テイラーの定理

テイラーの定理の最も基本的なバージョンの正確な記述は以下のとおりです。

テイラーの定理に現れる多項式は${\textstyle {\boldsymbol {k}}}$次テイラー多項式

$${\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}$$

関数の${\displaystyle f}$その時点で${\displaystyle a}$テイラー多項式は、関数が存在する場合に、唯一の「漸近最適近似」多項式である。${\displaystyle h_{k}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$そして${\textstyle k}$次の多項式pで、

$${\displaystyle f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,}$$

それから${\displaystyle p=P_{k}}$テイラーの定理は剰余項の漸近挙動を記述する。

$${\displaystyle R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),}$$

これは、f をテイラー多項式で近似したときの近似誤差です。小文字の o を用いると、テイラーの定理の記述は次のようになります。

$${\displaystyle R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.}$$

fに関するより強い正則性の仮定の下では、テイラー多項式の剰余項R _kに対していくつかの正確な公式が存在し、最も一般的なものは次のとおりです。

テイラーの定理のこれらの改良版は通常、平均値の定理を用いて証明されるため、その名前が付けられています。さらに、これはまさに平均値の定理であることに注意してください。${\textstyle k=0}$また、同様の表現もいくつか見られます。例えば、G ( t )が閉区間で連続であり、開区間で非零導関数を持つ微分可能である場合、${\textstyle a}$そして${\textstyle x}$、 それから

$${\displaystyle R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}}$$

ある数に対して${\textstyle \xi }$間${\textstyle a}$そして${\textstyle x}$このバージョンでは、剰余のラグランジュ形式とコーシー形式を特殊な場合として扱い、以下でコーシーの平均値の定理を用いて証明します。ラグランジュ形式は、 を取ることによって得られます。${\displaystyle G(t)=(x-t)^{k+1}}$そしてコーシー形式は、${\displaystyle G(t)=t-a}$。

剰余項の積分形式に関する記述は、これまでの記述よりも高度であり、完全な一般性を得るにはルベーグ積分理論の理解が必要です。ただし、 fの( k + 1) 階微分が閉区間 [ a , x ] 上で連続であれば、リーマン積分の意味でも成り立ちます。  

f ^{( k )}の閉区間における絶対連続性により${\textstyle a}$そして${\textstyle x}$、その導関数f ^{( k +1 )}はL ¹関数として存在し、結果は微積分学の基本定理と部分積分を用いた形式的な計算によって証明できます。

テイラー近似に現れる剰余項を正確な式で表すよりも、その値を推定できる方が実用上便利な場合が多い。fがaを含む区間Iで( k + 1)回連続微分可能であると仮定する。実定数qとQが存在し、

$${\displaystyle q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}$$

I全体を通して。すると、剰余項は不等式^{[ 11 ]を満たす。}

$${\displaystyle q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}$$

x > aの場合、 x < aの場合も同様の推定値が得られます。これは、剰余のラグランジュ形式の単純な帰結です。特に、

$${\displaystyle |f^{(k+1)}(x)|\leq M}$$

区間I = ( a − r , a + r )上で、${\displaystyle r>0}$、 それから

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}}$$

すべてのx ∈( a − r , a + r )に対して。2番目の不等式は、区間( a − r , a + r )上のすべてのxに対して一様に成り立つため、一様評価と呼ばれます。

関数の近似値を求めたいとします。${\textstyle f(x)=e^{x}}$インターバル中に${\textstyle [-1,1]}$近似誤差が10⁻⁵以下になるようにします^。この例では、指数関数の以下の性質のみが分かっていると仮定します。

これらの性質から、${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$すべての人々のために${\textstyle k}$特に、${\textstyle f^{(k)}(0)=1}$したがって${\textstyle k}$の次テイラー多項式${\textstyle f}$で${\textstyle 0}$そして、ラグランジュ形式でのその剰余項は次のように与えられる。

$${\displaystyle P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},}$$

どこ${\textstyle \xi }$は 0 からxの間の数です。e ^xは ( ★ ) だけ増加するので、単純に${\textstyle e^{x}\leq 1}$のために${\textstyle x\in [-1,0]}$部分区間の残差を推定する${\displaystyle [-1,0]}$の剰余の上限を求めるには${\displaystyle [0,1]}$私たちはそのプロパティを使用します${\textstyle e^{\xi }<e^{x}}$のために${\textstyle 0<\xi <x}$推定する

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1}$$

2次テイラー展開を使用します。次に、e ^xを解いて、次のことを導き出します。

$${\displaystyle e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1}$$

分子を最大化し、分母を最小化するだけです。e ^xのこれらの推定値を組み合わせると、次のことがわかります。

$${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1,}$$

したがって、必要な精度は確実に達成されます。

$${\displaystyle {\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Longleftrightarrow \quad k\geq 9.}$$

（階乗を参照するか、値を手計算してください）${\textstyle 9!=362880}$そして${\textstyle 10!=3628800}$結論として、テイラーの定理は近似式につながる。

$${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.}$$

例えば、この近似式は小数表現を提供する。${\displaystyle e\approx 2.71828}$小数点以下5桁まで正確に表示します。

I ⊂ Rを開区間とする。定義により、関数f  : I → R は、収束するべき級数によって局所的に定義される場合、実解析的である。これは、任意のa ∈ Iに対して、あるr > 0 と係数列c _k ∈ Rが存在し、( a − r , a + r ) ⊂ Iおよび      

$${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots ,\qquad |x-a|<r.}$$

一般に、べき級数の収束半径はコーシー・アダマールの公式から計算できる。

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{k\to \infty }|c_{k}|^{\frac {1}{k}}.}$$

この結果は幾何級数との比較に基づいており、同じ方法により、あるb ∈ Rに対してaに基づくべき級数が収束する場合、閉区間上で一様に収束しなければならないことが示されています。${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$、 どこ${\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }$ここではべき級数の収束のみが考慮されており、( a − R , a + R )がfの定義域Iを超える可能性も十分にある。

実解析関数fのaにおけるテイラー多項式は、単純に有限切断である。

$${\displaystyle P_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}c_{j}(x-a)^{j},\qquad c_{j}={\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}}$$

局所的に定義されるべき級数であり、対応する剰余項は解析関数によって局所的に与えられる。

$${\displaystyle R_{k}(x)=\sum _{j=k+1}^{\infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),\qquad |x-a|<r.}$$

ここに関数があります

$${\displaystyle {\begin{aligned}&h_{k}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\[1ex]&h_{k}(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\infty }c_{k+1+j}\left(x-a\right)^{j}\end{aligned}}}$$

定義級数が元の級数と同じ収束半径を持つため、これらも解析的です。[ a − r , a + r ] ⊂ Iかつr  < Rと仮定すると、これらの級数はすべて( a − r , a + r )上で一様に収束します。当然ながら、解析関数の場合、剰余項を推定することができます。 ${\textstyle R_{k}(x)}$展開の中心にある導関数のシーケンスf′ ( a )の末尾によって、複素解析を使用する別の可能性も生じ、それは以下に説明します。

fのテイラー級数は、k が無限大に近づくにつれてすべての導関数が有界であり、かつ急激に増加しないような区間で収束します。（ただし、テイラー級数が収束したとしても、後述するようにfに収束しない場合があります。その場合、 fは非解析的であると言われます。）

テイラー級数を思い浮かべる人もいるかもしれない。

$${\displaystyle f(x)\approx \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots }$$

無限回微分可能な関数f  : R → Rのaにおける「無限次テイラー多項式」として。ここで、剰余の評価は、任意のrに対してfの導関数が ( a  − r , a + r ) 上で有界である場合、任意の次数kおよび任意のr > 0 に対して定数M _k,r > 0が存在し、     

すべてのx  ∈  ( a  − r , a + r )に対して。定数M _{k,r は}、固定されたrとすべてのkに対して、 M _k,rが上に有界となるように選択できる場合がある。この場合、 fのテイラー級数は、ある解析関数に一様に収束する。   

$${\displaystyle {\begin{aligned}&T_{f}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&T_{f}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\left(x-a\right)^{k}\end{aligned}}}$$

（ M _k,rが上に有界でなくても、十分にゆっくりと増加する限り、収束は得られる。）

極限関数T _fは定義上常に解析的ですが、fが無限回微分可能であっても、必ずしも元の関数fと等しいとは限りません。この場合、fは非解析的な滑らかな関数、例えば平坦な関数と呼ばれます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

連鎖律を数学的帰納法で繰り返し用いると、任意の次数kに対して、 

$${\displaystyle f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}}$$

次数 2( k − 1) の多項式p _kに対して、関数${\displaystyle e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}}$はどの多項式よりも早くゼロになる傾向がある。${\textstyle x\to 0}$したがって、fは無限回微分可能であり、すべての正の整数kに対してf ^{( k )} (0) = 0 となります。この場合、上記の結果はすべて成り立ちます。

• fのテイラー級数は、すべての係数がゼロである解析関数T _f ( x )  = 0 に一様に収束します。 
• 関数fはこのテイラー級数とは等しくないため、非解析的である。
• 任意の次数k  ∈ Nおよび半径r > 0 に対して、上記の剰余境界( ★★ ) を満たすM _k,r > 0が存在する。      

しかし、rを固定してkが増加すると、 M _k,rの値はr ^k よりも速く増加し、誤差はゼロになりません。

テイラーの定理は、複素平面の開集合U ⊂ Cにおいて複素微分可能な関数f  : C → Cに一般化されます。しかし、その有用性は複素解析における他の一般的な定理に比べると劣ります。すなわち、コーシーの積分公式を用いることで、複素微分可能な関数f : U → Cに対して、関連する結果のより強力なバージョンを以下のように導出できます。      

r  >  0 で、閉円盤 B ( z , r ) ∪ S ( z , r ) が U に含まれるとする。このとき、円S ( z , r )の正のパラメータ化γ ( t ) = z + re itを用いたコーシーの^積分公式は、    ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$ 与える

$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw,\quad f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw,\quad \ldots ,\quad f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,dw.}$$

ここで、すべての被積分関数は円S ( z , r ) 上で連続であり、積分記号の下での微分が正当化されます。特に、f が 開集合U上で一度複素微分可能であれば、実際にはU上で無限回複素微分可能です。また、コーシーの評価^{[ 12 ]も得られます。} 

$${\displaystyle |f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}}\,dw={\frac {k!M_{r}}{r^{k}}},\quad M_{r}=\max _{|w-c|=r}|f(w)|}$$

任意のz  ∈ Uおよびr > 0に対して、 B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ Uとなる。この推定は、複素テイラー級数が         

$${\displaystyle T_{f}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}}$$

fは任意の開円盤上で一様に収束する${\textstyle B(c,r)\subset U}$と${\textstyle S(c,r)\subset U}$ある関数T _fに。さらに、導関数f ^{( k )} ( c )の経路積分公式を使用すると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{f}(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{k}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{k+1}}}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-c}{w-c}}\right)^{k}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {z-c}{w-c}}}}\right)\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw\\&=f(z),\end{aligned}}}$$

したがって、開集合U ⊂ C内の任意の複素微分可能関数f は、実際には複素解析関数です。ここで実解析関数について述べたことはすべて、開区間Iを開部分集合U ∈ Cに、aを中心とする区間 ( a − r , a + r )をcを中心とする円盤B ( c , r ) に置き換えた複素解析関数にも当てはまります。特に、テイラー展開は次の形式で成り立ちます。          

$${\displaystyle f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),\quad P_{k}(z)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},}$$

ここで、剰余項R _kは複素解析的である。複素解析の手法は、テイラー展開に関して強力な結果をもたらす。例えば、任意の正の向きを持つジョルダン曲線に対してコーシーの積分公式を用いると、${\textstyle \gamma }$境界をパラメータ化する${\textstyle \partial W\subset U}$ある地域の${\textstyle W\subset U}$すると、上記のように導関数f ^{( j )} ( c )の式が得られ、 T _f ( z ) = f ( z )の計算を少し変更すると、正確な式が得られます。

$${\displaystyle R_{k}(z)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(z-c)^{j}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{j+1}}}\,dw={\frac {(z-c)^{k+1}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)\,dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}},\qquad z\in W.}$$

ここで重要な特徴は、領域上でのテイラー多項式による近似の精度である。${\textstyle W\subset U}$境界上では関数f自体の値によって支配される${\textstyle \partial W\subset U}$同様に、剰余項の級数表現にコーシーの推定値を適用すると、一様推定値が得られる。

$${\displaystyle |R_{k}(z)|\leq \sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r^{j}}}={\frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{\frac {|z-c|^{k+1}}{1-{\frac {|z-c|}{r}}}}\leq {\frac {M_{r}\beta ^{k+1}}{1-\beta }},\qquad {\frac {|z-c|}{r}}\leq \beta <1.}$$

機能

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}$$

これは実解析関数、つまり局所的にテイラー級数で決定される関数です。この関数は、展開中心の近傍が大きすぎる場合、一部の初等関数はテイラー多項式で近似できないという事実を示すために上にプロットされました。このような挙動は複素解析の枠組みでは容易に理解できます。すなわち、関数fは有理型関数に拡張されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f:\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\\&f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}\end{aligned}}}$$

コンパクト化された複素平面上。単純極は${\textstyle z=i}$そして${\textstyle z=-i}$、そして他の場所では解析的です。ここで、z _{0を中心とするテイラー級数は、} r < | z − z ₀ | を満たす任意の円盤B ( z ₀ , r )上で収束し、同じテイラー級数はz ∈ Cで収束します。したがって、 0 を中心とするfのテイラー級数はB (0, 1) 上で収束しますが、 iと −iに極があるため、| z | > 1 を満たす任意のz ∈ C上では収束しません。同じ理由で、1 を中心とするfのテイラー級数は収束します。      ${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$また、任意のz  ∈ Cに対して収束しない。 ${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$。

関数f : R ⁿ → R がa ∈ R ⁿで微分可能であるのは、線形汎関数L : R ⁿ → Rと関数h : R ⁿ → Rが存在し、  

$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})\lVert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}\rVert ,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0.}$$

もしそうなら、${\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}$は、点aにおけるfの（一意に定義された）微分である。さらに、fの偏導関数はaで存在し、 aにおけるfの微分は次のように与えられる。

$${\displaystyle df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}.}$$

多重インデックス表記法を導入する

$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha$$ !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}

α ∈ N ⁿおよびx ∈ R ⁿの場合。すべての${\textstyle k}$f : R ⁿ → Rの階偏導関数はa ∈ R ⁿで連続であるため、クレローの定理により、 aでの混合導関数の次数を変更できるため、略記法は次のようになります。 

$${\displaystyle D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial {\boldsymbol {x}}^{\alpha }}}={\frac {\partial ^{\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

この状況では、高階偏導関数については、このことが正当化されます。 fのすべての ( k − 1 ) 階偏導関数がaの近傍に存在し、 aで微分可能である場合も同様です。^{[ 13 ]}この場合、 fは点aでk回微分可能であると言います。 

前節の記号を用いると、次の定理が得られる。

関数f  : R ⁿ → Rが閉球内でk + 1回連続微分可能である場合${\displaystyle B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}}$一部の人にとって${\displaystyle r>0}$すると、この近傍におけるfの( k +1 ) 階偏微分を用いて、残差の正確な公式を導出することができる。 ^{[ 15 ]}すなわち、

$${\displaystyle {\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha$$ !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta  !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}}

この場合、コンパクト集合Bにおける( k + 1 ) 階偏微分の連続性により、一様な評価が直ちに得られる。

$${\displaystyle \left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta$$ !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.}

例えば、滑らかな関数の3次テイラー多項式${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$は、${\displaystyle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {v}}}$、

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{}&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{2}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}}$$

[ ^{16 ]​}

$${\displaystyle h_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}}$$

ここで、テイラーの定理の記述にあるように、

$${\displaystyle P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.}$$

示すだけで十分である

$${\displaystyle \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.}$$

ここでの証明は、ロピタルの定理を繰り返し適用することに基づいています。各 について、${\textstyle j=0,1,...,k-1}$、${\displaystyle f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)}$したがって、最初の各${\textstyle k-1}$分子の導関数${\displaystyle h_{k}(x)}$消える${\displaystyle x=a}$、分母についても同様です。また、関数の条件は${\textstyle f}$なれ${\textstyle k}$ある点での微分可能性は、次数までの微分可能性を必要とする。${\textstyle k-1}$当該点の近傍において（これは、微分可能性には関数が点の近傍全体で定義されている必要があるため真である）、分子とその${\textstyle k-2}$導関数は、${\textstyle a}$明らかに、分母も上記の条件を満たしており、さらに、以下の条件を満たさない限り消滅しません。${\textstyle x=a}$したがって、ロピタルの定理に必要な条件はすべて満たされており、その使用は正当化される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&=\cdots \\[1ex]&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-P^{(k)}(a))=0\end{aligned}}}$$

ここで、最後から2番目の等式は、導関数の定義から導かれる。${\textstyle x=a}$。

させて${\displaystyle f(x)}$は、テイラー多項式によって近似される任意の実数値連続関数とする。

ステップ1：${\textstyle F}$そして${\textstyle G}$関数である。${\textstyle F}$そして${\textstyle G}$である

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G(x)=(x-a)^{n}\end{aligned}}}$$

ステップ2：${\textstyle F}$そして${\textstyle G}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F(a)&=f(a)-f(a)-f'(a)(a-a)-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}}(a-a)^{n-1}=0\\G(a)&=(a-a)^{n}=0\end{aligned}}}$$

同様に、

$${\displaystyle {\begin{aligned}F'(a)=f'(a)-f'(a)-{\frac {f''(a)}{(2-1)!}}(a-a)^{(2-1)}-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)}{(n-2)!}}(a-a)^{n-2}=0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G'(a)&=n(a-a)^{n-1}=0\\&\qquad \vdots \\G^{(n-1)}(a)&=F^{(n-1)}(a)=0\end{aligned}}}$$

ステップ3：コーシーの平均値の定理を用いる

させて${\displaystyle f_{1}}$そして${\displaystyle g_{1}}$連続関数である${\displaystyle [a,b]}$。 以来${\displaystyle a<x<b}$それで、間隔を使って作業できます${\displaystyle [a,x]}$。 させて${\displaystyle f_{1}}$そして${\displaystyle g_{1}}$微分可能である${\displaystyle (a,x)}$。 仮定する${\displaystyle g_{1}'(x)\neq 0}$すべての人々のために${\displaystyle x\in (a,b)}$すると、${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$そのため

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f_{1}(x)-f_{1}(a)}{g_{1}(x)-g_{1}(a)}}={\frac {f_{1}'(c_{1})}{g_{1}'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

注記：${\displaystyle G'(x)\neq 0}$で${\displaystyle (a,b)}$そして${\displaystyle F(a),G(a)=0}$それで

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}\end{aligned}}}$$

一部の人にとって${\displaystyle c_{1}\in (a,x)}$。

これは以下の場合にも実行できます${\displaystyle (a,c_{1})}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}={\frac {F'(c_{1})-F'(a)}{G'(c_{1})-G'(a)}}={\frac {F''(c_{2})}{G''(c_{2})}}\end{aligned}}}$$