変分法における直接法

数学において、変分法の直接法は、与えられた汎関数の最小化解の存在証明を構築するための一般的な方法であり、^{[ 1 ]} 1900 年頃にスタニスワフ・ザレンバとダヴィッド・ヒルベルトによって導入されました。この方法は、関数解析と位相幾何学の方法に基づいています。直接法は、解の存在証明に使用されるだけでなく、必要な精度で解を計算するためにも使用できます。^{[ 2 ]}

変分法は汎関数を扱う。${\displaystyle J:V\to {\bar {\mathbb {R} }}}$、 どこ${\displaystyle V}$ある関数空間であり、$\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$この分野の主な関心は、このような関数の最小化関数を見つけることです。${\displaystyle v\in V}$そのため${\displaystyle J(v)\leq J(u)}$すべての人々のために${\displaystyle u\in V}$。

関数が最小値をとるための必要条件を求める標準的なツールは、オイラー・ラグランジュ方程式である。しかし、これらの条件を満たす関数の中から最小値を求める場合、最小値の存在が事前に確立されていないと、誤った結論に至る可能性がある。

機能的${\displaystyle J}$最小値を持つためには、下限がなければならない。これはつまり

${\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}>-\infty .\,}$

この条件だけでは最小値が存在することを知るには不十分だが、最小化シーケンス、つまりシーケンスの存在を示している。${\displaystyle (u_{n})}$で${\displaystyle V}$そのため${\displaystyle J(u_{n})\to \inf\{J(u)|u\in V\}.}$

直接法は、以下のステップに分解できます。

1. 最小化シーケンスを取る${\displaystyle (u_{n})}$のために${\displaystyle J}$。
2. 示してください${\displaystyle (u_{n})}$一部サブシーケンスを認める${\displaystyle (u_{n_{k}})}$収束して${\displaystyle u_{0}\in V}$トポロジーに関して ${\displaystyle \tau }$の上${\displaystyle V}$。
3. 示してください${\displaystyle J}$位相に関して順次下半連続である${\displaystyle \tau }$。

これが最小値の存在を示すものであることを確認するために、次に示すような順次下半連続関数の特徴付けを考えてみましょう。

機能${\displaystyle J}$が順次下半連続である場合

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }J(u_{n})\geq J(u_{0})}$任意の収束数列に対して${\displaystyle u_{n}\to u_{0}}$で${\displaystyle V}$。

結論は以下から導き出される。

${\displaystyle \inf\{J(u)|u\in V\}=\lim _{n\to \infty }J(u_{n})=\lim _{k\to \infty }J(u_{n_{k}})\geq J(u_{0})\geq \inf\{J(u)|u\in V\}}$、

言い換えると

${\displaystyle J(u_{0})=\inf\{J(u)|u\in V\}}$。

変分法の多くの汎関数は、

${\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }F(x,u(x),\nabla u(x))dx}$、

どこ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$関数を特徴付ける定理は開かれている${\displaystyle F}$そのために${\displaystyle J}$は弱く順次下半連続である${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$と${\displaystyle p\geq 1}$非常に重要である。

一般的には、次のようになります。^{[ 3 ]}

と仮定する${\displaystyle F}$これは、以下の特性を持つ関数です。

1. 機能${\displaystyle F}$これはカラテオドリ関数です。
2. 存在する${\displaystyle a\in L^{q}(\Omega ,\mathbb {R} ^{mn})}$ヘルダー共役とともに${\displaystyle q={\tfrac {p}{p-1}}}$そして${\displaystyle b\in L^{1}(\Omega )}$ほぼすべての${\displaystyle x\in \Omega }$そしてすべての${\displaystyle (y,A)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}}$:${\displaystyle F(x,y,A)\geq \langle a(x),A\rangle +b(x)}$。 ここ、${\displaystyle \langle a(x),A\rangle }$は、フロベニウス内積を表す。${\displaystyle a(x)}$そして${\displaystyle A}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{mn}}$)

関数が${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$ほぼすべての${\displaystyle x\in \Omega }$そしてすべての${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$、

それから${\displaystyle J}$は、順次弱下半連続である。

いつ${\displaystyle n=1}$または${\displaystyle m=1}$以下の逆定理が成り立つ^{[ 4 ]}

と仮定する${\displaystyle F}$連続であり、

${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}$

すべての${\displaystyle (x,y,A)}$固定関数${\displaystyle a(x,|y|,|A|)}$増加${\displaystyle |y|}$そして${\displaystyle |A|}$、局所的に積分可能${\displaystyle x}$。 もし${\displaystyle J}$が順次弱下半連続である場合、任意の与えられた${\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}$機能${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$凸型である。

結論として、${\displaystyle m=1}$または${\displaystyle n=1}$機能的${\displaystyle J}$合理的な成長と有界性を仮定して${\displaystyle F}$は、関数が弱逐次下半連続である場合に限り、弱逐次下半連続である。${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$凸型である。

しかし、次のような仮定ができない興味深いケースが数多く存在する。${\displaystyle F}$は凸関数である。次の定理^{[ 5 ]は}、より弱い凸性の概念を用いて、逐次下半連続性を証明する。

と仮定する${\displaystyle F:\Omega \times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{mn}\to [0,\infty )}$これは、以下の特性を持つ関数です。

1. 機能${\displaystyle F}$これはカラテオドリ関数です。
2. 機能${\displaystyle F}$もっている${\displaystyle p}$-一部の人にとっては成長${\displaystyle p>1}$定数が存在する${\displaystyle C}$すべての${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$そしてほぼすべての${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq C(1+|y|^{p}+|A|^{p})}$。
3. すべての${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m}}$そしてほぼすべての${\displaystyle x\in \Omega }$関数${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$準凸である：立方体が存在する${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$すべての${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{mn},\varphi \in W_{0}^{1,\infty }(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$それは以下を主張する：

$${\displaystyle F(x,y,A)\leq |D|^{-1}\int _{D}F(x,y,A+\nabla \varphi (z))dz}$$

どこ${\displaystyle |D|}$は、​${\displaystyle D}$。

それから${\displaystyle J}$は、${\displaystyle W^{1,p}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}$。

この場合の逆定理は次のようになります。 ^{[ 6 ]}

と仮定する${\displaystyle F}$連続であり、

${\displaystyle |F(x,y,A)|\leq a(x,|y|,|A|)}$

すべての${\displaystyle (x,y,A)}$固定関数${\displaystyle a(x,|y|,|A|)}$増加${\displaystyle |y|}$そして${\displaystyle |A|}$、局所的に積分可能${\displaystyle x}$。 もし${\displaystyle J}$が順次弱下半連続である場合、任意の与えられた${\displaystyle (x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} ^{m}}$機能${\displaystyle A\mapsto F(x,y,A)}$は準凸である。この主張は、両方が${\displaystyle m,n}$より大きい${\displaystyle 1}$そして、前の主張と一致するのは${\displaystyle m=1}$または${\displaystyle n=1}$それ以来、準凸性は凸性と同等である。

• ダコローニャ、ベルナール（1989）。変分法における直接法。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-50491-5。
• フォンセカ、イレーネ；ジョヴァンニ・レオーニ（2007）。変分法の現代的手法：${\displaystyle L^{p}}$Spaces。Springer。ISBN​​ 978-0-387-35784-3。
• Morrey, CB, Jr.:変分法における多重積分. Springer, 1966 (2008年復刻版), ベルリンISBN 978-3-540-69915-6。
• Jindřich Nečas:楕円型方程式の理論における直接法。（1967年のフランス語原著からのA.KufnerとG.Tronelによる翻訳）、Springer、2012年、ISBN 978-3-642-10455-8。
• T. Roubíček (2000). 「放物型問題に対する直接法」. Adv. Math. Sci. Appl . Vol.  10. pp. 57–65 . MR 1769181 .  
• エミリオ・アチェルビ、ニコラ・フスコ。「変分法における半連続性の問題」。『合理力学と解析学アーカイブ』86.2（1984）：125-145