どこでも連続でない関数

そのような関数の一例として、有理数の指示関数（ディリクレ関数とも呼ばれる）がある。この関数は次のように表される。${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}$また、定義域と値域は両方とも実数に等しい。定義により、${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}$に等しい${\displaystyle 1}$もし${\displaystyle x}$は有理数であり、${\displaystyle 0}$さもないと。

より一般的に言えば、${\displaystyle E}$位相空間の任意の部分集合である${\displaystyle X}$両方とも${\displaystyle E}$そして補数${\displaystyle E}$密度が高い${\displaystyle X,}$すると、値をとる実数値関数${\displaystyle 1}$の上${\displaystyle E}$そして${\displaystyle 0}$補集合について${\displaystyle E}$どこにも連続性はありません。この種の関数は、もともとピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレによって研究されました。^{[ 1 ]}

関数${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$関数がコーシーの関数方程式を満たす場合、それは加法関数と呼ばれます。 $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{すべての}}x,y\in \mathbb {R} について}$$ 例えば、あらゆる形式のマップ${\displaystyle x\mapsto cx,}$どこ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$は定数であり、加法性を持つ（実際には線形かつ連続である）。さらに、すべての線形写像は${\displaystyle L:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$この形式をとる（${\displaystyle c:=L(1)}$)

すべての線形マップは加法的ですが、すべての加法的マップが線形であるとは限りません。加法的マップ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$線形であるのは、連続となる点が存在する場合に限る。その場合、関数は至るところで連続となる。したがって、すべての非線形加法関数は$\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$定義域のどの点においても不連続である。しかしながら、任意の加法関数の制限は${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$有理数の任意の実数倍${\displaystyle \mathbb {Q} }$は連続である。具体的には、これはすべての実数に対して、${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$制限${\displaystyle f{\big \vert }_{r\mathbb {Q} }:r\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$セットへ${\displaystyle r\,\mathbb {Q}$ :=\{rq:q\in \mathbb {Q} \}} は連続関数です。したがって、${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$は非線形加法関数であり、すべての点に対して${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$で不連続です${\displaystyle x}$しかし${\displaystyle x}$また、いくつかの密な部分集合にも含まれている。${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$で${\displaystyle f}$の制限${\displaystyle f\vert _{D}:D\to \mathbb {R} }$連続である（具体的には、${\displaystyle D:=x\,\mathbb {Q} }$もし${\displaystyle x\neq 0,}$そして、${\displaystyle D:=\mathbb {Q} }$もし${\displaystyle x=0}$)

2 つの位相ベクトル空間（例えばノルム空間）間の線形写像は、連続となる点が存在する場合に限り（至るところで）連続であり、その場合は一様連続である。したがって、すべての線形写像は至るところで連続であるか、至るところで連続でないかのどちらかである。すべての線形汎関数は線形写像であり、すべての無限次元ノルム空間には、不連続な線形汎関数が存在する。

コンウェイの13を底とする関数は、どの点においても不連続である。