10進数表現

非負の実数rの10 進数表現は、伝統的に単一の区切り文字で記述される 10 進数字で構成される記号のシーケンスとして表現されます。 ここで、は小数点区切り文字、kは非負の整数、 は数字で、範囲 0、...、9 の整数を表す記号です 。 $${\displaystyle r=b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots }$$${\displaystyle b_{0},\cdots ,b_{k},a_{1},a_{2},\cdots }$

一般に、（ドットの後の数字）のシーケンスは、通常無限です。 有限の場合、不足している数字は 0 であると見なされます。 すべてが0の場合、区切り文字も省略され、自然数を表す有限の数字シーケンスになります。 ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$${\displaystyle k\geq 1.}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$

小数表現は無限和を表します。 $${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.}$$

すべての非負の実数には、少なくとも 1 つのそのような表現があります。一方が0の末尾の無限列を持ち、もう一方が9の末尾の無限列を持つ場合のみ、そのような表現が 2 つあります (の場合) 。非負の実数と 10 進表現の間に 1 対 1 の対応を持たせるために、末尾の無限列が9である 10 進表現は除外されることがあります。^[1]${\displaystyle b_{k}\neq 0}$${\displaystyle k>0}$

自然数はrの整数部と呼ばれ、この記事の残りの部分では 0 で表されます。 のシーケンスは、区間に属する数を表し、 r の小数部と 呼ばれ ます₍すべてが9に等しい場合を除く)。 ${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$${\displaystyle a_{i}}$$${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},}$$ ${\displaystyle [0,1),}$${\displaystyle a_{i}}$

任意の実数は、有限の 10 進表現を持つ有理数によって、任意の精度に近似できます。

と仮定します。すると、すべての整数に対して、次のような有限小数が存在します。 ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

$${\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.}$$

証明: とします。ここで です。すると となり、結果はすべての辺を で割ることによって得られます。( が有限の小数表現を持つ ことは簡単に証明できます。)${\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}$${\displaystyle p=\lfloor 10^{n}x\rfloor }$${\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}$${\displaystyle 10^{n}}$${\displaystyle r_{n}}$

実数の中には、無限の 10 進数表現が 2 つあるものがあります。たとえば、数値 1 は 1.000... と0.999...の両方で表現できます(末尾の 0 または 9 の無限シーケンスはそれぞれ "..." で表されます)。慣例的に、末尾の 9 のない 10 進数表現が好まれます。さらに、の標準的な 10 進数表現では、が整数である 場合、小数点の後に続く末尾の 0 の無限シーケンスは省略され、小数点自体も省略されます。${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

の 10 進展開を構築する特定の手順により、末尾の 9 の問題を回避できます。たとえば、次のアルゴリズム手順により、標準の 10 進表現が得られます。 が与えられた場合、まず(の整数部分) を(つまり)となる最大の整数として定義します。 が成立する場合、手順は終了します。 が成立しない場合は、 が既に求められているため、 が成立する最大の整数として帰納的に 定義します。${\displaystyle x}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{0}\leq x}$${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x=a_{0}}$${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$${\displaystyle a_{k}}$

この手順は、 ( * )において等式が成り立つような が見つかるたびに終了します。そうでない場合は、無限に継続して 10 進数の無限列を生成します。 ^[2] (慣例的に と表記)であることが示され、非負の整数は10 進表記で表されます。この構成は、上記の手順を に適用し、結果として得られる 10 進展開を と表記することでに拡張されます。 ${\displaystyle a_{k}}$${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle -x>0}$${\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

非負の実数xの 10 進展開は、 xが有理数で、その分母が 2 ⁿ 5 ^{m の}形式である場合に限り、ゼロ (または 9) で終わります。ここで、mとnは非負の整数です。

証拠：

xの 10 進展開がゼロで終わる場合、またはn が 何らかの値である場合、 xの分母は10 ⁿ = 2 ⁿ 5 ⁿの形式になります。 ${\textstyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}}$

逆に、 xの分母が2 ⁿ 5 ^{m の}形式である場合、 あるpに対して となります。一方、 x はの形式である場合、 あるnに対して となります。 により、x はゼロで終わります。 ${\displaystyle x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {p}{10^{k}}}}$${\displaystyle p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}}$${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}}$

一部の実数には、最終的にループに入り、1 つ以上の数字のシーケンスを無限に繰り返す 10 進展開があります。

1 ⁄ 3 = 0.33333...

1 ⁄ 7 = 0.142857142857...

1318 ⁄ 185 = 7.1243243243...

これが起こるたびに、その数は依然として有理数です(つまり、整数と正の整数の比として表すこともできます)。また、逆も真です。つまり、有理数の小数展開は有限であるか、無限に繰り返されます。

有限 10 進数表現は、無限に繰り返される 10 進数表現の特殊なケースと見なすこともできます。たとえば、36 ⁄ 25 = 1.44 = 1.4400000... のように、無限に繰り返されるシーケンスは 1 桁のシーケンス「0」です。

その他の実数には、繰り返されることのない小数展開があります。これらはまさに無理数、つまり整数の比として表すことができない数です。よく知られている例をいくつか挙げます。

√ 2 = 1.41421356237309504880...

    2.71828182845904523536... です。

  π   = 3.14159265358979323846...

有理数のすべての 10 進表現は、整数部分、非重複部分、重複部分の合計に変換し、その合計を共通分母を持つ単一の分数に変換することで分数に変換できます。

たとえば、分数に変換するには、次の補題に注意してください。 ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}\end{aligned}}}$$

したがって、次のように変換します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{from above}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

繰り返し数字がない場合、永遠に繰り返される 0 があると想定されます (例 ) 。ただし、繰り返し項が 0 になるため、合計は 2 つの項とより簡単な変換に簡略化されます。 ${\displaystyle 1.9=1.9{\overline {0}}}$

例えば： $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

• 小数点
• シリーズ（数学）
• IEEE754 規格
• サイモン・ステヴィン

• アポストル、トム(1974)。数学解析(第 2 版)。Addison -Wesley。
• Savard, John JG (2018) [2006]. 「10進表現」. quadibloc . 2018-07-16にオリジナルからアーカイブ。2018-07-16に取得。