解決形式主義

数学において、リゾルベント形式論は、複素解析の概念をバナッハ空間およびより一般的な空間上の作用素のスペクトルの研究に適用する手法です。操作の形式的な正当性は、正則関数計算の枠組みの中に見出すことができます。

レゾルベントは、関数の解析構造における演算子のスペクトル特性を捉える。演算子Aが与えられた場合、レゾルベントは次のように定義される。

${\displaystyle R(z;A)=(A-zI)^{-1}~.}$

他の用途の中でも、リゾルベントは不同次フレドホルム積分方程式を解くのに使用できます。一般的に使用されるアプローチは、級数解、つまりリウヴィル・ノイマン級数です。

Aの分解は、A のスペクトル分解に関する情報を直接得るために使用できます。たとえば、λ がAのスペクトル内の 孤立した固有値であるとします。つまり、 複素平面に λ をAのスペクトルの残りの部分から分離する単純な閉曲線が存在するとします。すると、留数${\displaystyle C_{\lambda}}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C_{\lambda }}(A-zI)^{-1}~dz}$

はAのλ固有空間への 射影演算子を定義する。ヒレ・ヨシダ定理は、ラプラス変換を介したレゾルベントをAによって生成される 1 パラメータ変換群の積分に関連付ける。^[1] したがって、たとえばAが歪エルミート行列である場合、U ( t ) = exp( tA )はユニタリ演算子の 1 パラメータ群である。 のときはいつでも、 zにおけるAのレゾルベントはラプラス変換として表すことができる。 ${\displaystyle |z|>\|A\|}$

${\displaystyle R(z;A)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}U(t)~dt,}$

ここで積分は光線に沿って行われる。^[2]${\displaystyle \arg t=-\arg \lambda }$

リゾルベント演算子をAの級数として初めて大規模に使用したのは(リウヴィル-ノイマン級数を参照)、 Ivar Fredholmによるもので、1903 年にActa Mathematicaに発表された画期的な論文で、この論文は現代の演算子理論の確立に貢献しました。

リゾルベントという名前は、デイヴィッド・ヒルベルトによって付けられました。

ρ ( A )（演算子 Aのレゾルベント集合） 内の すべてのz, wに対して、最初のレゾルベント恒等式（ヒルベルト恒等式とも呼ばれる）が成り立つ。^[3]

${\displaystyle R(z;A)-R(w;A)=(zw)R(z;A)R(w;A)\,.}$

（引用したダンフォードとシュワルツは、レゾルベントを( zI −A ) ⁻¹と定義しているため、上記の式の符号は彼らのものと異なることに注意してください。）

2番目のレゾルベント恒等式は、上記の最初のレゾルベント恒等式の一般化であり、2つの異なる演算子のレゾルベントを比較するのに役立ちます。演算子 Aと Bが同じ線形空間で定義され、zがρ ( A )∩ρ  ( B )に ある場合、次の恒等式が成り立ちます。^[4]

${\displaystyle R(z;A)-R(z;B)=R(z;A)(BA)R(z;B)\,.}$

一行で証明すると次のようになります。

${\displaystyle (A-zI)^{-1}-(B-zI)^{-1}=(A-zI)^{-1}((B-zI)-(A-zI))(B -zI)^{-1}=(A-zI)^{-1}(BA)(B-zI)^{-1}\,.}$

ヒルベルト空間H上の閉じた非有界作用素 A : H → Hを調べるとき、がコンパクト作用素となるようなものが存在する場合、 A はコンパクト・レゾルベントを持つという 。そのようなAの スペクトルは の離散部分集合である。さらにAが自己随伴である場合、 であり、それぞれ固有値を持つAの固有ベクトルの 正規直交基底が存在する。また、には有限の集積点はない。^[5] ${\displaystyle z\in \rho (A)}$${\displaystyle R(z;A)}$${\displaystyle \sigma (A)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \sigma (A)\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$

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• ダンフォード、ネルソン、シュワルツ、ジェイコブ T. (1988)、線形演算子、パート I 一般理論、ホーボーケン、ニュージャージー州: Wiley-Interscience、ISBN 0-471-60848-3
• Fredholm, Erik I. (1903)、「Sur une classe d'equations fonctionnelles」(PDF)、Acta Mathematica、27 : 365–390、doi : 10.1007/bf02421317
• ヒル、アイナー、フィリップス、ラルフ S. (1957)、関数解析と半群、プロビデンス：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1031-6。
• 加藤俊雄（1980）『線形作用素の摂動論』（第2版）、ニューヨーク、NY：Springer-Verlag、ISBN 0-387-07558-5。
• テイラー、マイケル E. (1996)、偏微分方程式 I、ニューヨーク、NY: Springer-Verlag、ISBN 7-5062-4252-4