ダルブーの定理（解析）

実解析において、ダルブーの定理は、実変数の任意の実数値関数の導関数は中間値の性質を持つ、つまり、ある区間の像もまた区間であるというものである。

いつ${\displaystyle f}$は連続的に微分可能である。これは中間値の定理の結果である。しかし、たとえ${\displaystyle f'}$は連続ではないため、ダルブーの定理は、の挙動に制限を課す。${\displaystyle f'}$任意の閉区間において。

させて${\displaystyle I}$を開区間とし、${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$実数値微分可能関数とする。${\displaystyle f'}$中間値の性質を持つ:${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$はポイントです${\displaystyle I}$と${\displaystyle a<b}$すると、すべての${\displaystyle y}$間${\displaystyle f'(a)}$そして${\displaystyle f'(b)}$存在する${\displaystyle x}$で${\displaystyle [a,b]}$そのため${\displaystyle f'(x)=y}$[ ^{1 ] [ 2 ] [ 3 ]​}

ジャン・ガストン・ダルブーによる原本は1875年に出版された。^{[ 4 ]}

ダルブー関数は実数値関数である。${\displaystyle f}$これは「中間値特性」を持ちます。任意の2つの値に対して${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$の領域において${\displaystyle f}$、そしてどんな${\displaystyle y}$間${\displaystyle f(a)}$そして${\displaystyle f(b)}$いくつかあります${\displaystyle c}$間${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$と${\displaystyle y=f(c)}$[ ^{5 ]}中間値の定理 により、実数区間上のすべての連続関数はダルブー関数である。ダルブーの貢献は、不連続なダルブー関数が存在することを示したことである^。

ダルブー関数の不連続点はすべて本質的である。つまり、不連続点のいずれにおいても、左極限と右極限の少なくとも一方は存在しない。

ある点で不連続となるダルブー関数の例として、位相幾何学者の正弦曲線関数が挙げられる。

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&{\text{for }}x\neq 0,\\0&{\text{for }}x=0.\end{cases}}}$

ダルブーの定理によれば、任意の微分可能な関数の導関数はダルブー関数である。特に、関数の導関数は${\displaystyle x\mapsto x^{2}\sin(1/x)}$ある一点で連続ではないにもかかわらず、ダルブー関数である。

どこでも連続でないDarboux 関数の例としては、Conway の 13 基数関数があります。もう 1 つは Bergfeldt 関数で、実数x を2 進数で展開したもので、数字は 13 進数です。${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {Z} _{+}}}$それぞれ0または1、${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{x_{k}}}{k}}}$そのxに対して級数が収束する場合は0、収束しない場合は 0 となる。^{[ 6 ]}

ダルブー関数は、かなり一般的な関数クラスです。実数直線上の任意の実数値関数ƒは、2 つのダルブー関数の和として表すことができることがわかっています。 ^{[ 7 ]}これは特に、ダルブー関数のクラスが加法に関して閉じていないことを意味します。

強ダルブー関数とは、すべての（空でない）開区間の像が実数直線全体となるような関数のことである。^{[ 5 ]}

ダルブーの定理は、関数が導関数であるための必要条件を与えるが、十分条件ではない。実関数のすべての導関数はベールクラス1でもあり、導関数が不連続となる点の集合はわずかである。${\displaystyle F_{\sigma }}$セット。逆に、あらゆるわずかな${\displaystyle F_{\sigma }}$実数直線の部分集合は、導関数の不連続集合として現れることがある。^{[ 8 ]}

導関数のサブレベル集合には、より細かい制約があります。実関数の場合${\displaystyle f}$関連するスーパーレベルおよびサブレベルの集合は${\displaystyle \{x:f(x)>a\}}$そして${\displaystyle \{x:f(x)<a\}}$、 どこ${\displaystyle a}$現実です。ザホルスキは授業を導入しました。${\displaystyle M_{0},\ldots ,M_{5}}$集合の大きさを記述する集合群。この用語では、次の定理が成り立つ。

• すべての有限導関数には、${\displaystyle M_{3}}$。
• すべての有界導関数には、${\displaystyle M_{4}}$さらに、ある集合が有界導関数の関連集合であるのは、それが${\displaystyle M_{4}}$[ ^{9 ]​}

直感的に、もし${\displaystyle f=F'}$そして${\displaystyle f(x_{0})>a}$すると、その集合は${\displaystyle f>a}$近くで任意に疎になることはできない${\displaystyle x_{0}}$。 もし${\displaystyle f}$連続${\displaystyle x_{0}}$これは些細なことだ。${\displaystyle f>a}$近隣地域全体で${\displaystyle x_{0}}$局所密度は${\displaystyle 1}$ザホルスキー条件は、導関数が不連続な場合でも有効な、より弱い密度要件を表しています。

より具体的には、空でない${\displaystyle F_{\sigma }}$セット${\displaystyle E}$に属する${\displaystyle M_{3}}$もし、すべての${\displaystyle x\in E}$閉区間の任意のシーケンス${\displaystyle I_{n}}$含まない${\displaystyle x}$、 と${\displaystyle \operatorname {dist} (x,I_{n})\to 0}$そして${\displaystyle \lambda (I_{n}\cap E)=0}$、満たす

${\displaystyle {\frac {\lambda (I_{n})}{\operatorname {dist} (x,I_{n})}}\to 0,}$

どこ${\displaystyle \lambda }$はルベーグ測度を表します。したがって、 の点の近くでは${\displaystyle E}$ギャップ${\displaystyle E}$長さは、その点からの距離に匹敵することはできない。${\displaystyle M_{4}}$より強い：${\displaystyle E}$に属する${\displaystyle M_{4}}$可算個の閉集合の和集合として表せる場合${\displaystyle E=\bigcup K_{n}}$各${\displaystyle K_{n}}$セット${\displaystyle E}$は、その点からの距離に匹敵する長さを持つ十分小さな片側区​​間のすべてにおいて、均一に正の割合を占める。この意味で、${\displaystyle M_{3}}$近くの大きな穴を排除し、${\displaystyle M_{4}}$均一な正の低密度条件を課す。

• この記事は、 PlanetMathに掲載されている Darboux の定理の資料を組み込んでおり、クリエイティブ・コモンズ表示-継承ライセンスの下でライセンスされています。
• 「ダルブーの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]