矛盾のない論理

矛盾論理は、何でも真であると証明できる論理爆発を招かずに、矛盾するステートメントの共存を可能にする非古典的論理の一種です。具体的には、矛盾論理は、爆発の原理を意図的に排除し、「矛盾を許容する」論理システムの研究と開発に関係する論理のサブフィールドです。

矛盾を許容する論理は少なくとも1910年以来（そしておそらくはそれよりずっと以前、例えばアリストテレスの著作の中で）議論されてきた。^[1]しかし、矛盾のない（「矛盾のない」）という用語は、1976年にペルーの 哲学者 フランシスコ・ミロ・ケサダ・カントゥアリアスによって初めて造られた。^[2]矛盾のない論理の研究は、矛盾無矛盾性と呼ばれており、^{[3]これには}二元論の学派が含まれる。

古典論理（直観主義論理や他のほとんどの論理）では、矛盾はすべてを必然的に伴う。この特徴は爆発原理またはex contradictione sequitur quodlibet（ラテン語、「矛盾からは何でも生じる」）^[4]として知られ、次のように表現できる 。

つまり、Pとその否定 ¬ Pが両方とも真であると仮定すると、 2 つの主張Pと (任意の) Aのうち、少なくとも 1 つは真になります。したがって、PまたはAは真です。ただし、PまたはAのいずれかが真であり、Pが偽 ( ¬ Pが真) であることがわかっている場合は、 A (何でもかまいません) は真であると結論付けることができます。したがって、理論に矛盾が 1 つでも含まれていれば、その理論は自明です。つまり、すべての文が定理になります。

矛盾論理の特徴または定義的特徴は、爆発の原理を拒否することです。その結果、矛盾論理は、古典的論理や他の論理とは異なり、矛盾しているが自明ではない理論を形式化するために使用できます。

矛盾論理の含意関係は、命題的には 古典論理よりも弱い。つまり、より少ない命題推論を有効とみなす。要点は、矛盾論理は古典論理の命題的拡張にはなり得ない、つまり古典論理が行うすべての含意を命題的に検証することはできないということである。したがって、ある意味では、矛盾論理は古典論理よりも保守的または慎重である。そのような保守性のため、矛盾言語は、アルフレッド・タルスキらによるメタ言語の階層を含む古典言語よりも表現力に富むことができる。ソロモン・フェファーマンによれば、「自然言語には、直接的または間接的に自己言及的でありながら一見無害な表現が豊富にあるが、それらはすべてタルスキの枠組みから除外されている」^[5] 。この表現上の制限は矛盾論理で克服できる。

矛盾論理の主な動機は、矛盾する情報から制御された識別的な方法で推論できるはずだという確信です。爆発の原理はこれを妨げるため、放棄する必要があります。非矛盾論理では、矛盾する理論は 1 つだけです。つまり、すべての文を定理とする自明な理論です。矛盾論理により、矛盾する理論を区別し、推論することができます。

矛盾論理の研究は、（最も有名なのはグラハム・プリーストが提唱した）哲学学派の確立にもつながっており、この学派は、例えば様々な道徳的問題に関して反対の意見を持つ人々のグループなど、現実には真の矛盾が存在すると主張する。 ^[6]二元論者であることは、合理的に何らかの形の矛盾論理に従うことを約束するが、そうでなければ、瑣末主義、すなわちすべての矛盾（そして同等にすべての文）が真であると受け入れることを受け入れることになる。 ^[7]しかし、矛盾論理の研究は必ずしも二元論的観点を伴うわけではない。例えば、真の理論や真の矛盾の存在にコミットする必要はなく、むしろバス・ファン・フラーセンが提唱した経験的妥当性のようなより弱い基準を好むだろう。^[8]

古典論理学では、アリストテレスの 3 つの法則、すなわち排中律 ( pまたは ¬ p )、無矛盾律 ( p ∧ ¬ p )、および同一性律 ( pかつp ) は、接続詞の相互定義により、同じものとみなされます。さらに、伝統的に、矛盾 (理論または知識体系に矛盾が存在すること) と自明性 (そのような理論がすべての可能な結果を​​伴うという事実) は、否定が可能である限り、切り離せないものと想定されています。これらの見解は、矛盾とその他の矛盾の形式を区別していないという理由で、哲学的に異議を唱えられる可能性があります。

一方、一貫性と矛盾の概念が適切に区別されれば、それらの間の「衝突」から些細なことを導き出すことも可能です。一貫性と矛盾の概念そのものが、オブジェクト言語レベルでさらに内面化される可能性もあります。

矛盾にはトレードオフが伴う。特に、爆発の原理を放棄するには、少なくとも次の2つの原理のうちの1つを放棄する必要がある。^[9]

これら両方の原則は異議を唱えられてきました。

1 つのアプローチは、選言導入を拒否するが、選言三段論法と推移性は保持することです。このアプローチでは、選言導入と排中律を除いて、自然演繹の規則が成り立ちます。さらに、推論 A⊢B は必ずしも含意 A⇒B を意味するわけではありません。また、通常のブール特性である二重否定、結合法則、可換法則、分配法則、ド・モルガン法則、および冪等性推論 (連言と選言について) が成り立ちます。さらに、含意に対して矛盾のない否定証明が成り立ちます: (A⇒(B∧¬B))⊢¬A。

もう一つのアプローチは、選言的三段論法を拒否することです。二神論の観点からすると、選言的三段論法が失敗するというのはまったく理にかなっています。この三段論法の背後にある考え方は、¬ AであればAは除外され、A ∨ BからB を推論できるというものです。しかし、A が¬Aと同様に成立する可能性があるとすると、推論の根拠が弱まります。

さらに別のアプローチは、両方を同時に行うことです。多くの関連論理システムや線形論理には、2 つの別個の選言接続詞があります。1 つは選言の導入を可能にし、もう 1 つは選言三段論法を可能にします。もちろん、これには、選言接続詞間の混乱や、それらの関連付けの複雑さなど、別個の選言接続詞に伴う欠点があります。

さらに、否定の証明規則 (以下) は、すべての命題の否定が矛盾から証明できるという意味で、それ自体では矛盾に対して堅牢ではありません。

厳密に言えば、上記の規則だけであれば矛盾はありません。なぜなら、すべての命題が背理法から証明できるわけではないからです。しかし、二重否定除去法( )の規則も追加すれば、すべての命題が背理法から証明できるようになります。二重否定除去法は直観主義論理には当てはまりません。 ${\displaystyle \neg \neg A\vdash A}$

矛盾論理の一例としては、1966年にアルゼンチンの論理学者フロレンシオ・ゴンザレス・アセンホによって最初に提案され、後にプリーストらによって普及したLP（「矛盾の論理」）と呼ばれるシステムがある。^[10]

LPの意味を表現する1つの方法は、通常の機能的評価を関係的評価に置き換えることです。^[11] 二項関係は、式を真理値に関連付けます。は真であることを意味し、 は偽であることを意味します。式には少なくとも1つの真理値を割り当てる必要がありますが、最大で1つの真理値を割り当てる必要はありません。否定と選言の意味節は次のように与えられます。 ${\displaystyle V\,}$${\displaystyle V(A,1)\,}$${\displaystyle A\,}$${\displaystyle V(A,0)\,}$${\displaystyle A\,}$

• ${\displaystyle V(\neg A,1)\Leftrightarrow V(A,0)}$
• ${\displaystyle V(\neg A,0)\Leftrightarrow V(A,1)}$
• ${\displaystyle V(A\lor B,1)\Leftrightarrow V(A,1){\text{ または }}V(B,1)}$
• ${\displaystyle V(A\lor B,0)\Leftrightarrow V(A,0){\text{ および }}V(B,0)}$

(他の論理接続詞は、通常どおり否定と選言の観点から定義されます。) または、同じ点をより簡潔に表現すると次のようになります。

• Aが偽である場合にのみ、 Aは真である
• Aが真である場合にのみ、Aは偽である
• A または B が真であるのは、 Aが真であるかBが真である場合に限ります。
• A または Bが偽であるのは、 Aが偽であり、かつBが偽である場合に限ります。

（意味論的）論理的帰結は真理保存として定義されます。

${\displaystyle \Gamma \vDash A}$のすべての要素が真である場合に限り、が真です。${\displaystyle A\,}$${\displaystyle \Gamma \,}$

ここで、かつとなるが、となるわけではないような値付けについて考えてみましょう。この値付けが、爆発三段論法と選言三段論法の両方に対する反例を構成することは簡単に確認できます。しかし、これはまた、LPの物質的条件に対するモーダスポネンスに対する反例でもあります。このため、LPの支持者は通常、否定と選言では定義できないより強い条件接続子を含むようにシステムを拡張することを主張します。^[12]${\displaystyle V\,}$${\displaystyle V(A,1)\,}$${\displaystyle V(A,0)\,}$${\displaystyle V(B,1)\,}$

検証すれば分かるように、LP は、ド・モルガンの法則や、否定、連言、選言の通常の導入規則と除去規則など、有効であると予想される他のほとんどの推論パターンを保存します。驚くべきことに、LP の論理的真理(またはトートロジー) は、古典的な命題論理のものとまったく同じです。^{[13] (LP と古典的な論理は、有効と見なす}推論 のみ異なります。) すべての式が真か偽のいずれかであるという要件を緩和すると、一般に第 1 次含意 (FDE) として知られる、より弱い矛盾のない論理が得られます。LP とは異なり、FDE には論理的真理が含まれていません。

LPは提案されている多くの矛盾論理のうちの1つにすぎません。 ^[14]ここでは、矛盾論理がどのように機能するかを示す例としてのみ提示されています。

矛盾のない論理の重要なタイプの 1 つは関連性論理です。論理が関連性を持つのは、次の条件を満たす場合です。

A → Bが定理である場合、 AとB は非論理定数を共有します。

したがって、関連性論理は( p ∧ ¬ p ) → qを定理として持つことができず、したがって (合理的な仮定に基づいて) { p , ¬ p }からqへの推論を検証することはできません。

矛盾論理は多値論理とかなり重複しているが、矛盾論理のすべてが多値であるわけではない（そして、もちろん、すべての多値論理が矛盾しているわけではない）。弁証論理も多値であり矛盾しているが、その逆は成り立たない。以下に示す理想的な 3 値矛盾論理は、逆否定が追加されると 論理RM3になる。

直観主義論理では、A ∨ ¬ A が真と同値でないことを許容するが、矛盾論理では、 A ∧ ¬ A が偽と同値でないことを許容する。したがって、矛盾論理を直観主義論理の「双対」と見なすのは自然なことのように思える。しかし、直観主義論理は特定の論理体系であるのに対し、矛盾論理は広範な体系を包含する。したがって、矛盾の双対概念は、矛盾完全性と呼ばれ、直観主義論理の「双対」 (特定の矛盾完全論理) は、反直観主義論理または二重直観主義論理(歴史的な理由から、ブラジル論理と呼ばれることもある) と呼ばれる特定の矛盾論理体系である。^{[15] 2 つの体系の双対性は、}シーケント計算の枠組み で最もよくわかる。直観主義論理では、シーケント

${\displaystyle \vdash A\lor \neg A}$

二元直観論理では導出できない

${\displaystyle A\land \neg A\vdash }$

は導出不可能である^[要出典]。同様に、直観主義論理では、次の

${\displaystyle \neg \neg A\vdash A}$

は導出不可能であるが、二重直観論理では

${\displaystyle A\vdash \neg \neg A}$

は導出できません。双対直観主義論理には、直観主義的含意の双対である擬似差分と呼ばれる接続子 # が含まれます。非常に大まかに言えば、 A # B は「AであるがBではない」と読むことができます。ただし、 # は「ではない」演算子に期待されるような真理関数ではありません。同様に、直観主義的含意演算子は「 ¬ ( A ∧ ¬ B )」のように扱うことはできません。双対直観主義論理には、直観主義的 ⊥ の双対である基本的な接続子 ⊤ もあります。否定は¬ A = (⊤ # A )と定義できます。

矛盾許容論理と直観主義論理の二重性に関する完全な説明、および二重直観主義論理と矛盾許容論理が一致しない理由の説明については、Brunner と Carnielli (2005) を参照してください。

これらの他の論理は爆発を回避します:含意命題計算、肯定命題計算、同値計算、極小論理。 最後の極小論理は、矛盾がなく、かつ、準完全です (直観主義論理のサブシステム)。 他の 3 つは、否定を形成する能力がないため、そもそも矛盾を表現することができません。

これは、O. Arieli、A. Avron、A. Zamansky 著の「Ideal Paraconsistent Logics」の特に 22 ～ 23 ページで定義されている、矛盾のない理想的な3 値論理の例です。 ^[16] 3 つの真理値は、t (真のみ)、b (真と偽の両方)、f (偽のみ) です。

式は、使用されている評価に対して真理値がtまたはb のいずれかである場合に真です。式は、原子命題を { t、b、f } にマッピングするすべての評価で真である場合に、矛盾のない論理のトートロジーです。矛盾のない論理のすべてのトートロジーは、古典論理のトートロジーでもあります。評価に対して、真の式の集合は、可能性法と演繹定理の下で閉じています。否定を含まない古典論理のトートロジーは、矛盾のない論理のトートロジーでもあります ( b をtにマージすることにより)。この論理は、「Pac」または「LFI1」と呼ばれることもあります。

矛盾無矛盾論理のトートロジーには次のようなものがあります。

• 矛盾のない論理のすべての公理スキーマ:

${\displaystyle P\to (Q\to P)}$** 演繹定理および?→{ t , b } = { t , b }

${\displaystyle (P\to (Q\to R))\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$** 演繹定理について（注：演繹定理から{ t , b }→{ f } = { f } が導かれる）

${\displaystyle \lnot (P\to Q)\to P}$** { f }→? = { t }

${\displaystyle \lnot (P\to Q)\to \lnot Q}$** ?→{ t } = { t }

${\displaystyle P\to (\lnot Q\to \lnot (P\to Q))}$** { t , b }→{ b , f } = { b , f }

${\displaystyle \lnot \lnot P\to P}$** ~{ f } = { t }

${\displaystyle P\to \lnot \lnot P}$** ~{ t , b } = { b , f } (注: ~{ t } = { f } および ~{ b , f } = { t , b } は真理値のエンコード方法から導かれます)

${\displaystyle P\to (P\lor Q)}$** { t , b }v? = { t , b }

${\displaystyle Q\to (P\lor Q)}$** ?v{ t , b } = { t , b }

${\displaystyle \lnot (P\lor Q)\to \lnot P}$** { t }v? = { t }

${\displaystyle \lnot (P\lor Q)\to \lnot Q}$** ?v{ t } = { t }

${\displaystyle (P\to R)\to ((Q\to R)\to ((P\lor Q)\to R))}$** { f }v{ f } = { f }

${\displaystyle \lnot P\to (\lnot Q\to \lnot (P\lor Q))}$** { b , f }v{ b , f } = { b , f }

${\displaystyle (P\land Q)\to P}$** { f }&? = { f }

${\displaystyle (P\land Q)\to Q}$** ?&{ f } = { f }

${\displaystyle \lnot P\to \lnot (P\land Q)}$** { b , f }&? = { b . f }

${\displaystyle \lnot Q\to \lnot (P\land Q)}$** ?&{ b , f } = { b , f }

${\displaystyle (\lnot P\to R)\to ((\lnot Q\to R)\to (\lnot (P\land Q)\to R))}$** { t }&{ t } = { t }

${\displaystyle P\to (Q\to (P\land Q))}$** { t , b }&{ t , b } = { t , b }

${\displaystyle (P\to Q)\to ((\lnot P\to Q)\to Q)}$** ? は { t , b } と { b , f }の和集合です

• その他の定理のスキーム:

${\displaystyle P\to P}$

${\displaystyle (\lnot P\to P)\to P}$

${\displaystyle ((P\to Q)\to P)\to P}$

${\displaystyle P\lor \lnot P}$

${\displaystyle \lnot (P\land \lnot P)}$

${\displaystyle (\lnot P\to Q)\to (P\lor Q)}$

${\displaystyle ((\lnot P\to Q)\to Q)\to (((P\land \lnot P)\to Q)\to (P\to Q))}$** すべての真理値はt、b、またはf のいずれかです。

${\displaystyle ((P\to Q)\to R)\to (Q\to R)}$

矛盾無矛盾論理の トートロジーではない古典論理のトートロジーには次のようなものがあります。

${\displaystyle \lnot P\to (P\to Q)}$** 矛盾のない論理の爆発はない

${\displaystyle (\lnot P\to Q)\to ((\lnot P\to \lnot Q)\to P)}$

${\displaystyle (P\to Q)\to ((P\to \lnot Q)\to \lnot P)}$

${\displaystyle (P\lor Q)\to (\lnot P\to Q)}$** 選言的三段論法は矛盾論理では機能しない

${\displaystyle (P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)}$** 逆否定は矛盾論理では失敗する

${\displaystyle (\lnot P\to \lnot Q)\to (Q\to P)}$

${\displaystyle ((\lnot P\to Q)\to Q)\to (P\to Q)}$

${\displaystyle (P\land \lnot P)\to (Q\land \lnot Q)}$** 矛盾論理ではすべての矛盾が同等であるとは限らない

${\displaystyle (P\to Q)\to (\lnot Q\to (P\to R))}$

${\displaystyle ((P\to Q)\to R)\to (\lnot P\to R)}$

${\displaystyle ((\lnot P\to R)\to R)\to (((P\to Q)\to R)\to R)}$** { b , f }→? = { t , b }に対して反事実的（b → f = fと矛盾）

矛盾した前提 Γ に直面し、それが自明なものになることを避けたいとします。古典論理では、使用できる唯一の方法は、Γ の 1 つ以上の前提を拒否することです。矛盾論理では、矛盾を区分化しようとします。つまり、命題変数X がΓ に現れない限り、Γ→ X がトートロジーではなくなるように論理を弱めます。ただし、その目的に必要な以上に論理を弱めることは望ましくありません。したがって、可能であれば、論理接続詞の導入規則と除去規則である公理だけでなく、モーダスポネンスと演繹定理も保持したいと考えています。

この目的のために、矛盾を含む区画内で使用される3 番目の真理値bを追加します。bをすべての論理接続子の固定点にします。

${\displaystyle b=\lnot b=(b\to b)=(b\lor b)=(b\land b)}$

b を（ tに加えて）ある種の真理にしなければなりません。そうしないとトートロジーがまったく存在しなくなるからです。

モーダス・ポネンスが機能するためには、

${\displaystyle (b\to f)=f,}$

つまり、真の仮説と真の含意が真の結論につながることを保証するためには、真ではない（f）結論と真である（tまたはb）仮説が真ではない含意を生み出す必要があります。

Γ のすべての命題変数に値bが割り当てられている場合、 Γ 自体も値b を持ちます。Xに値f を与えると、

${\displaystyle (\Gamma \to X)=(b\to f)=f}$。

したがって、Γ→ X はトートロジーにはなりません。

制限事項: (1) 真理値に定数があってはならない。それは矛盾論理の目的に反するからである。bがあると言語が古典論理の言語から変わる。tやfがあると再び爆発する。

${\displaystyle \lnot t\to X}$または${\displaystyle f\to X}$

トートロジーになります。b ≠ tかつb ≠ fであるため、b はこれらの定数の固定点ではないことに注意してください。

（２）この論理の矛盾を包含する能力は、特定の前提間の矛盾にのみ適用され、公理スキーマ間の矛盾には適用されない。

（３）選言的三段論法の喪失は、「正しい」代替案を開発するための取り組みが不十分になることにつながり、数学を不利にしてしまう可能性がある。

（４）Γ式がΔ式と等価であることを証明するためには、部分式として現れるところであればどこでも、どちらかが他方に置き換えられることを示す必要がある。

${\displaystyle (\Gamma \to \Delta )\land (\Delta \to \Gamma )\land (\lnot \Gamma \to \lnot \Delta )\land (\lnot \Delta \to \lnot \Gamma )}$。

これは、必ずしも逆説が続くわけではないため、古典論理よりも困難です。

矛盾論理は、次のような多くの分野で矛盾を管理する手段として適用されてきました。^[17]

• 意味論: 矛盾のない論理は、嘘つきなどのパラドックスに陥らない、真実についての単純で直感的な形式的な説明を提供する手段として提案されてきた。しかし、そのようなシステムは、本質的に否定を伴わないためはるかに難しいカリーのパラドックスも回避する必要がある。
• 集合論と数学の基礎
• 認識論と信念の修正: 矛盾した理論や信念体系を推論し修正する手段として、矛盾のない論理が提案されてきました。
• 知識管理と人工知能：一部のコンピュータ科学者は、矛盾した^[18]情報や矛盾した^[19]情報にうまく対処する手段として、矛盾のない論理を利用してきました。矛盾のない論理の数学的枠組みと規則は、関数近似、モデル識別、制御のためのニューラルネットワークを成功裏に構築するために、人工ニューロンの活性化関数として提案されています。 ^[20]
• 義務論的論理とメタ倫理学: 矛盾論理は、倫理的およびその他の規範的対立に対処する手段として提案されてきました。
• ソフトウェア工学：パラコンシステントロジックは、大規模なソフトウェアシステムのドキュメント、ユースケース、コードの間に蔓延する矛盾に対処するための手段として提案されている。^{[21] [22] [23]}
• エキスパートシステム。パラアナライザーアルゴリズムは、2値注釈によるパラコンシステント注釈付き論理（PAL2v）に基づいており、パラコンシステント論理から派生したパラコンシステント注釈付き証拠論理（PAL E t）とも呼ばれ、医療診断をサポートするなどの意思決定システムに使用されています。^[24]
• 電子機器の設計では、 4 値ロジックが日常的に使用されており、真と偽に加えて、「高インピーダンス (z)」と「無視 (x)」がそれぞれ「わからない」と「真と偽の両方」と同様の役割を果たしています。このロジックは、哲学的ロジックとは独立して開発されました。
• 制御システム：回転倒立振り子用のリカレントパラコンシステントニューラルネットワークで構築されたモデル参照制御は、古典的なよく調整された極配置制御器と比較して、より優れた堅牢性とより低い制御労力を示した。^[25]
• デジタルフィルタ：PAL2vフィルタアルゴリズムは、矛盾抽出による学習の矛盾無矛盾人工ニューラルセル（PANLctx）をPAL2Vルールと方程式に基づく矛盾無矛盾分析ネットワーク（PANnet）の構成に使用し、推定器、平均抽出器、フィルタリング、産業オートメーションおよびロボット工学の信号処理に使用できます。^{[26] [27] [28]}
• 矛盾抽出器。PAL2vのルールと方程式に基づく再帰アルゴリズムは、統計データセット内の矛盾を抽出するために使用されています。^[29]
• 量子物理学
• ブラックホール物理学
• ホーキング放射
• 量子コンピューティング
• スピントロニクス
• 量子もつれ
• 量子結合
• 不確定性原理

論理は、古典的に理解されるように、同一性法則( LOI )、無矛盾法則( LNC )、排中律( LEM ) という 3 つの主なルール (思考の法則)に基づいています。矛盾のない論理は、 LNC を受け入れないことで古典的論理から逸脱しています。ただし、LNC はLOIおよびLEMと密接に相互に関連していると考えられます。

   LoI は、 AがA ( A ≡ A ) であると述べています。これは、A がその反対または否定 ( not Aまたは ¬ A ) と異なることを意味します。古典論理では、この区別は、 A が真である場合、その反対は真ではないという事実によってサポートされています。ただし、LNC がなければ、Aとnot A の両方が真になる可能性があり ( A ∧¬ A )、それらの区別が曖昧になります。また、区別がなければ、同一性を定義することが困難になります。したがって、 LNC を削除すると、 LoIも削除されるリスクがあります。

   LEMは、AかAでないかのどちらかが真である（A∨¬A ）と述べています。しかし、LNCがなければ、 AとAでないかの両方が真である可能性があります（A∧¬A）。したがって、LNCを削除すると、LEMも削除されるリスクがあります。

したがって、LNC を不注意に削除すると、 LOIとLEM の両方を失うリスクがあります。また、 3 つの古典的な法則をすべて削除すると、論理の種類が変わるだけでなく、機能的な論理システムが完全になくなります。すべての論理を失うと、構造化された推論の可能性がなくなります。したがって、不注意な矛盾のない論理は、カオス以外の思考手段を承認しないリスクがあります。矛盾のない論理は、慎重で正確な技術的定義を使用して、この危険を回避することを目的としています。その結果、矛盾のない論理に対するほとんどの批判も、本質的に非常に技術的なものになりがちです (たとえば、パラドックスが真であるかどうかなどの質問に関連するもの)。

しかし、非常に技術的なレベルであっても、矛盾論理に反論するのは難しい場合があります。矛盾論理が矛盾につながることは明らかです。しかし、矛盾論理学者は矛盾を受け入れます。矛盾には、矛盾論理の一部または結果である矛盾も含まれます。その結果、批判の多くは、矛盾論理の適用可能性と比較有効性に焦点を当てています。これは重要な議論です。矛盾論理を受け入れると、数学と物理学の基礎を形成する大量の定理を失うリスクがあるからです。

論理学者スチュワート・シャピロは、論理の多元的見解（異なる論理は等しく適切、または等しく正しいという見解）の議論の一部として、矛盾した論理を主張しようとした。彼は、直観主義論理を「唯一の真の論理」とみなすか、直観主義論理と古典的論理の多元主義のどちらかが興味深く有益であるという主張ができると考えた。しかし、矛盾した論理に関しては、「（少なくとも私にとっては）説得力のある例は見つからなかった」と彼は述べた。^[30]

「パラドックスから真実を救う」で、ハートリー・フィールドはパラドックスの解決策としての矛盾論理の価値を検証している。^[31]フィールドは、真理過剰（文が真と偽の両方になり得る場合）と真理ギャップ（文が真でも偽でもない場合）の両方を回避する見解を主張している。フィールドの懸念の1つは、矛盾したメタ理論の問題である。論理自体が矛盾を真に認める場合、論理を記述または管理するメタ理論も矛盾している必要があるかもしれない。メタ理論が矛盾している場合、矛盾した枠組み内で行われた議論は、潜在的に有効と無効の両方になる可能性があるため、論理の正当性（なぜそれを受け入れるべきか）が疑わしい可能性がある。これにより、矛盾した論理の支持者にとって、パラドックスに陥ったり説明力を失ったりすることなく、どのように論理を正当化できるかを説明することが課題となる。スチュワート・シャピロも同様の懸念を表明した。「ダイアリーテイストが（非公式に）呼び起こす概念や概念はいくつかあるが、メタ理論が（完全に）一貫していなければ、適切に表現することはできない。一貫したメタ理論を主張することは、ダイアリーテイストの重要な側面を損なうことになるだろう」^[32]

矛盾した二神論を支持する著書『矛盾の中で』の中で、グラハム・プリーストはメタ理論の困難さを認めている。「矛盾した論理に対して、矛盾した言葉で受け入れられるメタ理論は存在するのか？この問いに対する答えはまったく明らかではない。」^[33]

リットマンとキース・シモンズは、二神論理論は理解不能であると主張した。「理論には『（L）は真と偽の両方である』という命題だけでなく、『（L）は真と偽の両方ではない』という命題も含まれていることに気づけば、私たちは途方に暮れるかもしれない。」^[34]

一部の哲学者は、上記の 3 つの原理のいずれかを放棄することの反直観性は、爆発の原理が持つ反直観性を上回るという理由で、二元論に反対している。

デイヴィッド・ルイスなどの他の人々は、言明とその否定が同時に真であることは単純に不可能であるという理由で、矛盾論理に反対している。^{[35]関連する反論として、矛盾論理における「否定」は実際には}否定 ではなく、単に準矛盾を形成する演算子にすぎないというものがある。^[36]

直感的な論理原理に違反することなく矛盾した信念を解決できるアプローチが存在します。そのようなシステムのほとんどは、ベイズ推論とデンプスター・シェーファー理論による多値ロジックを使用しており、非トートロジー的信念は不完全で、抽象化され、解釈され、おそらく未確認で、潜在的に情報に基づかず、おそらく不正確な知識に基づいているため、完全に（100%）反駁不可能ではないとしています（もちろん、この仮定自体が非トートロジー的であれば、それ自体が反駁可能性を伴います。ここで「反駁可能」とは「完全に（100%）反駁不可能ではない」という意味です）。

矛盾無矛盾論理の歴史および/または現代の発展における著名な人物には次のような人物がいます。

• アラン・ロス・アンダーソン（米国、1925年 - 1973年）。矛盾論理の一種である関連性論理の創始者の一人。
• フロレンシオ・ゴンサレス・アセンホ (アルゼンチン、1927-2013)
• ディデリック・バテンス（ベルギー）
• ヌエル・ベルナップ（米国、1930年生まれ）は、 4値論理の論理接続子を開発しました。
• ジャン＝イヴ・ベジオ（フランス/スイス、1965年生まれ）。矛盾論理の一般的な構造的特徴と哲学的基礎について広範囲に執筆している。
• ロス・ブレイディ（オーストラリア）
• ブライソン・ブラウン（カナダ）
• ウォルター・カルニエリ（ブラジル）。矛盾論理を適用可能かつ哲学的に理解可能な新しい意味論である可能翻訳意味論の開発者 。
• ニュートン・ダ・コスタ（ブラジル、1929-2024）。矛盾のない論理の形式体系を最初に開発した人物の一人。
• イタラ ML ドッタヴィアーノ(ブラジル)
• J. マイケル・ダン(米国)。関連性論理における重要人物。
• カール・ヒューイット
• スタニスワフ・ヤシュコフスキ（ポーランド）。矛盾無矛盾論理の形式体系を最初に開発した人物の一人。
• RE ジェニングス (カナダ)
• デイヴィッド・ケロッグ・ルイス（米国、1941年～2001年）。矛盾論理に対する明快な批評家。
• ヤン・ウカシェヴィチ(ポーランド、1878–1956)
• ロバート・K・マイヤー（アメリカ/オーストラリア）
• クリス・モーテンセン（オーストラリア）。矛盾のない数学について多くの著作がある。
• ロレンソ・ペーニャ（スペイン、1944年生まれ）。ファジー論理に似た、矛盾無矛盾論理、漸進的論理（推移論理、TLとも呼ばれる）の独自の系統を開発した。
• ヴァル・プラムウッド（旧姓ラウトリー）（オーストラリア、1939年生まれ）。シルヴァンと頻繁に共同作業を行った。
• グラハム・プリースト（オーストラリア）。おそらく、今日の世界で最も著名な矛盾無矛盾論理の提唱者。
• フランシスコ・ミロ・ケサダ（ペルー）。 「矛盾無矛盾論理」という用語を作った。
• BH スレーター (オーストラリア)。矛盾論理に対するもう一人の明快な批評家。
• リチャード・シルヴァン（旧姓ラウトリー）（ニュージーランド/オーストラリア、1935-1996）。関連性論理における重要人物であり、プラムウッドやプリーストと頻繁に共同研究を行った。
• ニコライ・A・ヴァシリエフ（ロシア、1880年～1940年）。矛盾を許容する論理を初めて構築した（1910年）。

• 逸脱した論理
• 形式論理
• 確率論理
• 直観主義論理
• 論理記号表

• ジャン＝イヴ・ベジョ、ウォルター・カルニエリ、ドヴ・ギャバイ編（2007年）。『パラコンシステンシーハンドブック』ロンドン：キングス・カレッジ。ISBN 978-1-904987-73-4。
• 青山 宏 (2004). 「LK、LJ、二重直観論理、量子論理」.ノートルダム形式論理ジャーナル. 45 (4): 193–213. doi : 10.1305/ndjfl/1099238445 .
• ベルトッシ、レオポルド編（2004年）。不一致許容度。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-540-24260-0。
• Brunner, Andreas & Carnielli, Walter (2005). 「反直観主義と矛盾」. Journal of Applied Logic . 3 (1): 161–184. doi : 10.1016/j.jal.2004.07.016 .
• Béziau, Jean-Yves (2000)。「矛盾のない論理とは何か?」D. Batens 他編『矛盾のない論理の最前線』バルドック: Research Studies Press。95～111 ページ。ISBN 0-86380-253-2。
• ブレマー、マヌエル (2005)。『矛盾論理入門』フランクフルト：ピーター・ラング。ISBN 3-631-53413-2。
• ブラウン、ブライソン (2002)。「矛盾について」。デール・ジャケット (編) 『哲学的論理の手引き』。マサチューセッツ州マールデン: ブラックウェル出版社。628～650 ページ。ISBN 0-631-21671-5。
• Carnielli, Walter; Coniglio, Marcelo E.; Marcos, J. (2007)。「形式的不整合の論理」。D . Gabbay、F. Guenthner (編)。哲学論理ハンドブック、第 14 巻(第 2 版)。オランダ: Kluwer Academic Publishers。pp . 1–93。ISBN 978-1-4020-6323-7。
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• Hewitt, Carl (2008a)。「大規模組織コンピューティングには、階層化されていないリフレクションと強いパラコンシステンシーが必要」。Jaime Sichman、Pablo Noriega、Julian Padget、Sascha Ossowski (編)。エージェント システムにおける調整、組織、制度、規範 III 。コンピュータ サイエンスの講義ノート。第 4780 巻。Springer-Verlag。doi :10.1007/978-3-540-79003-7。
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• プリースト、グラハム & 田中、浩二 (2009) [1996]. 「矛盾論理」.スタンフォード哲学百科事典. 2010年6月17日閲覧。(初版発行日 1996年9月24日火曜日、実質的な改訂日 2009年3月20日金曜日)
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• ウッズ、ジョン（2003年）。『パラドックスと矛盾の解決：抽象科学における対立の解決』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-00934-0。
• De Carvalho, A.; Justo, JF; De Oliveira , AM; Da Silva Filho, JI (2024). 「矛盾のない注釈付き証拠論理に関する包括的なレビュー: アルゴリズム、アプリケーション、および展望」。人工知能のエンジニアリングアプリケーション。127B : 107342。doi :10.1016/ j.engappai.2023.107342。ISSN 0952-1976  。

• 「矛盾論理」。インターネット哲学百科事典。
• ザルタ、エドワード N. (編)。「矛盾論理」。スタンフォード哲学百科事典。
• ザルタ、エドワード N. (編)。「矛盾した数学」。スタンフォード哲学百科事典。
• 「世界矛盾性会議、ゲント 1997、ジュケイ 2000、トゥールーズ 2003、メルボルン 2008、コルカタ 2014」
• 矛盾の無限階層レベルを持つ矛盾のない一階論理 LP#。Hrbacek 集合論 HST の矛盾のない一般化としての公理系 HST#
• O. Arieli、A. Avron、A. Zamansky、「理想的な矛盾のない論理」