コーシーの積分定理

数学において、複素解析におけるコーシーの積分定理（コーシー・グルサの定理とも呼ばれる）は、オーギュスタン＝ルイ・コーシー（およびエドゥアール・グルサ）にちなんで名付けられ、複素平面上の正則関数の線積分に関する重要な定理である。基本的に、単連結領域Ωで が正則である場合、Ω 内の任意の単閉路に対して、その線積分は 0 である ということを述べている。${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=0.}$$

f ( z )が開領域 U上の正則関数であり、が からまでのU内の曲線である場合、 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle z_{1}}$$${\displaystyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz=f(z_{1})-f(z_{0})。}$$

また、f ( z ) が開領域Uで単一値の不定積分を持つ場合、経路積分はU内のすべての経路に対して経路独立です。 ${\textstyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz}$

を単連結な開集合とし、を正則関数とします。を滑らかな閉曲線とします。すると、次のようになります。 (単連結である という条件は、 に「穴」がないこと、言い換えれば、の基本群が自明であることを意味します。) ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

を開集合、を正則関数とします。を滑らかな閉曲線 とします。が 定数曲線に 同相である場合、次のようになります。 (曲線が定数曲線に同相であるためには、曲線から定数曲線への滑らかなホモトピー( 内)が存在する必要があります。直感的には、これは曲線を空間から出ることなく点に縮小できることを意味します。) 最初のバージョンは、単連結集合上ではすべての閉曲線が定数曲線に 同相であるため、この特殊なケースです。${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$${\displaystyle \gamma}$$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$$${\displaystyle U}$

どちらの場合も、曲線がドメイン内の「穴」を囲んでいないことを覚えておくことが重要です。そうでない場合、定理は適用されません。有名な例として、 単位円をトレースする次の曲線があります。ここで、次の積分は ゼロではありません。は で定義されていない ため、コーシーの積分定理はここでは適用されません。直感的に、 はのドメイン内の「穴」を囲んでいるため、空間から出ることなく点に縮小することはできません。したがって、定理は適用されません。 ${\displaystyle \gamma}$$${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right],}$$$${\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=2\pi i\neq 0,}$$${\displaystyle f(z)=1/z}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \gamma}$

エドゥアール・グルサが示したように、コーシーの積分定理は、複素導関数がのどこにでも存在すると仮定するだけで証明できます。これが重要なのは、これらの関数に対するコーシーの積分公式を証明でき、そこからこれらの関数が無限に微分可能であると推論できるためです。 ${\displaystyle f'(z)}$${\displaystyle U}$

が単連結であるという条件は、に「穴」がないこと、またはホモトピーの用語で言えば、の基本群が自明であることを意味します。たとえば、 に対するすべての開円 は、この条件を満たします。この条件は重要です。 が単位円をトレースすると、経路積分は ゼロ以外になると考えてください 。は では定義されていない (そして間違いなく正則ではない) ため、コーシーの積分定理はここでは適用されません。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{z_{0}}=\{z:\left|z-z_{0}\right|<r\}}$${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$$${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]}$$$${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\,dt)=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}$$${\displaystyle f(z)=1/z}$${\displaystyle z=0}$

この定理の重要な帰結の1つは、単連結領域上の正則関数の経路積分は、微積分学の基本定理でよく知られている方法で計算できるということである。をの単連結開部分集合とし、 を正則関数とし、 を始点、終点 とするにおける区分的に連続的に微分可能な経路とする。がの複素原始微分である場合、 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle U}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a).}$$

コーシーの積分定理は、上記よりも弱い仮定でも成り立ちます。例えば、の単連結な開部分集合 が与えられた場合、が 上で正則かつ 上で連続であり、において修正可能な単純ループであるという仮定を弱めることができます。^[1]${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle U}$${\textstyle {\overline {U}}}$${\displaystyle \gamma}$ ${\textstyle {\overline {U}}}$

コーシーの積分定理は、コーシーの積分公式と留数定理につながります。

正則関数の偏導関数が連続していると仮定すると、グリーン定理と、 の実部と虚部が で囲まれた領域、さらにはこの領域の開近傍Uにおいてコーシー・リーマン方程式を満たさなければならないという事実から直接導かれる結果として、コーシーの積分定理が証明できます。コーシーはこの証明を提供しましたが、後にグルサットによって、ベクトル解析や偏導関数の連続性の技術を必要とせずに証明されました。 ${\displaystyle f=u+iv}$${\displaystyle \gamma}$

積分関数と微分を実数部と虚数部に 分解することができます。${\displaystyle f}$${\displaystyle dz}$

$${\displaystyle f=u+iv}$$ $${\displaystyle dz=dx+i\,dy}$$

この場合、 $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)}$$

グリーンの定理により、閉じた輪郭の周りの積分を、次のように囲まれた領域全体の面積積分に置き換えることができます。 ${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \gamma}$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$$ $${\displaystyle \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$$

しかし、領域 において正則な関数の実部と虚部は、そこで コーシー・リーマン方程式を満たさなければならない。${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$$

したがって、両方の積分関数（およびそれらの積分）はゼロであることがわかる。

$${\displaystyle \iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0}$$ $${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0}$$

これにより、望ましい結果が得られます $${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$$

• モレラの定理
• 輪郭積分法
• スタードメイン

• 小平邦彦(2007)、「複素解析」、ケンブリッジスタッド。上級数学、107、カップ、ISBN 978-0-521-80937-5
• アルフォース、ラース（2000）、複素解析、McGraw-Hill数学シリーズ、McGraw-Hill、ISBN 0-07-000657-1
• ラング、セルジュ(2003)、『複素解析』、Springer Verlag GTM、Springer Verlag
• ルディン、ウォルター(2000)、「実数と複素解析」、マグロウヒル数学シリーズ、マグロウヒル

• 「コーシーの積分定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein, Eric W.「コーシー積分定理」。MathWorld。
• Jeremy Orloff、18.04 複素変数とその応用、2018 年春、マサチューセッツ工科大学: MIT OpenCourseWare Creative Commons。