集合値関数

集合値関数（または対応関数）は、ある集合（関数の定義域）の要素を別の集合のサブセットにマッピングする数学関数です。集合値関数は、最適化、制御理論、ゲーム理論など、さまざまな数学の分野で使用されます。

集合値関数は、いくつかの文献^[1]では多値関数とも呼ばれていますが、本書および数学的解析における他の多くの文献では、多値関数とは、集合値関数 $f$ であり、さらに連続性、つまり集合内の要素の選択によって、各集合内の $x$ に近い $y$ の対応する要素が定義され、局所的に通常の関数が定義されるという特性を備えています。 $f(x)$ $f(y)$

例

関数の argmax は一般に多値です。たとえば、です。 $\operatorname {argmax} _{x\in \mathbb {R} }\cos(x)=\{2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}$

集合値分析

集合値解析は、数学的解析と一般位相幾何学の精神に基づいた集合の研究です。

集合値解析では、点のみの集合を考慮するのではなく、集合の集合を考慮します。集合の集合に位相が備わっている場合、または基礎となる位相空間から適切な位相を継承している場合は、集合の収束を研究できます。

集合値解析の多くは、数理経済学と最適制御の研究を通じて、部分的には凸解析の一般化として生まれました。「変分解析」という用語は、 R. Tyrrell RockafellarとRoger JB Wets、Jonathan BorweinとAdrian Lewis、Boris Mordukhovichなどの著者によって使用されています。最適化理論では、近似サブ微分がサブ微分に収束することは、任意の最小化点の必要条件または十分条件を理解する上で重要です。

点値解析からの以下の概念の集合値拡張が存在する：連続性、微分、積分、^[2] 暗黙関数定理、縮約写像、測度論、不動点定理、^[3] 最適化、位相次数理論。特に、方程式は包含に一般化され、微分方程式は微分包含に一般化される。

連続性を一般化する概念としては、閉グラフの性質や上半連続性、下半連続性など複数ある^{[a] 。また、}測度の多関数への一般化も様々ある。

アプリケーション

集合値関数は最適制御理論、特に微分包含やゲーム理論などの関連分野で登場し、集合値関数の角谷不動点定理はナッシュ均衡の存在を証明するために適用されてきました。これは、連続関数による上半連続多関数の近似可能性と緩く関連する他の多くの特性の中でも、上半連続性が下半連続性よりも好まれる理由を説明しています。

それにもかかわらず、下側の半連続多関数は、通常、マイケル選択定理で述べられているように連続選択を持ち、これはパラコンパクト空間の別の特徴付けを提供する。^[4]^[5]ブレッサン-コロンボ方向連続選択、クラトフスキーおよびリル-ナルゼフスキーの可測選択定理、オーマン可測選択、および分解可能写像に対するフリシュコフスキー選択などの他の選択定理は、最適制御および微分包含の理論において重要である。

注記

^ 一部の著者は「hemicontinuous」の代わりに「semicontinuous」という用語を使用しています。

参考文献

^ レポシュ、ドゥシャン (1998)。多値マッピングの連続選択。パベル・ウラジミロヴィッチ。セミノフ。ドルドレヒト: クルーワー学者。ISBN 0-7923-5277-7. OCLC 39739641.
^ Aumann, Robert J. (1965). 「集合値関数の積分」.数学解析応用ジャーナル. 12 (1): 1–12. doi : 10.1016/0022-247X(65)90049-1 .
^ 角谷静雄(1941). 「ブラウワーの不動点定理の一般化」.デューク数学ジャーナル. 8 (3): 457–459. doi :10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
^ アーネスト・マイケル(1956年3月). 「連続選択 I」(PDF) . Annals of Mathematics . 第2シリーズ. 63 (2): 361–382. doi :10.2307/1969615. hdl :10338.dmlcz/119700. JSTOR 1969615.
^ Dušan Repovš ; PV Semenov (2008). 「アーネスト・マイケルと連続選択理論」Topology Appl . 155 (8): 755–763. arXiv : 0803.4473 . doi :10.1016/j.topol.2006.06.011. S2CID 14509315.

さらに読む

K. デイムリング『多値微分方程式』、ウォルター・デ・グリュイター、1992年
CD Aliprantis および KC Border、「無限次元解析」、ヒッチハイカーのガイド、Springer-Verlag Berlin Heidelberg、2006 年
J. Andres および L. Górniewicz、「境界値問題のための位相的固定点原理」、Kluwer Academic Publishers、2003 年
J.-P. Aubin および A. Cellina、「微分包含、集合値マップおよび実行可能性理論」、Grundl. der Math. Wiss. 264、Springer - Verlag、ベルリン、1984 年
J.-P. Aubin およびH. Frankowska、集合値解析、Birkhäuser、バーゼル、1990 年
D. Repovšおよび PV Semenov、「多値マッピングの連続選択」、Kluwer Academic Publishers、ドルドレヒト 1998
EU Tarafdar および MSR Chowdhury、「集合値非線形解析のための位相的手法」、World Scientific、シンガポール、2008 年
Mitroi, F.-C.; Nikodem, K.; Wąsowicz, S. (2013). 「凸集合値関数のエルミート-アダマール不等式」. Demonstratio Mathematica . 46 (4): 655–662. doi : 10.1515/dema-2013-0483 .

参照

[4] 一部の著者は「hemicontinuous」の代わりに「semicontinuous」という用語を使用しています。

[1] レポシュ、ドゥシャン (1998)。多値マッピングの連続選択。パベル・ウラジミロヴィッチ。セミノフ。ドルドレヒト: クルーワー学者。ISBN 0-7923-5277-7. OCLC 39739641.

[2] Aumann, Robert J. (1965). 「集合値関数の積分」.数学解析応用ジャーナル. 12 (1): 1–12. doi : 10.1016/0022-247X(65)90049-1 .

[kakutani-3] 角谷静雄(1941). 「ブラウワーの不動点定理の一般化」.デューク数学ジャーナル. 8 (3): 457–459. doi :10.1215/S0012-7094-41-00838-4.

[5] アーネスト・マイケル(1956年3月). 「連続選択 I」(PDF) . Annals of Mathematics . 第2シリーズ. 63 (2): 361–382. doi :10.2307/1969615. hdl :10338.dmlcz/119700. JSTOR 1969615.

[6] Dušan Repovš ; PV Semenov (2008). 「アーネスト・マイケルと連続選択理論」Topology Appl . 155 (8): 755–763. arXiv : 0803.4473 . doi :10.1016/j.topol.2006.06.011. S2CID 14509315.