. 特異点解析」(PDF)。
- ウォン、R. (2001).積分の漸近近似. 応用数理学会.
外部リンク
- 解析的組み合わせ論オンラインコース
- アルゴリズム解析入門オンラインコース
- 多変数解析的組み合わせ論プロジェクト
- 解析的組み合わせ論への招待
![{\displaystyle [z^{n}]h(z)\sim {\frac {(-1)^{m}mf(a)}{a^{m}g^{(m)}(a)}}\left({\frac {1}{a}}\right)^{n}n^{m-1}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b53963c87bb063af8ec91817a33bfe6ddfe15e)
![{\displaystyle [z^{n}]h(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18db8846cf100d1f24ea4b43aff251b598e702cd)
^{\beta }f(z)=\sum _{j=0}^{m}f_{j}{\frac {n^{-\beta -j-1}}{\Gamma (-\beta -j)}}+O(n^{-m-\beta -2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ebdc6be74262b8d77bdc7959a202c9dfe0a11e)
![{\displaystyle [z^{n}]f(z)\sim \zeta ^{-n}{\frac {n^{-\alpha -1}}{\Gamma (-\alpha )}}(\log n)^{\gamma }(\log \log n)^{\delta }\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993654acf8af67ff29bc5c13871db2d1626c720)