p進解析

数学において、p進解析は、p 進数の関数の数学的解析を扱う数論の分野です。

p進数上の複素数値関数の理論は、局所コンパクト群の理論の一部です。p進解析の通常の意味は、関心のある空間上のp進数値関数の理論です。

p進解析の応用は主に数論で行われており、ディオファントス幾何学とディオファントス近似で重要な役割を果たしている。いくつかの応用では、 p進関数解析とスペクトル理論の開発が必要となった。多くの点で、p進解析は古典解析ほど微妙ではない。これは、超計量不等式により、たとえば、p進数の無限級数の収束がはるかに簡単になることなどが理由である。p進体上の位相ベクトル空間は独特の特徴を示し、たとえば、凸性やハーン・バナッハの定理に関する側面が異なっている。

重要な結果

アレクサンダー・オストロフスキー（1916）によるオストロフスキーの定理は、有理数Q上のすべての非自明な絶対値は、通常の実絶対値または $p$ 進絶対値のいずれかに等しいと述べています。^[1]

クルト・マーラー^[2]によって導入されたマーラーの定理は、連続p進関数を多項式で表現します。

任意の標数0の体では、次の結果が得られます。

(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(\Delta ^{k}f)(0){x \choose k},

どこ

{x \choose k}={\frac {x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}{k!}}

はk番目の二項係数多項式です。

実数体上では、関数fが多項式であるという仮定は弱めることができますが、単なる連続性まで完全に弱めることはできません。

マーラーは次の結果を証明した。

マーラーの定理: f がp進整数上の連続p進値関数である場合、同じ恒等式が成り立ちます。

ヘンゼルの補題は、クルト・ヘンゼルにちなんでヘンゼルの持ち上げ補題とも呼ばれ、モジュラー算術の結果であり、多項式方程式が素数 $p を$ 法として単純な根を持つ場合、この根は $p$ の任意の高次の累乗を法として同じ方程式の唯一の根に対応し、 $p$ の連続する累乗を法として解を繰り返し「持ち上げる」ことで見つけることができると述べています。より一般的には、方程式を解くニュートン法の完全可換環（特にp 進体を含む）の類似物の総称として使用されます。 p進解析はいくつかの点で実解析よりも単純であるため、多項式の根を保証する比較的簡単な基準があります。

結果を述べると、を整数（またはp進整数）係数の多項式とし、m、kをm≤kとなる正の整数とします。rが $f(x)$

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

そして

f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}

すると、整数sが存在し、

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

そして

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

さらに、このsはp ^{k +mを}法として一意であり、次のように明示的に計算できる。

s=r+tp^{k}

どこ

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

ヘルムート・ハッセの局所-大域原理はハッセ原理とも呼ばれ、中国剰余定理を用いて各素数のべき乗を法として解をつなぎ合わせることで、方程式の整数解を見つけることができるという考え方です。これは、有理数の完備化、つまり実数とp 進数で方程式を調べることで処理されます。ハッセ原理のより正式なバージョンでは、特定の種類の方程式が有理数解を持つのは、各素数pに対して実数とp進数で解を持つ場合のみであると述べられています。

^ コブリッツ、ニール(1984)。p進数、p進解析、ゼータ関数。数学大学院テキスト。第58巻（第2版）。ニューヨーク：シュプリンガー出版社。p. 3。doi ：10.1007 /978-1-4612-1112-9。ISBN 978-0-387-96017-3定理1 （オストロフスキー）。上のすべての非自明なノルム ‖ ‖ は、ある素数 $p$ または $p$ $= \inftyに対して$ $|$ $|$ $p$ と同等です。 $\mathbb {Q}$
^ Mahler, K. (1958)、「p 進変数の連続関数に対する補間シリーズ」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1958 (199): 23–34、doi :10.1515/crll.1958.199.23 、ISSN 0075-4102、MR 0095821、S2CID 199546556

コブリッツ、ニール(1980)。p進解析：最近の研究に関する短期コース。ロンドン数学会講義ノートシリーズ。第46巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-28060-5.ZBL0439.12011 。
Cassels, JWS (1986)。局所体。ロンドン数学協会学生テキスト。第3巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-31525-5.ZBL0595.12006 。
Chistov, Alexander; Karpinski, Marek (1997)。「p 進整数上の多項式方程式の可解性を決定する複雑さ」。ボン大学 CS レポート85183。S2CID 120604553 。
Karpinski, マレク;ファン・デル・ポールテン、アルフ。イーゴリ・シュパルリンスキー (2000)。「p進およびモジュラー多項式のゼロテスト」。理論的なコンピューターサイエンス。233 (1-2): 309-317。CiteSeerX 10.1.1.131.6544。土井：10.1016/S0304-3975(99)00133-4。
p進解析コース、アラン・ロバート、Springer、2000年、ISBN 978-0-387-98669-2
超計量微積分学：P進解析入門、WH Schikhof、ケンブリッジ大学出版局、2007年、ISBN 978-0-521-03287-2
P進微分方程式、Kiran S. Kedlaya、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-0-521-76879-5