スペクトル幾何学

スペクトル幾何学は、多様体の幾何学的構造と標準的に定義された微分作用素のスペクトルとの関係を扱う数学の分野です。閉リーマン多様体上のラプラス・ベルトラミ作用素の場合が最も集中的に研究されていますが、微分幾何学における他のラプラス作用素も研究されています。この分野では、直接問題と逆問題という 2 種類の問題が扱われます。

逆問題は、ラプラス演算子の固有値に関する情報から幾何学的特徴を特定しようとするものである。この種の最も初期の成果の 1 つは、1911 年にハーマン ワイルがデイヴィッド ヒルベルトの積分方程式の理論を使用して、ユークリッド空間内の有界領域の体積が、ラプラス演算子のディリクレ境界値問題に対する固有値の漸近挙動から決定できることを示したことである。この質問は通常、「太鼓の形が聞こえるか? 」というマーク カックの有名なフレーズで表現されます。プレイジェルとミナクシスンダラムによって得られたワイルの漸近公式の改良により、曲率テンソルの共変微分を含む一連の局所スペクトル不変量が生成され、これを使用して特殊なクラスの多様体のスペクトル剛性を確立できます。しかし、ジョン・ミルナーの例が示すように、固有値の情報だけでは多様体の等長類を決定するのに十分ではありません (等スペクトルを参照)。砂田俊一による一般的かつ体系的な方法により、等スペクトル多様体の現象を明らかにする多数の例が生まれました。

直接問題は、幾何学の知識からリーマン多様体の固有値の振る舞いを推測しようとするものです。直接問題の解法は、最初の正の固有値と等周定数(チーガー定数) との関係を示すチーガー不等式に代表されます。チーガーの研究以来、この不等式の多くのバージョンが確立されています (たとえば、 R. ブルックスと P. ブザーによる)。

• 等スペクトル
• 太鼓の形を聞く

• マルセル・バーガー;ポール・ゴーデュション。 Mazet、Edmond (1971)、Le spectre d'une variété riemannienne、Lecture Notes in Mathematics (フランス語)、vol. 194、ベルリン-ニューヨーク: Springer-Verlag。
• 砂田 俊一(1985)、「リーマン被覆と等スペクトル多様体」、数学年報、121 (1): 169–186、doi :10.2307/1971195、JSTOR  1971195。