安定性理論

もし${\displaystyle \det A=0}$すると、${\displaystyle A}$0または1です。

• ランクがゼロの場合、${\displaystyle A=0}$そして、流れがない。
• ランクが1の場合、${\displaystyle \ker A}$そして${\displaystyle \operatorname {im} A}$どちらも一次元的である。
  • もし${\displaystyle \ker A=\operatorname {im} A}$すると${\displaystyle v}$スパン${\displaystyle \ker A}$、そして${\displaystyle w}$の先像である${\displaystyle v}$すると、${\displaystyle \{v,w\}}$基礎、${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$そのため、流れは${\displaystyle v}$方向。この場合、${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$。
  • もし${\displaystyle \ker A\neq \operatorname {im} A}$すると${\displaystyle v}$スパン${\displaystyle \ker A}$そして${\displaystyle w}$スパン${\displaystyle \operatorname {im} A}$すると、${\displaystyle \{v,w\}}$基礎、${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0\\0&a\end{bmatrix}}}$ゼロでない実数に対して${\displaystyle a}$。
    • もし${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$すると不安定になり、${\displaystyle a}$から${\displaystyle \ker A}$平行移動に沿って${\displaystyle \operatorname {im} A}$。
    • もし${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$すると安定し、${\displaystyle a}$に${\displaystyle \ker A}$平行移動に沿って${\displaystyle \operatorname {im} A}$。

もし${\displaystyle \det A\neq 0}$まず、行列のジョルダン標準形を求めて基底を取得します。${\displaystyle \{v,w\}}$その中で${\displaystyle A}$可能な3つの形式のうちの1つです。

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&0\\0&b\end{bmatrix}}}$どこ${\displaystyle a,b\neq 0}$。
  • もし${\displaystyle a,b>0}$、 それから${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=-(ab)^{2}\leq 0\\\det A=ab>0\end{cases}}}$原点はソースであり、積分曲線は次の形式である。${\displaystyle y=cx^{b/a}}$
  • 同様に${\displaystyle a,b<0}$起源はシンクです。
  • もし${\displaystyle a>0>b}$または${\displaystyle a<0<b}$、 それから${\displaystyle \det A<0}$、原点は鞍点である。積分曲線の形状は${\displaystyle y=cx^{-|b/a|}}$。
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}}$どこ${\displaystyle a\neq 0}$これは、基準の変更によってさらに簡略化できます。${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/a&0\\0&1\end{bmatrix}}}$その後${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$明示的に解くことができます$\displaystyle {\dot {X}}=AX}$と${\displaystyle A=a{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$解決策は${\displaystyle X(t)=e^{At}X(0)}$と${\displaystyle e^{At}=e^{at}{\begin{bmatrix}1&at\\0&1\end{bmatrix}}}$このケースは「退化ノード」と呼ばれます。この基底の積分曲線は、中心拡大です。${\displaystyle x=y\ln y}$それにx軸も加えます。
  • もし${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$ならば、その始点は退化源である。そうでなければ、それは退化シンクである。
  • どちらの場合も、${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$
• ${\displaystyle a{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$どこ${\displaystyle a>0,\theta \in (-\pi ,\pi ]}$。 この場合、${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=(2a\sin \theta )^{2}\geq 0}$。
  • もし${\displaystyle \theta \in (-\pi ,-\pi /2)\cup (\pi /2,\pi ]}$すると、これは螺旋状のシンクになります。この場合、 ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A<0\end{cases}}}$積分線は対数螺旋です。
  • もし${\displaystyle \theta \in (-\pi /2,\pi /2)}$すると、これは螺旋状の光源になります。この場合、 ${\displaystyle {\begin{cases}4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}>0\\\operatorname {tr} A>0\end{cases}}}$積分線は対数螺旋です。
  • もし${\displaystyle \theta =-\pi /2,\pi /2}$すると、これは回転（「中立安定性」）であり、${\displaystyle a}$原点に向かっても、原点から遠ざかることもなく移動する。この場合、 ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$積分線は円である。

要約は右側の安定性図に示されています。各ケースにおいて、${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$値${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$フローの種類を独自に分類できる。

特別なケースとして${\displaystyle 4\det A-(\operatorname {tr} A)^{2}=0}$区別できないケースが2つあります${\displaystyle (\operatorname {tr} A,\det A)}$どちらの場合も、${\displaystyle A}$固有値は1つだけで、代数的重複度は2である。

• 固有値が2次元固有空間（幾何学的重複度2）を持つ場合、システムは中心ノード（「スター」または「ダイクリティカルノード」と呼ばれることもある）であり、それはソース（${\displaystyle \operatorname {tr} A>0}$）またはシンク（${\displaystyle \operatorname {tr} A<0}$) ^{[ 2 ]}
• 1次元固有空間（幾何学的重複度1）を持つ場合、システムは縮退ノードである（${\displaystyle \det A>0}$）またはせん断流（もし${\displaystyle \det A=0}$)

いつ${\displaystyle \operatorname {tr} A=0}$、 我々は持っています${\displaystyle \det e^{At}=e^{\operatorname {tr} (A)t}=1}$なので、流れは面積保存的である。この場合、流れのタイプは次のように分類される。${\displaystyle \det A}$。

• もし${\displaystyle \det A>0}$そうなると、それは原点を中心とした回転（「中立安定性」）となる。
• もし${\displaystyle \det A=0}$そうなると、それはせん断流となる。
• もし${\displaystyle \det A<0}$すると、原点は鞍点となる。

f : R → R を不動点aを持つ連続微分可能な関数、f ( a ) = aとする。関数fを反復することによって得られる力学系を考える。

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\quad n=0,1,2,\ldots .}$$

固定点aは、 aにおけるfの導関数の絶対値が厳密に 1 より小さい場合に安定であり、厳密に 1 より大きい場合に不安定である。これは、点aの近傍では、関数fが傾きf' ( a )の線形近似を持つためである。

$${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)\left(x-a\right).}$$

したがって

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}=f(x_{n})&\approx f(a)+f'(a)\left(x_{n}-a\right)\\&=a+f'(a)\left(x_{n}-a\right)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \Rightarrow f'(a)\approx {\frac {x_{n+1}-a}{x_{n}-a}}}$$

つまり、導関数は、連続する反復計算が固定点aに近づく速度、あるいはそこから乖離する速度を測定するものです。点aにおける導関数がちょうど 1 または -1 の場合、安定性を判断するにはさらに情報が必要となります。

不動点aを持つ連続微分可能な写像f : R ⁿ → R ⁿについても、同様の判定基準が、 aにおけるヤコビ行列J a ₍ f )を用いて表される。Jのすべての固有値が絶対値が厳密に 1 より小さい実数または複素数であれば、 aは安定な不動点である。少なくとも 1 つの固有値の絶対値が厳密に 1 より大きい場合、aは不安定である。n = 1 の場合と同様に、最大の絶対値が 1 の場合についてはさらに調査する必要がある。ヤコビ行列の判定では結論が出ない。同じ判定基準は、滑らかな多様体の微分同相写像に対してより一般的に成り立つ。 

定数係数の1階線形微分方程式系の不動点の安定性は、対応する行列の固有値を用いて解析することができる。

自律システム

$${\displaystyle x'=Ax,}$$

ここで、x ( t ) ∈Rn^であり、Aは実数要素を持つn × n行列であり、定数解を持つ。

$${\displaystyle x(t)=0.}$$

（別の言い方をすれば、原点0 ∈ R ^{n は}対応する力学系の平衡点です。）この解は、t → ∞（「未来」）のとき漸近安定であるのは、Aのすべての固有値λに対してRe ( λ ) < 0 の場合のみです。同様に、 t → −∞（「過去」）のとき漸近安定であるのは、Aのすべての固有値λに対してRe( λ ) > 0の場合のみです。Re ( λ ) > 0となるAの固有値λが存在する場合、 t → ∞のとき解は不安定になります。

線形システムの安定性は、微分方程式を解いて固有値を求めるか、方程式を解かずにラウス・フルヴィッツの安定性判定法を用いることで判定できます。行列の固有値は、その特性多項式の根です。実数係数を持つ1変数多項式は、すべての根の実部が厳密に負である場合、フルヴィッツ多項式と呼ばれます。ラウス・フルヴィッツの定理は、根の計算を回避するアルゴリズムによってフルヴィッツ多項式を特徴付けることを意味します。

非線形システムの固定点の漸近安定性は、ハートマン・グロブマンの定理を用いて確立できることが多い。

vがR ⁿ内のC ¹ -ベクトル場であり、点pでv ( p ) = 0となると仮定します。すると、対応する自律系は次のようになります。

$${\displaystyle x'=v(x)}$$

定数解を持つ

$${\displaystyle x(t)=p.}$$

点pにおけるベクトル場vのn × nヤコビ行列をJ _p ( v )とする。Jのすべての固有値の実部が厳密に負であれば、解は漸近的に安定である。この条件は、ラウス・フルヴィッツの安定判別法を用いて判定できる。