計数尺度

数学、特に測度論において、計数測度は任意の集合に測度を与える直感的な方法である。部分集合の「サイズ」は、部分集合が有限個の要素を持つ場合はその部分集合の要素の数であり、無限の場合は無限大である。${\displaystyle \infty }$部分集合が無限の場合。^{[ 1 ]}

計数尺度は任意の可測空間（つまり任意の集合）上で定義できる。${\displaystyle X}$（シグマ代数とともに）主に可算集合で使用されます。^{[ 1 ]}

正式な記法では、任意の集合を${\displaystyle X}$パワーセットを取ることで測定可能な空間に${\displaystyle X}$シグマ代数として${\displaystyle \Sigma$ ;} つまり、すべてのサブセット${\displaystyle X}$は測定可能な集合である。すると計数尺度は${\displaystyle \mu }$この測定可能な空間において${\displaystyle (X,\Sigma )}$肯定的な尺度${\displaystyle \Sigma \to [0,+\infty ]}$定義される $${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{Aが有限の場合}}\\+\infty &{\text{Aが無限の場合}}\end{cases}}}$$ すべての人々のために${\displaystyle A\in \Sigma ,}$どこ${\displaystyle \vert A\vert }$集合の濃度を表す${\displaystyle A.}$^{[ 2 ]}

カウント尺度${\displaystyle (X,\Sigma )}$空間がσ有限​​であるのは、空間がσ有限​​である場合に限る。${\displaystyle X}$可算名詞である。^{[ 3 ]}

測定スペースを取る${\displaystyle (\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },\mu )}$、 どこ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$は自然数のすべての部分集合の集合であり、${\displaystyle \mu }$計数尺度。測定可能なものを何でも取り上げます。${\displaystyle f:\mathbb {N} \to [0,\infty ]}$定義によれば${\displaystyle \mathbb {N} }$、${\displaystyle f}$点ごとに次のように表現できます$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)1_{\{n\}}(x)=\lim _{M\to \infty }\underbrace {\ \sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\ } _{\phi _{M}(x)}=\lim _{M\to \infty }\phi _{M}(x)}$$

それぞれ$\displaystyle \phi _{M}}$測定可能である。さらに$\displaystyle \phi _{M+1}(x)=\phi _{M}(x)+f(M+1)\cdot 1_{\{M+1\}}(x)\geq \phi _{M}(x)}$さらに、それぞれ$\displaystyle \phi _{M}}$単純な関数です$${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\int _{\mathbb {N} }\left(\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\right)d\mu =\sum _{n=1}^{M}f(n)\mu (\{n\})=\sum _{n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)}$$したがって、単調収束定理により $${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }fd\mu =\lim _{M\to \infty }\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\lim _{M\to \infty }\sum _{n=1}^{M}f(n)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$$

計数尺度は、より一般的な構成の特殊なケースです。上記の表記法を用いると、任意の関数は${\displaystyle f:X\to [0,\infty )}$尺度を定義する${\displaystyle \mu }$の上${\displaystyle (X,\Sigma )}$経由 $${\displaystyle \mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{すべての}}A\subseteq Xについて}$$ ここで、実数の非可算和は、すべての有限部分集合の和の上限として定義される。すなわち、 $${\displaystyle \sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\$$  :=\ \sup _{F\subseteq Y ,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.} ${\displaystyle f(x)=1}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$計数尺度を与えます。

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