変曲点

微分積分学および微分幾何学において、変曲点（ inflection point、point of inflection、flex、 inflection、まれにinflexionとも表記される）とは、滑らかな平面曲線上で曲率が符号を変える点のことである。特に、関数のグラフの場合、関数が凹関数（下に凸）から凸関数（上に凸）に、またはその逆に変化する点を指す。

微分クラス $C$ $2$ の関数 $f$ のグラフ(その 1 階導関数 $f'$ と2 階導関数 $f''$ が存在し、連続である) の場合、 $f'' =$ $0$ の条件を使用して変曲点を見つけることもできます。これは、 $f''が連続であるため、$ $f''$ を正の値 (凸) から負の値 (凹) に、またはその逆に変えるためには、 $f$ $'' = 0$ の点を通過する必要があるためです。曲線の変曲点は、 $f'' =$ $0$ であり、その点で符号が変化する (正から負、または負から正) 点です。^[¹^] 2 階導関数がゼロになるが符号は変化しない点は、うねり点またはうねり点と呼ばれることがあります。

代数幾何学では、変曲点は、接線が曲線と少なくとも3次で交わる正則点として、より一般的に定義され、波状点またはハイパーフレックスは、接線が曲線と少なくとも4次で交わる点として定義されます。

意味

微分幾何学における変曲点とは、曲線の曲率が符号を変える点のことである。 ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

例えば、微分可能な関数のグラフは、 $(x, f (x))$ に変曲点を持つのは、その一次導関数 $f' が$ $x$ において孤立した極値を持つ場合のみです。（これは $f が$ 極値を持つということとは異なります。）つまり、ある近傍において、 $xは$ $f'$ が（局所的な）最小値または最大値を持つ唯一の点です。f $'$ のすべての極値が孤立している場合、変曲点とは、接線が曲線と交わる $f$ のグラフ上の点です。

下降変曲点とは、その点の両側で導関数が負となる変曲点のことです。言い換えれば、関数が減少する変曲点です。上昇変曲点とは、その点の両側で導関数が正となる点のことです。言い換えれば、関数が増加する変曲点です。

パラメトリック方程式で与えられる滑らかな曲線の場合、符号付き曲率がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変化する、つまり符号が変化する点が変曲点です。

2回微分可能な関数のグラフである滑らかな曲線において、変曲点とは、2階微分が孤立した零点を持ち、かつ符号が変化するグラフ上の点のことである。

代数幾何学において、代数曲線の非特異点は、接線と曲線の交点数（接点における）が2より大きい場合に限り、変曲点となる。この異なる定義の主な動機は、そうでなければ曲線の変曲点の集合が代数集合にならないからである。実際、平面代数曲線の変曲点の集合は、その射影完備化のヘッセ行列式の零点である非特異点に他ならない。

$f (x) = sin(2x) の$ $-π$ /4から $5π$ /4 までのグラフ。2 階微分は $f ″ (x) = -4sin(2x) で$ あり、その符号は $f$ の符号と逆になります。曲線が凸（接線より上）の場合は接線が青色、凹（接線より下）の場合は緑色、変曲点 (0、 $π$ /2、 $π)の場合は赤色で示されています。$

条件

必要条件ではあるが十分条件ではない

関数fについて、 $x$ $0$ でその 2 階微分 $f ″ (x)$ が存在し、 $x$ $0$ $がf$ の変曲点である場合、 $f$ $″$ $($ $x$ $0$ $) = 0 と$ なりますが、任意の階数の微分が存在する場合でも、この条件だけでは変曲点が存在するのに十分ではありません。この場合、最低階 (2 階より上) の非ゼロ微分が奇数階 (3 階、5 階など) であることも必要です。最低階の非ゼロ微分が偶数階の場合、その点は変曲点ではなく、波状点です。ただし、代数幾何学では、変曲点と波状点の両方が通常、変曲点と呼ばれます。波状点の例としては、 $f$ $($ $x$ $) =$ $x$ $4$ で与えられる関数 $fの$ $x$ $= 0$ があります。

前述の主張では、 $f が$ $x$ において何らかの高階非ゼロ導関数を持つことを前提としていますが、必ずしもそうとは限りません。もしそうであれば、最初の非ゼロ導関数が奇数階であるという条件は、 $x$ の近傍において、 $f' (x)の符号が$ $x$ の両側で同じであることを意味します。この符号が正であれば、その点は上昇変曲点であり、負であれば、下降変曲点です。

十分な条件

関数 $f (x)$ が、 $k が$ 奇数で $k$ $\geq 3である点$ $x$ $0$ のある近傍で $k回連続微分可能である場合、変曲点が存在するための十分な条件は、$ $n$ $= 2, ...,$ $k$ $- 1$ に対して $f$ $($ $n$ $)$ $($ $x$ $0$ $) = 0$ であり、 $f$ $($ $k$ $)$ $($ $x$ $0$ $) \neq 0 である$ ことです。この場合、 $f$ $($ $x$ $)は$ $x$ $0$ に変曲点を持ちます。
もう一つのより一般的な十分存在条件は、 $f ″ (x 0 + ε)$ と $f ″ (x 0 - ε)が$ $x$ $0$ の近傍で反対の符号を持つことを要求する( Bronshtein and Semendyayev 2004、p. 231 )。

変曲点の分類

$変曲点は、 f' (x)$ がゼロか非ゼロかによって分類することもできます。

$f' (x)$ がゼロの場合、その点は変曲点である。
$f' (x)$ がゼロでない場合、その点は非定常変曲点である。

変曲点における停留点は、局所極値ではありません。より一般的には、複数の実変数を持つ関数の文脈において、局所極値ではない停留点は鞍点と呼ばれます。

変曲点の一例として、y = x³ のグラフ上の点 (0, 0) が挙げられます $。$ $接線$ $は$ $x$ 軸 $で$ あり $、$ この点でグラフと交わります。

非定常変曲点の一例として、任意の非ゼロ $aに対して$ $y$ $=$ $x$ $3$ $+$ $ax$ のグラフ上の点 $(0, 0)$ が挙げられます。原点における接線は直線 $y$ $=$ $ax$ であり、この点でグラフと交わります。

不連続性を持つ関数

関数によっては、変曲点を持たずに凹凸が変化するものがあります。その代わりに、垂直漸近線や不連続点の周りで凹凸が変化することがあります。例えば、関数 $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ $負のx$ に対しては凹関数であり、正の $x$ に対しては凸関数であるが、0 は関数の定義域に含まれていないため、変曲点はない。

変曲点を持つ関数で、2階微分がゼロにならないもの

連続関数の中には、2階微分が0にならない場合でも変曲点を持つものがあります。例えば、立方根関数は、xが負のときは上に凸、xが正のときは下に凸ですが、原点ではどの階の微分も持ちません。

参考文献

↑スチュワート、ジェームズ (2015).微積分（第8 版）. ボストン：センゲージラーニング. p. 281. ISBN 978-1-285-74062-1。
↑数学解析の問題。バラネンコフ、GS モスクワ：ミール出版社。1976 [1964] 。ISBN 5030009434. OCLC 21598952 . {{cite book}}: CS1 メンテナンス: その他 (リンク)
↑ブロンシュタイン、セメンジャエフ( 2004)。数学ハンドブック（第4版）。ベルリン：シュプリンガー。p. 231。ISBN 3-540-43491-7。

情報源

ワイススタイン、エリック・W. 「変曲点」 . MathWorld .
「変曲点」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]

[1] スチュワート、ジェームズ (2015).微積分（第8 版）. ボストン：センゲージラーニング. p. 281. ISBN 978-1-285-74062-1。

[2] 数学解析の問題。バラネンコフ、GS モスクワ：ミール出版社。1976 [1964] 。ISBN 5030009434. OCLC 21598952 . {{cite book}}: CS1 メンテナンス: その他 (リンク)

[3] ブロンシュタイン、セメンジャエフ( 2004)。数学ハンドブック（第4版）。ベルリン：シュプリンガー。p. 231。ISBN 3-540-43491-7。

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意味

条件