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確率微積分は、確率過程を扱う数学の一分野です。確率過程に関する確率過程の積分に対して、一貫した積分理論を定義することができます。この分野は、第二次世界大戦中に日本の数学者伊藤清によって創設され、開始されました。
確率微積分が適用される最もよく知られた確率過程はウィーナー過程（ノーバート・ウィーナーにちなんで名付けられた）であり、1900年にルイ・バシュリエ、1905年にアルバート・アインシュタインが説明したブラウン運動や、ランダムな力を受ける粒子の空間におけるその他の物理的拡散過程をモデル化するために使用されます。1970年代以降、ウィーナー過程は金融数学や経済学で広く適用され、株価や債券金利の時間的変化をモデル化してきました。
確率解析の主な種類は、伊藤計算とその変分相対物であるマリアバン計算である。技術的な理由から、伊藤積分は一般的な過程のクラスに最も有用であるが、関連するストラトノビッチ積分は問題の定式化においてしばしば有用である（特に工学分野で）。ストラトノビッチ積分は伊藤積分で容易に表現でき、その逆もまた同様である。ストラトノビッチ積分の主な利点は、通常の連鎖律に従うため伊藤の補題を必要としないことである。これにより、問題を座標系不変形式で表現することができ、これはR n以外の多様体上で確率解析を展開する際に非常に貴重である。優勢収束定理はストラトノビッチ積分には当てはまらないため、積分を伊藤形式で再表現せずに結果を証明することは非常に困難である。
伊藤積分
伊藤積分は確率論の研究の中心です。積分は、半マルチンゲールXと局所的に制限された予測可能なプロセスHに対して定義されます。[要出典]
ストラトノビッチ積分
半マルチンゲール と別の半マルチンゲールYのストラトノビッチ積分またはフィスク・ストラトノビッチ積分は、伊藤積分を用いて次のように定義できる。
![{\displaystyle \int _{0}^{t}X_{s-}\circ dY_{s}:=\int _{0}^{t}X_{s-}dY_{s}+{\frac {1}{2}}\left[X,Y\right]_{t}^{c},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d114cfa898ce74dfe2012e84aa6f63bab93c7db)
ここで、[ X , Y ] t c は、 X と Yの連続部分の任意の2次共変量を表し、これは、任意の2次共変量からプロセスとジャンプを差し引いたものである。すなわち、
- 。
![{\displaystyle \left[X,Y\right]_{t}^{c}:=[X,Y]_{t}-\sum \limits _{s\leq t}\Delta X_{s}\Delta Y_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970cea5a9194d4786fdd4991327b6bfc62928ebd)
代替表記
ストラトノビッチ積分を表すためにも使用されます。
アプリケーション
確率論の重要な応用分野は数理ファイナンスであり、そこでは資産価格は確率微分方程式に従うとしばしば想定される。例えば、ブラック・ショールズ・モデルは、オプションの価格を幾何ブラウン運動に従うかのように決定し、確率論の適用による機会とリスクを示している。
確率積分
古典的な伊藤積分やフィスク・ストラトノビッチ積分のほかにも、櫃田・スコロホッド積分、マーカス積分、小川積分など、さまざまな確率積分の概念が存在します。
