数学的解析

数学解析は、科学革命期の17世紀に正式に発展しましたが^{[ 1 ]} 、その多くのアイデアはそれ以前の数学者に遡ることができます。解析の初期の成果は、古代ギリシャ数学の初期に暗黙のうちに存在していました。たとえば、無限幾何和は、ゼノンの二分法のパラドックスに暗黙のうちに含まれています^{[ 2 ]}（厳密に言えば、パラドックスの要点は無限和の存在を否定することです）。その後、エウドクソスやアルキメデスなどのギリシャの数学者は、領域や立体の面積と体積を計算するために、除去法を使用する際に、極限と収束の概念をより明示的かつ非公式に使用しました^{[ 3 ]} 。無限小の明示的な使用は、20世紀に再発見されたアルキメデスの『機械的定理の方法』に現れます。 ^{[ 4 ]}アジアでは、中国の数学者劉慧が西暦3世紀に円の面積を求めるために攀算法を用いた。^{[ 5 ]}ジャイナ教の文献から、ヒンドゥー教徒は紀元前4世紀にはすでに等差数列と等比数列の和の公式を持っていたようだ。 ^{[ 6 ]}アーチャリヤ・バドラバーフは紀元前433年にカルパスートラで等比数列の和を用いている。^{[ 7 ]} 

中世には、いくつかの伝統の数学者たちが、求積法、無限級数、無限小推論、近似、運動の数学的研究など、後の解析学のトピックを先取りする手法を開発した。イスラム世界では、イブン・アル＝ハイサムがべき乗の和と面積の問題に取り組み、イブラヒム・イブン・シナンは放物線の求積法でアルキメデス法を一般化した。^{[ 8 ] [ 9 ]}中世ヨーロッパでは、オックスフォード計算機が等加速度運動を研究し、ニコール・オレームは平均速度定理の図解証明を行い、変位を速度-時間グラフの下の面積で表した。オレームはまた、無限級数を使用して調和級数の発散を証明した。^{[ 10 ]}インドでは、バースカラ2世が無限小の推論を用いて、現在ロールの定理と呼ばれるものに関連する結果を述べ、ケーララの天文学と数学の学派、特にマダヴァは、三角関数の無限級数を開発した。^{[ 11 ]}これらの発展は、現代的な意味での数学的解析ではなかったが、微積分と解析の重要な前身であった。

連続体の性質に関する問題は、中世ヨーロッパの哲学者にとって重要であった。特に、連続体が無限に分割できるのか、点から構成されているのかという点が重要であった。13世紀になってようやくヨーロッパで広く知られるようになったアリストテレスの著作では、連続体は点から構成されているのではないとされていた。もし点から構成されているとすれば、点が隣り合っていなければならず、連続体の不可分性とは相容れないからである。14世紀には、トーマス・ブラッドワーディンが『連続論』の中で、連続体は無限に小さなものの集合体であり、点から構成されているのではないと述べている。 一方、ウィリアム・オブ・オッカムは、連続体は実際の点から構成されていると主張した。アリストテレスはまた、無限の性質についても論じており、潜在的無限と実際的無限という2種類の無限を分類している。中世ヨーロッパの哲学者にとって、無限の性質は無限分割と無限小の概念に問題を引き起こした。なぜなら、連続体の分割が無限小であれば、その分割と連続体全体との比率は無限でなければならず、様々なパラドックスが生じるからである。リチャード・スワインズヘッドは『計算論』の中で、そのような比率は定義しないままにしておくべきであり、無限に関する議論は有限量に関する議論として進めるべきではないと述べている。これらは、約3世紀後にライプニッツの連続体に関する見解が現れることになるヨーロッパの伝統における最も初期の萌芽であり、ライプニッツはスワインズヘッドに明確に言及している。^{[ 12 ]}

17世紀初頭、微積分を先取りする手法がますます体系化されていった。ヨハネス・ケプラーは面積と体積の問題に無限小と総和の議論を用い、ガリレオ・ガリレイは数学と運動の研究を結びつけ、ボナヴェントゥラ・カヴァリエリは不可分量の方法を開発し、エヴァンジェリスタ・トリチェリは幾何学と力学においてこれらの方法を拡張した。これらの研究はまだ現代的な意味での数学的解析を構成するものではなかったが、古典的な幾何学的構成から連続量、接線、面積、体積、運動を扱うための一般的な方法へと主題を移行させるのに役立った。その後、ニュートンとライプニッツによる微分積分学の発展が、後の解析学の多くの出発点となった。^{[ 13 ]}

実数は、古典解析の多くの分野において標準的な枠組みを提供する。その完全性は、しばしば最小上界の性質によって表現され、極限、連続性、微分、積分に関する基本的な結果の基礎となっている。

近似は数学の多くの分野で基本的な役割を果たします。その一例として、実数列の極限が挙げられます。実数列は、ある族です。${\displaystyle a_{1},a_{2}\ldots }$実数からなる数列で、各実数は自然数で添え字付けられている。数列が極限に収束すると言う。${\displaystyle L}$シーケンスのほぼすべてのメンバーが任意に近接している場合${\displaystyle L}$より正確には、これは、あらゆる誤差許容範囲に対して${\displaystyle \epsilon }$シーケンスのすべてのメンバーは${\displaystyle \epsilon }$の${\displaystyle L}$数列の有限個の要素を除いて。形式的には、あらゆるエラーに対して${\displaystyle \epsilon >0}$整数が存在する${\displaystyle N}$そのため $${\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon }$$ いつでも${\displaystyle n>N}$。

この例は近似の使用法を示しています。${\displaystyle a_{n}}$数を概算する${\displaystyle L}$、そして誤差許容度は${\displaystyle \epsilon }$しかし、収束性だけでは近似の精度に関する情報は得られず、解析における多くの結果は近似の精度に関するものである。

もう一つの例は微分積分学から来ています。実関数${\displaystyle f}$ある点で微分可能である${\displaystyle a}$線形関数が存在する場合${\displaystyle L(x)=f(a)+f'(a)(xa)}$点付近で関数をよく近似する${\displaystyle x=a}$しかし、ここで「まあ」とは、近似誤差が $${\displaystyle |f(x)-L(x)|=o(xa)}$$ どこ${\displaystyle o(xa)}$は、より速くゼロに収束する関数です。${\displaystyle xa}$として${\displaystyle x\to a}$より良い近似は、誤差項の大きさについてより均一で定量的な推定値を提供する。例えば、テイラーの定理は、閉区間内で2回連続微分可能な関数に対して、${\displaystyle a}$$${\displaystyle |f(x)-L(x)|\leq M(xa)^{2}}$$ どこ${\displaystyle M}$は、2階微分を用いることで明示的に推定できる。これにより、線形近似における誤差を、その点における微分可能性よりもはるかに正確に決定することができる。

不平等​${\displaystyle |f(x)-L(x)|\leq M(xa)^{2}}$これは、解析学における推定値と呼ばれるものの例です。推定値とは、近似における誤差を定量化するために用いられる不等式であり、より一般的には、ある演算が他の演算によって制御（制限）されることを表すために用いられます。

連続性は解析においても重要な役割を果たします。初等解析では、連続関数の概念はイプシロン・デルタ定義を用いて導入されます。おおまかに言えば、入力の十分小さな変化が出力の小さな変化をもたらす場合、関数はある点で連続であると言えます。これにより、関数のグラフにおける「ジャンプ」やその他の異常な振動挙動が排除されます。

連続性は解析において重要です。なぜなら、連続性によって関数の局所的な制御が可能になり、連結性やコンパクト性といった追加の仮説と組み合わせることで、全体的な結論を導き出すことができるからです。例えば、区間上の連続実数値関数は中間値特性を持ち、コンパクト集合上の連続実数値関数は最大値と最小値をとります。コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続でもあり、これは定義域全体で関数が同程度のスケールで振動することを意味します。これらの結果は、微積分、最適化、微分方程式、近似理論における基本的なツールです。

連続関数は、距離空間やその他の位相空間に容易に一般化できます。連続関数の空間は関数解析において最もよく研​​究されているものの1つであり、空間の構造を調べる上で有用な手がかりとなります。微分方程式においても、連続性は閾値となる正則性条件です。より高度な解析では、正則性定理によって、弱く、ほとんど至るところで、あるいは分布的に定義された対象が、追加の仮定の下で連続な表現を持つことがしばしば示され、より一般的な対象ではなく、真の関数として扱うことができるようになります。

距離空間とは、集合の要素間の距離（距離と呼ばれる）の概念が定義された集合のことである。

解析の多くは何らかの距離空間で行われます。最も一般的に使用されるのは、実数直線、複素平面、ユークリッド空間、その他のベクトル空間、および整数です。

関数解析の多くは関数の空間に関係しており、これらの空間はバナッハ空間やヒルベルト空間のように距離空間の構造を持つことができる。これらの例の多くにおいて、距離はノルムから得られる。例えば、連続実数値関数の空間などである。${\displaystyle C([0,1])}$単位区間上の空間は、上限ノルムの下でバナッハ空間である。測度論と調和解析において最も重要な空間はL ^p空間であり、これはノルムから得られる計量を持つ計量空間であり、完備である。つまり、バナッハ空間である。

距離空間は解析学において非常に便利です。なぜなら、ユークリッド空間で成り立つ多くの強力な近似結果が、最小限の変更で距離空間にも適用できるからです。例えば、距離空間におけるコンパクト性は、列コンパクト性と等価であるため、距離空間における極限論証は、解析学におけるより一般的な空間に比べて、比較的容易に行うことができます。コンパクト距離空間と完備距離空間は、多くの論証が極限の存在を必要とする解析学において特に重要です。

複素数は、多くの解析方程式にとって重要なツールの一つです。複素変数の複素数値関数は、その定義域の各点において導関数が複素極限として存在する場合、正則関数と呼ばれます。正則関数は、実変数の微分可能な関数よりもはるかに厳密です。つまり、正則関数は解析関数であり、局所的に収束するべき級数で表されます。

複素変数における重要なツールの一つに、複素平面上の曲線に沿って関数を積分する経路積分があります。コーシーの積分定理、コーシーの積分公式、および留数定理は、正則関数または有理型関数の値と、曲線上および特異点近傍での挙動との関係を示しています。これらの定理を用いることで、正則関数を積分する際に経路を移動させることができます。ただし、経路の変形が特異点を横切らないことが条件となります。これは、多くの実積分を評価する際や、関数の特異点を通じた研究において有用です。

作用素論およびスペクトル論において、作用素のレゾルベントはそのスペクトルに関する情報を符号化し、多くの場合、作用素の関数を複素積分によって定義することを可能にする。したがって、複素変数は微分方程式、積分方程式、固有値問題、および線形作用素の理論に関連して現れる。

測度論は、ユークリッド空間における長さ、面積、体積を一般化する形で、空間の部分集合に大きさを体系的に割り当てる方法を提供する。抽象的に言えば、測度論はまず、測度を持つ集合、すなわち可測集合のクラスを指定することから始まる。可測集合はシグマ代数を形成し、可算個の和集合と積集合、および補集合を取ることができる。そして、測度は、可測集合に対する集合演算と互換性のある方法で定義される。

測度論において、関数の点ごとの収束は、ほとんど至るところでの収束、すなわち、測度がゼロである集合を除くすべての点での収束という概念に置き換えることができる。測度論では、ほとんど至るところでの収束の方がはるかに便利である。多くの場合、様々な種類の平均収束では、点ごとの収束が失敗する正確な集合を制御できないが、その悪い集合の測度がゼロであることを保証できる。関数は、ほとんど至るところで、つまり測度がゼロの集合以外で一致する場合に、しばしば同一視される。したがって、測度がゼロの集合は、実際にはしばしば単純に無視される。

ルベーグ積分はリーマン積分を拡張したものであり、解析の極限過程により適している。非負関数に対するルベーグ積分の考え方${\displaystyle f}$、その超レベル集合の測度を用いて再配置を定義することにより、その値を並べ替えて減少関数を形成することが可能です。減少関数の積分は積分に関してより優れた極限特性を持ち、その良好な挙動はルベーグ積分にも適用できます。単調収束、ファトゥの補題、優収束定理などの定理があり、多くの極限論証を簡略化します。

測度論は、確率論の基礎となる数学も提供する。確率空間とは、総測度が1である測度空間であり、期待値はこの確率測度に関する積分である。

解析学における多くの関数空間は、測度を用いて定義されます。L p空間は^、べき乗が積分可能な関数から構成され、関数はほぼ至るところで一致する場合に識別されます。これらの空間は、調和解析や偏微分方程式など、解析学全体を通して重要です。

解析におけるもう一つのテーマは、対称性、スケール、または振動によって決定される、より単純な部分に関数を分解することです。典型的な例はフーリエ級数であり、これは周期関数を基本的な正弦波に分解します。フーリエ級数は三角級数の形をとります。$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{in\theta }}$$ どこ${\displaystyle c_{n}}$は複素数であり、${\displaystyle \theta }$は独立変数です。

フーリエ級数は、指数関数を用いた固有関数展開の一例です。${\displaystyle e^{in\theta }}$は、円に作用する回転群の固有関数です。これは直交展開という性質を持ちます。つまり、任意の 2 つの固有関数は、円上の二乗可積分関数のヒルベルト空間において直交します。固有関数展開は、数学解析の多くの分野、特に対称性が重要な科学への応用において現れます。別の種類の固有関数展開の例として、球面上の関数を球面調和関数に分解することが挙げられます。これもまた直交展開であり、展開の直交性により、各空間を扱いやすく分離することができます。

展開は、収束と近似、滑らかさと振動、減衰、微分方程式の解などを研究するために利用できます。例えば、ソボレフ空間は、関数の滑らかさとフーリエ係数の減衰を関連付けます。これらの表現は、関数の元の形式からは見えにくい構造情報を示すことができます。

フーリエ解析とは、そのような分解を研究する学問であり、主にフーリエ変換とその一般化に焦点を当てている。

解析における多くの問題は、量が時間とともに、あるいは規則を繰り返し適用した際にどのように変化するかに関係しています。これは常微分方程式や偏微分方程式につながり、そこでは導関数が所定の関係を満たす関数を研究します。規則を繰り返し適用する場合、関数や変換の反復を研究し、離散的な力学系が得られます。

力学における解析的な問題には、解の存在と一意性、安定性、軌道の近似、長時間挙動、初期条件への依存性などが含まれる。例えば、微分方程式は空間上の流れを決定し、写像の反復は軌道を生成する。解析ツールは、そのような軌道が収束するか、有界性を維持するか、周期的になるか、あるいはより複雑な挙動を示すかを判断するために用いられる。

力学は解析的手法の重要な応用であり、解析学自体の中にアイデアやテクニックを生み出します。エルゴード理論では、測度を保存する変換が重要な対象であり、軌道に沿った時間平均がシステム全体の空間平均とどのように関係するかを問うことになります。基本的な理論は、システムの軌道の下で関数の時間平均が空間平均と等しくなるかどうか、そしてその近似がどのくらいの速さで起こるかに関係しています。関数解析では、進化問題はしばしば、数値や行列から無限次元空間に指数関数を一般化した作用素半群などの1パラメータの作用素族を用いて研究されます。

解析学の多くの分野では、微分作用素、積分作用素、関数空間やその他の位相ベクトル空間上の線形変換といった作用素が研究されています。作用素は、システムの進化、微分方程式や積分方程式、量子状態や観測量といった情報を符号化することができます。作用素のスペクトル理論では、作用素を細分化して表現することができ、線形代数における固有値分解の側面を無限次元に一般化しています。線形代数と同様に、スペクトル分解を通して作用素をより深く理解できる場合がよくあります。

微積分は、主に計算と応用を扱う解析学の一分野です。^{[ 17 ] [ 18 ]} 微積分には、平均、累積、面積の研究を扱う積分と、変化率、線形近似、導関数を研究する微分という 2 つの分野があります。微積分の応用例としては、テイラー近似やテイラー級数などの近似の扱い方、初等的な積分、積分の数値近似、基本的な最適化などがあります。

ベクトル解析（ベクトル計算とも呼ばれる）は、ベクトル値関数を扱う微積分学の一部である。^{[ 19 ]}

実解析（伝統的には「実変数関数の理論」）は、実数と実変数の実数値関数を扱う数学解析の一分野です。^{[ 20 ] [ 21 ]}特に、実数関数と実数列の性質を扱い、実数列の収束と極限、微積分学の厳密な基礎、実数値関数の連続性、滑らかさ、および関連する性質などが含まれます。

複素解析（伝統的には「複素変数の関数の理論」として知られている）は、複素数の関数を研究する数学解析の一分野である。^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}代数幾何学、数論、応用数学など、数学の多くの分野で有用であり、流体力学、熱力学、機械工学、電気工学、特に量子場理論などの物理学でも有用である。

複素解析は、特に複素変数の解析関数（より一般的には、有理型関数）に関係しています。解析関数の実部と虚部はそれぞれラプラス方程式を満たす必要があるため、複素解析は物理学における2次元問題に広く応用されています。

関数解析は数学解析の一分野であり、その核心は、何らかの極限関連構造（例えば、内積、ノルム、位相など）を備えたベクトル空間と、これらの空間に作用し、適切な意味でこれらの構造を尊重する線形演算子の研究によって形成されます。 ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]}関数解析の歴史的ルーツは、関数空間の研究と、関数空間間の連続、ユニタリなどの演算子を定義する変換としてのフーリエ変換などの関数の変換の性質の定式化にあります。この観点は、微分方程式と積分方程式の研究に特に役立つことがわかりました。

フーリエ解析は、関数や信号を基本波の重ね合わせとして表現することに関する数学解析の一分野である。^{[ 29 ] [ 30 ]}これには、フーリエ級数とフーリエ変換の概念、およびそれらの一般化の研究が含まれる。フーリエ解析には、定数係数を持つ線形微分演算子とその擬微分演算子への一般化の研究も含まれる。

マイクロローカル解析はフーリエ解析の一分野であり、関数の特異点をどのように局所化するか、またそれらが微分演算子や擬微分演算子の下でどのように伝播するかを扱う。

調和解析は、調和関数、特にその境界値の研究に起源を持つ数学の一分野です。調和関数理論は、ハーディ空間のような関数空間の研究、特にそのような空間への所属基準や作用素の評価へと自然につながります。フーリエ解析の多くの手法が含まれますが、関数をフーリエ法で扱える部分と局所法で扱える部分に分解するカルデロン・ジグムント分解などの他の分解手法も含まれます。 ^{[ 31 ]}

抽象調和解析は関連する伝統であり、古典的なフーリエ解析法が適用される群以外の群にもフーリエ解析法を一般化するものである。

微分方程式は、1つまたは複数の変数の未知の関数に関する数学方程式であり、関数自体の値とさまざまな階数の導関数を関連付けます。^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}微分方程式は、工学、物理学、経済学、生物学、その他の分野で重要な役割を果たしています。

微分方程式は、科学技術の多くの分野で現れます。特に、連続的に変化する量（関数でモデル化される）と、空間または時間におけるそれらの変化率（導関数で表される）を含む決定論的な関係が既知または仮定されている場合に顕著です。これは古典力学でよく示されており、物体の運動は、時間とともに変化する位置と速度によって記述されます。ニュートンの法則によれば、（物体の位置、速度、加速度、および物体に作用するさまざまな力が与えられた場合）これらの変数を、物体の未知の位置を時間の関数として表す微分方程式として動的に表現することができます。場合によっては、この微分方程式（運動方程式と呼ばれる）を明示的に解くことができます。

集合上の測度は、その集合の適切な部分集合それぞれに数値を割り当てる体系的な方法であり、直感的にはその大きさとして解釈される。 ^{[ 36 ] [ 37 ]}この意味で、測度は長さ、面積、体積の概念の一般化である。特に重要な例は、ユークリッド空間上のルベーグ測度であり、これはユークリッド幾何学の慣習的な長さ、面積、体積を適切な部分集合に割り当てるものである。${\displaystyle n}$次元ユークリッド空間$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$例えば、区間のルベーグ測度${\displaystyle \left[0,1\right]}$実際の数値では、日常的な意味での長さ、具体的には 1 です。

厳密に言えば、測度とは、集合の（特定の）部分集合に非負の実数または+∞を割り当てる関数である。${\displaystyle X}$。空集合には 0 を割り当て、（可算）加法的でなければなりません。つまり、有限個（または可算個）の「より小さな」互いに素な部分集合に分解できる「大きな」部分集合の尺度は、「より小さな」部分集合の尺度の合計です。一般に、与えられた集合の各部分集合に一貫したサイズを関連付けつつ、尺度の他の公理を満たしたい場合、計数尺度のような自明な例しか見つかりません。この問題は、すべての部分集合のサブコレクションに対してのみ尺度を定義することによって解決されました。いわゆる可測部分集合は、${\displaystyle \sigma }$-代数。これは、空集合、可算和集合、可算共通部分集合、可算補集合が可算であることを意味します。ユークリッド空間における、ルベーグ測度を一貫して定義できない非可測集合は、その補集合とひどく混ざり合っているという意味で、必然的に複雑です。実際、それらの存在は選択公理の非自明な帰結です。

数値解析とは、（一般的な記号操作とは対照的に）数値近似を用いるアルゴリズムを、（離散数学とは区別される）数学解析の問題に対して研究することである。^{[ 38 ]}

現代の数値解析は厳密な解を求めるものではありません。なぜなら、実際には厳密な解を得ることはしばしば不可能だからです。その代わりに、数値解析の多くは、誤差の許容範囲内を維持しながら近似解を得ることに重点を置いています。

数値解析は、当然ながら工学や物理科学のあらゆる分野で応用されていますが、21 世紀には生命科学や芸術分野にも科学的計算の要素が取り入れられるようになりました。常微分方程式は天体力学（惑星、恒星、銀河）に現れ、数値線形代数はデータ解析に重要であり、確率微分方程式やマルコフ連鎖は医学や生物学における生細胞のシミュレーションに不可欠です。

幾何解析は、多様体、特にリーマン多様体の研究を扱う解析学の一分野である。リーマン幾何学のグローバルな問題がよく研究される。^{[ 39 ]}一例として、ドラムの形状を聞き取る問題を一般化したラプラス・ベルトラミ演算子のスペクトル幾何学がある。幾何解析におけるその他のグローバルな問題には、山辺方程式やリッチフローなどのリーマン多様体上の偏微分方程式がある。後者はポアンカレ予想の証明につながった。

凸解析は、凸関数、凸集合、および最適化や線形計画法への応用を扱う解析学の一分野です。凸関数は一般的に、特に下半連続性と組み合わせた場合、最小値の存在と一意性を保証するためのより強力な手法を備えています。凸最適化には多くの双対性があり、多くの場合、凸共役を用いて表現されます。これにより、最適化問題を双対問題とペアにすることができ、想定される解の最適性をチェックしたり、数値解にどれだけの余裕があるかを判定したりするための有用な基準が得られます。

変分法^{[ 40 ]}は、無限次元空間における最小化問題の最適解を見つける研究です。基本的な例としては、曲面上の測地線を見つけることが挙げられます。端点が与えられ、無限次元空間にあるすべての可能な経路の中から、弧長を最小にする経路を見つける必要があります。偏微分方程式の多くの問題は、より自然な変分的特徴付けが可能であり、これは弱解の概念につながる可能性があり、弱解は解析的手法や数値計算により適している場合が多いです。 変分法の直接法では、変分問題を凸最適化問題として定式化します。

最適輸送は、コスト制約の下で物をある場所から別の場所へ輸送する問題の定式化と解法を扱う変分法の分野です。この分野は、凸解析と多くの概念を共有しており、ルジャンドル双対性の一種であるカントロビッチ双対性などの双対性定理も含まれます。最適輸送の概念は、ワッサースタイン距離とその機械学習への応用など、幅広く予想外の応用例があります。

確率論は測度論を通して数学的解析と密接に結びついている。^{[ 41 ]}現代の公理的定式化では、確率空間は全測度1の測度空間であり、確率変数は可測関数であり、期待値は確率測度に関する積分である。解析的手法は、確率変数の収束、マルチンゲール、確率過程、ブラウン運動、確率微分方程式、エルゴード理論の研究において中心的な役割を果たす。

確率論はそれ自体が独立した数学分野であるが、その現代的な基礎や手法の多くは解析学に属する。確率解析は、確率積分、確率微分方程式、偏微分方程式や関数解析との関連など、確率過程に関わる解析的な問題を研究する。

古典力学、相対性理論、量子力学の大部分は、応用解析、特に微分方程式に基づいています。重要な微分方程式の例としては、ニュートンの第二法則、シュレーディンガー方程式、アインシュタイン場の方程式などが挙げられます。

関数解析は量子力学においても重要な要素である。

音声、電波、光波、地震波、さらには画像などの信号を処理する際、フーリエ解析は複合波形の個々の成分を分離し、検出や除去を容易にするためにそれらを集中させることができます。信号処理技術の大きなファミリーは、信号をフーリエ変換し、フーリエ変換されたデータを単純な方法で操作し、変換を逆変換することから成ります。^{[ 42 ]}

解析学の手法は、以下のような多くの数学分野で用いられています。

• 解析的整数論
• 解析的組み合わせ論
• 連続確率
• 情報理論における微分エントロピー
• 微分ゲーム
• 微分幾何学とは、複雑な内部構造を持ちながらも局所的には単純な振る舞いをする多様体と呼ばれる特定の数学的空間に微積分を応用する学問である。
• 微分可能多様体
• 微分トポロジー
• 偏微分方程式