レベル設定

x ₂ = f ( x ₁ )の一定のスライス上の点。

x ₃ = f ( x ₁ , x ₂ )の一定のスライスにおける線。

x ₄ = f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ )の一定のスライスにおける平面。

( n − 1)次元レベルセットは、(n + 1 )次元ユークリッド空間において、 n = ₁ , 2, 3の場合、 f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + ⋯ + a n _x n_の形式の関数に対して定義されます。ここで、a ₁ , a 2 , …, a _nは定数です。

x ₂ = f ( x ₁ )の一定のスライス上の点。

x ₃ = f ( x ₁ , x ₂ )の一定スライスにおける等高線曲線。

x ₄ = f ( x ₁ , x ₂ , x ₃ )の一定のスライスにおける曲面。

( n − 1)次元_の非線形関数f ( x1 _, x2 _, …, xn )のレベルセット（ n = 1, 2, 3の場合、 ( n + 1)次元ユークリッド空間内） 。

数学において、n個 の実変数を持つ実数値関数fのレベルセットとは、関数が特定の定数cの値をとる集合のことである。すなわち、

${\displaystyle L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\right\}~.}$

独立変数の数が 2 の場合、レベル集合はレベル曲線と呼ばれ、等高線または等値線とも呼ばれます。したがって、レベル曲線は、2 つの変数x ₁とx ₂の方程式のすべての実数値解の集合です。n = 3の場合、レベル集合はレベル面(または等値面) と呼ばれ、レベル面は、3 つの変数x ₁、x ₂、x ₃の方程式のすべての実数値根の集合です。nの値が大きい場合、レベル集合はレベル超曲面、つまり、 n > 3の変数の方程式のすべての実数値根の集合(より高次元の超曲面) です。

レベルセットはファイバーの特殊なケースです。

等高線は多くのアプリケーションで登場し、しばしば異なる名称で呼ばれます。例えば、陰関数曲線は等高線の一種であり、隣接する曲線とは独立して扱われ、陰関数方程式によって定義されることを強調しています。同様に、等高面は陰関数曲面または等値面と呼ばれることもあります。

等高線という名称も用いられますが、これは等高線の高さが等しいことを意味します。様々な応用分野において、等高線には特定の名称が付けられており、それらは等圧線、等温線、等角線、等時線、等量線、無差別曲線など、対象となる関数の値の性質を示すことが多いです。

2次元ユークリッド距離を考えてみましょう。$$d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$レベル設定${\displaystyle L_{r}(d)}$この関数は、距離が${\displaystyle r}$原点から円を描く。例えば、${\displaystyle (3,4)\in L_{5}(d)}$、 なぜなら${\displaystyle d(3,4)=5}$幾何学的には、これは点が${\displaystyle (3,4)}$原点を中心とする半径5の円上にある。より一般的には、計量空間における球面である。${\displaystyle (M,m)}$半径付き${\displaystyle r}$中心は${\displaystyle x\in M}$レベルセットとして定義できる${\displaystyle L_{r}(y\mapsto m(x,y))}$。

2つ目の例は、右図に示すヒンメルブラウ関数のグラフです。示されている各曲線は関数の等高線であり、対数的に間隔が取られています。曲線が${\displaystyle L_{x}}$曲線が直接「内部」にあるのは${\displaystyle L_{x/10}}$、そしてそのすぐ外側の曲線は${\displaystyle L_{10x}}$。

定理：関数fが微分可能で ある、ある点におけるfの 勾配はゼロであるか、その点におけるf のレベル集合に垂直である

この意味を理解するために、2人のハイカーが同じ山の​​同じ場所にいると想像してみてください。1人は大胆で、最も傾斜の急な方向へ進むことにします。もう1人はより慎重で、登ることも下ることもせず、同じ高さを保つ道を選びます。この例えでは、上記の定理は、2人のハイカーが互いに垂直な方向へ出発することを示しています。

この定理（およびその証明）の帰結として、 f が微分可能であれば、レベルセットはfの臨界点以外では超曲面であり多様体である。臨界点では、レベルセットは一点（例えばfの局所極値） に縮小される場合もあれば、自己交点や尖点などの特異点を持つ場合もある。

形式のセット

${\displaystyle L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\leq c\right\}}$

はfのサブレベル集合(または、fの下位レベル集合または溝) と呼ばれます。fの厳密なサブレベル集合は

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})<c\right\}}$

同様に

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq c\right\}}$

はfのスーパーレベル集合(または、fの上位レベル集合)と呼ばれます。そして、fの厳密なスーパーレベル集合は

${\displaystyle \left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})>c\right\}}$

部分レベル集合は最小化理論において重要である。ワイエルシュトラスの定理によれば、ある空でない部分レベル集合の有界性と関数の下半連続性は、関数が最小値に達することを意味する。すべての部分レベル集合の凸性は準凸関数を特徴づける。^{[ 2 ]}

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