測定不可能な集合

数学において、非測定集合とは、意味のある「体積」を割り当てることができない集合のことである。このような集合の存在は、形式集合論における長さ、面積、体積の概念に関する情報を提供するものと解釈される。ツェルメロ-フランケル集合論では、選択公理により、 の非測定部分集合が存在することになる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

非測定集合の概念は、導入されて以来、大きな論争の的となってきました。歴史的に、これはボレルとコルモゴロフが測定可能であるという制約のある集合に関する確率論を定式化することに繋がりました。直線上の測定可能な集合は、反復される可算な区間の和集合と積集合 (ボレル集合と呼ばれる) と零集合です。これらの集合は、標準的な数学で生じる集合の考えられる定義をすべて含むほど豊富ですが、集合が測定可能であることを証明するには多くの形式化が必要です。

1970 年、ロバート・M・ソロベイはソロベイモデルを構築しました。これは、実数のすべての部分集合が測定可能であることは、無数選択のない標準集合論と矛盾しないことを示しています。しかし、ソロベイの結果は、アクセス不可能な基数の存在に依存しており、その存在と一貫性は標準集合論では証明できません。

任意の集合の長さを定義することに問題があるかもしれないという最初の兆候は、ヴィタリの定理から来ました。^[1]ロビン・トーマスによる非ルベーグ可測集合の構築に類似し、いくつかの追加特性を持つ最近の組合せ論的構築が、American Mathematical Monthly に掲載されました。^[2]

互いに素な 2 つの集合の和の測度は、2 つの集合の測度の和であると予想される。この自然な特性を持つ測度は、有限加法性と呼ばれる。有限加法性の測度は、面積のほとんどの直感には十分であり、リーマン積分に類似しているが、一連のイベントやランダム変数の従来の現代的な処理では可算な加法性が求められるため、確率には不十分であると考えられる。

この点で、平面は直線に似ています。ルベーグ測度を拡張した有限加算測度があり、これはすべての等長変換に対して不変です。高次元では、状況は悪化します。ハウスドルフのパラドックスとバナッハ・タルスキーのパラドックスは、半径 1 の3 次元球を5 つの部分に分割し、それらを再構成して半径 1 の球を 2 つ形成できることを示しています。

単位円内のすべての点の集合と、すべての有理回転（ の有理倍数の角度による回転）からなる群によるへの作用について考えます。ここで は可算（より具体的には と同型）ですが は不可算です。したがって はの下で不可算個の軌道に分解されます（ の軌道は可算集合 です）。選択公理を用いると、各軌道から 1 つの点を選び、による のすべての有理変換（何らかの有理 に対する形式の変換コピー）^[3]が対ごとに互いに素（つまり、とが互いに素）であるという性質を持つ不可算の部分集合を得ることができます。これらの変換の集合は、円を、 （有理回転によって）対ごとに合同である、可算な離れ集合のコレクションに分割します。集合は上の任意の回転不変な可算加法確率測度に対して非測定になります。の測度が 0 の場合、可算加法性は円全体の測度が 0 であることを意味します。が正の測度を持つ場合、可算な加法性により、円の測度は無限であることが示されます。 ${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle \{se^{iq\pi}:q\in \mathbb {Q} \}}$${\displaystyle X\subset S}$${\displaystyle e^{iq\pi }X:=\{e^{iq\pi }x:x\in X\}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

バナッハ＝タルスキーのパラドックスは、次の5つの譲歩のうち1つをしない限り、3次元の体積を定義する方法はないことを示しています。^[要出典]

1. セットを回転させると、セットのボリュームが変わる場合があります。
2. 2 つの互いに素な集合の和の体積は、それらの体積の合計とは異なる場合があります。
3. 一部のセットは「測定不可能」とタグ付けされる可能性があり、ボリュームについて話す前にセットが「測定可能」かどうかを確認する必要があります。
4. ZFC (選択公理を伴うツェルメロ-フランケル集合論)の公理を変更する必要があるかもしれません。
5. の体積はまたはです。${\displaystyle [0,1]^{3}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \infty}$

標準測度論は 3 番目の選択肢を取ります。非常に豊富な測定可能な集合の族を定義し、ほとんどの数学の分野で明示的に定義されているほぼすべての集合がこの族に含まれます。^[要出典]幾何学的平面の特定の部分集合が測定可能であることを証明するのは通常非常に簡単です。^{[要出典]基本的な仮定は、互いに素な集合の可算無限列が和の公式を満たすというものであり、これは}σ 加法性 と呼ばれる特性です。

1970年にソロヴェイは、ツェルメロ-フランケル集合論の枠組みの中では、追加の公理（選択公理など）がなければ、ルベーグ測度の非測定集合の存在は証明できないことを、（到達不可能な基数の一貫性を仮定して）ソロヴェイのモデルと呼ばれるツェルメロ-フランケル集合論のモデルが存在し、その中で可算選択が成り立ち、すべての集合がルベーグ測定可能であり、選択公理全体が成り立たないことを示して実証した。^[要出典]

選択公理は、点集合位相の基本的な結果であるチコノフの定理と同等であり、関数解析の2つの基本的な結果であるバナッハ-アラオグルの定理とクライン-ミルマンの定理の結合にも相当する。^{[要出典]また、無限群の研究、}環と順序論にも大きな影響を与える（ブール素イデアル定理を参照）。^{[要出典]しかし、}決定性公理と従属選択公理を組み合わせれば、ほとんどの幾何学的測度論、ポテンシャル理論、フーリエ級数、フーリエ変換に十分であり、実数直線のすべての部分集合をルベーグ測定可能にすることができる。^[要出典]

• バナッハ・タルスキーのパラドックス – 幾何定理
• カラテオドリの基準 – 測定可能な集合の必要十分条件フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ
• ハウスドルフのパラドックス – 数学におけるパラドックス
• 測定（数学）  - 質量、長さ、面積、体積の一般化
• 非ボレル集合 – 数学的集合のクラスリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 外測度 – 数学関数
• ヴィタリ集合 – ルベーグ測定不可能な実数の集合