熱帯半環

冪等解析において、トロピカル半環は、通常の（「古典的な」）加算と乗算の演算をそれぞれ最小値（または最大値）と加算の演算に置き換えた拡張実数の半環である。

トロピカル半環は様々な用途があり（トロピカル解析を参照）、トロピカル幾何学の基礎を形成します。トロピカルという名前は、ハンガリー生まれのコンピュータ科学者イムレ・シモンに由来しており、彼はブラジルに住んで働いていたことからその名が付けられました。^{[ 1 ]}

の最小熱帯半環（または最小プラス半環またはmin-plus代数)は半環(または半体)($\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$、${\displaystyle \oplus }$、${\displaystyle \otimes }$）操作は以下のとおりです。

${\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

オペレーション${\displaystyle \oplus }$そして${\displaystyle \otimes }$それぞれトロピカル加算とトロピカル乗算と呼ばれます。${\displaystyle \oplus }$は${\displaystyle +\infty }$、そして、のアイデンティティ要素${\displaystyle \otimes }$0です。

同様に、最大熱帯半環（または最大プラス半環または最大プラス代数または北極半環^{[ 2 ]}）は半環（$\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$、${\displaystyle \oplus }$、${\displaystyle \otimes }$）運用内容：

${\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

同一要素単位${\displaystyle \oplus }$は${\displaystyle -\infty }$、そして、の単位要素は${\displaystyle \otimes }$0です。

2つの半環は否定に関して同型である。${\displaystyle x\mapsto -x}$一般的には、これらのうちの1つが選択され、単に熱帯半環と呼ばれます。表記法は著者や分野によって異なり、最小値表記を用いるものもあれば、最大値表記を用いるものもあります。

2つの熱帯半環は、底が無限大に近づくときの対数半環の極限（「熱帯化」、「非量子化」）である。${\displaystyle b\to \infty }$（最大プラス半環）またはゼロへ${\displaystyle b\to 0}$（最小プラス半環）。

トロピカル加算は冪等性を持つため、トロピカル半環は冪等性を持つ半環の一例である。

熱帯半環は、トロピカル代数、 ^{[ 3 ]}ただし、これはトロピカル半環上の結合代数と混同してはならない

熱帯指数関数は、通常の方法で反復熱帯積として定義される。

トロピカル半環演算は、評価値が実数値体において加算と乗算の下でどのように振る舞うかをモデル化します。${\displaystyle K}$関数を備えたフィールドです

${\displaystyle v:K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$

これはすべての${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$で${\displaystyle K}$:

${\displaystyle v(a)=\infty }$かつその場合に限り${\displaystyle a=0,}$

${\displaystyle v(ab)=v(a)+v(b)=v(a)\otimes v(b),}$

${\displaystyle v(a+b)\geq \min\{v(a),v(b)\}=v(a)\oplus v(b),}$等号で${\displaystyle v(a)\neq v(b).}$

したがって、評価値vはKからトロピカル半環へのほぼ半環準同型写像であるが、同じ評価値を持つ2つの要素を加算する場合、準同型写像の性質が成り立たなくなる可能性がある。

よく使われる値フィールドの例：

• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$または${\displaystyle \mathbb {C} }$些細な評価では、${\displaystyle v(a)=0}$すべての人々のために${\displaystyle a\neq 0}$、
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$p進評価では、${\displaystyle v(p^{n}a/b)=n}$のために${\displaystyle a,b\neq 0}$そして互いに素${\displaystyle p}$、
• アルキメデス的ではない局所体、例えばp進数など$\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$p進評価は、${\displaystyle \mathbb {Q} }$、
• 形式的ローラン系列の分野${\displaystyle K((t))}$（整数乗）、またはピュイズー級数の体${\displaystyle K\{\{t\}\}}$またはハーン級数の体で、評価は最小の指数を返す${\displaystyle t}$シリーズに出演する。