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パラコンシステント論理とは、矛盾する命題が共存しても、あらゆる命題が真であると証明できてしまうような論理爆発を引き起こさない、非古典論理の一種である。具体的には、パラコンシステント論理は、論理爆発の原理を意図的に排除し、「矛盾に寛容な」論理体系を研究・開発する論理学の分野である。
矛盾許容論理は少なくとも1910年以来（そしておそらくはそれよりもずっと以前、例えばアリストテレスの著作において）議論されてきたが、 [ 1 ]パラコンシステント（「一貫性の傍らで」）という用語は、この分野の創始者としてしばしば称されるニュートン・ダ・コスタの要請により、ペルーの哲学者フランシスコ・ミロ・ケサダ・カントゥアリアスによって1976年に造語された。 [ 2 ]パラコンシステント論理の研究はパラコンシステンシーと呼ばれ、[ 5 ]二元的神学の学派を包含している。
古典論理（直観主義論理や他のほとんどの論理と同様に）では、矛盾はすべてを含意する。この特徴は、爆発原理またはex contradictione sequitur quodlibet（ラテン語で「矛盾から何でも導き出される」）[ 6 ]として知られており、形式的には次のように表現できる。
つまり、Pとその否定¬Pの両方が真であると仮定すると、2つの主張Pと（任意の）Aのうち、少なくとも一方が真である。したがって、PまたはAが真である。しかし、 PまたはAのどちらかが真であり、かつPが偽（¬Pが真）であることがわかっている場合、 A（何であってもよい）が真であると結論付けることができる。したがって、理論に矛盾が1つでも含まれている場合、その理論は自明である、つまり、すべての文が定理となる。
パラコンシステント論理の特徴、あるいは決定的な要素は、爆発原理を否定することである。その結果、パラコンシステント論理は、古典論理やその他の論理とは異なり、矛盾はあるものの自明ではない理論を形式化するために用いることができる。
パラコンシステント論理の含意関係は、古典論理よりも命題的に弱い。つまり、パラコンシステント論理では、妥当とみなされる命題推論の数が少ない。重要なのは、パラコンシステント論理は、古典論理の命題的拡張、つまり古典論理が妥当とするすべての含意を命題的に妥当とすることは決してできないということである。したがって、ある意味では、パラコンシステント論理は古典論理よりも保守的または慎重である。このような保守性のおかげで、パラコンシステント言語は、アルフレッド・タルスキらによるメタ言語の階層構造を含む、古典言語よりも表現力に富むことができる。ソロモン・フェファーマンによれば、「自然言語には、直接的または間接的に自己言及的でありながら、一見無害な表現があふれているが、それらはすべてタルスキの枠組みから除外されている」[ 7 ] 。古典論理では同義反復が冗長とみなされるこの表現上の制約は、パラコンシステント論理では克服できる。
パラコンシステント論理の主な動機は、矛盾する情報に対しても、制御された識別的な方法で推論できるはずだという確信にある。爆発原理はこの推論を阻害するため、放棄されなければならない。非パラコンシステント論理では、矛盾する理論はただ一つ、すなわちすべての文が定理である自明な理論のみである。パラコンシステント論理は、矛盾する理論を区別し、それらを用いて推論することを可能にする。
矛盾のない論理の研究は、現実には真の矛盾が存在すると主張するダイアレティズム（特にグラハム・プリーストが提唱）という哲学学派の確立にもつながりました。例えば、様々な道徳的問題について相反する見解を持つ人々の集団などが挙げられます。 [ 8 ]ダイアレティストであることは、理性的に何らかの形の矛盾のない論理を受け入れることを意味します。さもなければ、すべての矛盾（そして同様にすべての命題）が真であると認めるという、自明主義を受け入れることになります。 [ 9 ]しかし、矛盾のない論理の研究は必ずしもダイアレティズムの観点を伴うものではありません。例えば、真の理論や真の矛盾の存在にコミットする必要はなく、バス・ファン・フラーセンが提唱した経験的妥当性のような、より弱い基準を好む人もいます。[ 10 ]
古典論理学では、アリストテレスの3つの法則、すなわち排中律（pまたは ¬ p）、無矛盾律（p ∧ ¬ p）、同一律（p iff p）は、結合子の相互定義により同一視される。さらに、伝統的に、矛盾性（理論または知識体系における矛盾の存在）と自明性（そのような理論がすべての可能な帰結を包含するという事実）は、否定が可能である限り、不可分であると想定されてきた。これらの見解は、矛盾性と他の形態の不整合を区別していないというまさにその理由から、哲学的に異議を唱えられる可能性がある。
一方、一貫性と矛盾という概念を適切に区別すれば、それらの「対立」から些細な事柄を導き出すことも可能である。さらに、一貫性と矛盾という概念そのものが、対象言語レベルで内面化されることもある。
矛盾防止にはトレードオフが伴います。特に、爆発原理を放棄するには、次の 2 つの原理のうち少なくとも 1 つを放棄する必要があります。[ 11 ]
これらの原則はいずれも異議を唱えられてきた。
一つのアプローチは、選言導入を拒否しつつ、選言三段論法と推移性を維持することである。このアプローチでは、選言導入と排中律を除いて、自然演繹の規則が成り立つ。さらに、推論 A⊢B は必ずしも含意 A⇒B を意味するわけではない。また、以下の通常のブール特性が成り立つ。二重否定、結合法則、交換法則、分配法則、ド・モルガンの法則、および冪等性推論 (連言と選言の場合)。さらに、含意 (A⇒(B∧¬B))⊢¬A に対して、矛盾に強い否定の証明が成り立つ。
別のアプローチとしては、選言三段論法を否定する方法がある。二元論の観点からすれば、選言三段論法が成り立たないのは当然である。この三段論法の根底にある考え方は、¬AならばAは除外され、A∨BからBを推論できるというものである。しかし、Aが¬Aと同様に成り立つ可能性がある場合、推論の根拠は弱まる。
もう一つのアプローチは、両方を同時に行うことです。多くの関連論理体系や線形論理体系では、2つの独立した選言結合子が存在します。一方は選言の導入を可能にし、もう一方は選言三段論法を可能にします。もちろん、これには、独立した選言結合子に伴う欠点、例えば、それらの混同や、それらを関連付ける際の複雑さなどが伴います。
さらに、否定の証明規則（下記参照）は、それ自体では矛盾に対して非堅牢である。なぜなら、あらゆる命題の否定は矛盾から証明できるからである。
厳密に言えば、上記の規則だけでは矛盾がない。なぜなら、すべての命題が矛盾から証明できるわけではないからである。しかし、規則が二重否定除去（も追加されると、すべての命題は矛盾から証明できる。直観主義論理では二重否定除去は成り立たない。
矛盾のない論理の一例として、LP（「パラドックスの論理」）として知られる体系がある。これは1966年にアルゼンチンの論理学者フロレンシオ・ゴンサレス・アセンホによって初めて提唱され、後にプリーストらによって普及した。[ 12 ]
LPのセマンティクスを表現する一つの方法は、通常の関数評価を関係評価に置き換えることである。[ 13 ] 二項関係数式を真理値に関連付ける：つまりそれは真実であり、つまり偽です。論理式には少なくとも1つの真偽値が割り当てられなければなりませんが、最大で1つの真偽値が割り当てられる必要はありません。否定と選言の意味節は次のとおりです。
（その他の論理結合子は、通常通り否定と選言によって定義される。）あるいは、同じ点をより分かりやすく表現すると次のようになる。
（意味論的）論理的帰結は、真理保存として定義される。
次に評価について考えてみましょうそのためそしてしかし、それはこの評価が爆発と選言三段論法の両方に対する反例となることは容易に確認できる。しかし、これはLPの実質条件文に対するモーダス・ポネンスに対する反例でもある。このため、LPの支持者は通常、否定と選言では定義できないより強力な条件結合子を含むようにシステムを拡張することを提唱している。[ 14 ]
確認できるように、LP は、ド・モルガンの法則や、否定、連言、選言の通常の導入規則と排除規則など、有効であると期待される他のほとんどの推論パターンを保持します。驚くべきことに、 LP の論理的真理(またはトートロジー) は、古典命題論理のそれとまったく同じです。 [ 15 ] (LP と古典論理は、有効とみなされる推論のみで異なります。) すべての式が真または偽のいずれかであるという要件を緩和すると、一般に第一級含意 (FDE) として知られる、より弱いパラコンシステント論理が得られます。LP とは異なり、FDE には論理的真理は含まれていません。
LPは、提案された多くのパラコンシステント論理の1つにすぎません。 [ 16 ]ここでは、パラコンシステント論理がどのように機能するかの例としてのみ提示されています。
矛盾のない論理の重要なタイプの一つに、関連性論理がある。論理が関連性を持つとは、以下の条件を満たす場合をいう。
したがって、関連性論理は( p ∧ ¬ p ) → q を定理として持つことはできず、したがって (妥当な仮定の下で) { p , ¬ p }からqへの推論を検証することはできません。
矛盾許容論理は多値論理と大きく重なる部分がありますが、矛盾許容論理がすべて多値論理であるとは限りません（もちろん、多値論理がすべて矛盾許容論理であるとは限りません）。多値論理である二項対立論理は矛盾許容論理ですが、その逆は成り立ちません。以下に示す理想的な3値矛盾許容論理は、対偶を加えると論理RM3になります。
直観主義論理ではA ∨ ¬ A が真と等価でないことが許容されるのに対し、矛盾許容論理ではA ∧ ¬ A が偽と等価でないことが許容される。したがって、矛盾許容論理を直観主義論理の「双対」とみなすのは自然なことのように思われる。しかし、直観主義論理は特定の論理体系であるのに対し、矛盾許容論理は広範な体系を包含する。そのため、矛盾許容の双対概念は完全性と呼ばれ、直観主義論理（特定の完全許容論理）の「双対」は、反直観主義論理または双対直観主義論理（歴史的理由からブラジル論理と呼ばれることもある）と呼ばれる特定の矛盾許容体系である。[ 17 ] 2つの体系間の双対性は、シーケント計算の枠組みの中で最もよく理解できる。直観主義論理ではシーケントは
双対直観主義論理では導出できない
は導出できません。同様に、直観主義論理では、シーケントは
は導出不可能であるが、双対直観主義論理では
は導出できません。双対直観主義論理には、直観主義含意の双対である擬似差と呼ばれる結合子 # が含まれています。大まかに言えば、 A # B は「AだがBではない」と読むことができます。しかし、# は「だが B ではない」演算子に期待されるように真理関数ではありません。同様に、直観主義含意演算子は「 ¬ ( A ∧ ¬ B )」のように扱うことはできません。双対直観主義論理には、直観主義 ⊥ の双対である基本結合子 ⊤ もあります。否定は¬ A = (⊤ # A )と定義できます。
矛盾許容論理と直観主義論理の二重性に関する詳細な説明、および二重直観主義論理と矛盾許容論理が一致しない理由の説明については、Brunner and Carnielli (2005) を参照してください。
これらの他の論理体系は爆発を回避します。含意命題論理、肯定命題論理、等価論理、そして最小論理です。後者の最小論理は、矛盾許容性と完全性の両方を備えています（直観主義論理のサブシステム）。他の3つの論理体系は、そもそも否定を形成する能力がないため、矛盾を表現することができません。
ここに、O. Arieli、A. Avron、A. Zamansky による「理想的な矛盾のない論理」で定義されている矛盾のない理想的な3 値論理の例を示します。 [ 18 ] 3 つの真理値は、t (真のみ)、b (真と偽の両方)、f (偽のみ) です。
論理式は、使用されている評価においてその真理値がtまたはbのいずれかである場合に真である。論理式は、原子命題を { t、b、f } に写像するすべての評価において真である場合に、パラコンシステント論理のトートロジーである。パラコンシステント論理のすべてのトートロジーは、古典論理のトートロジーでもある。評価の場合、真である論理式の集合は、モーダス・ポネンスと演繹定理の下で閉じている。否定を含まない古典論理のトートロジーは、パラコンシステント論理のトートロジーでもある（b をtに統合することによって）。この論理は、「Pac」または「LFI1」と呼ばれることがある。
矛盾許容論理におけるトートロジーの例をいくつか挙げる。
古典論理におけるトートロジーのうち、矛盾許容論理におけるトートロジーではないものには、以下のようなものがある。
矛盾する前提の集合Γに直面し、自明性に陥ることを避けたいとします。古典論理では、Γに含まれる前提のうち1つ以上を拒否する以外に方法はありません。パラコンシステント論理では、矛盾を分割することを試みることができます。つまり、命題変数XがΓに現れない限り、 Γ → Xがトートロジーにならないように論理を弱めます。しかし、その目的に必要な以上に論理を弱めたくはありません。そのため、モーダスポネンスと演繹定理、そして（可能な限り）論理結合子の導入規則と除去規則である公理を保持したいと考えます。
この目的のために、矛盾を含む領域内で使用される3つ目の真理値bを追加します。bはすべての論理結合子の固定点とします。
我々はbを（ tに加えて）ある種の真理として定義しなければならない。そうでなければ、トートロジーが全く存在しなくなるからだ。
モーダス・ポネンスが機能することを保証するには、
つまり、真の仮説と真の含意が真の結論につながることを保証するためには、真でない（f）結論と真の（tまたはb）仮説が真でない含意をもたらす必要がある。
Γのすべての命題変数に値bが割り当てられると、Γ自体も値bになります。Xに値fを与えると、
したがって、Γ → X は同義反復ではない。
制限: (1) 真理値に定数があってはならない。なぜなら、定数があると矛盾しない論理の目的が損なわれるからである。b があると、言語が古典論理のものから変わってしまう。tまたはfがあると、再び爆発が起こる可能性がある。
これらは同義反復になります。b ≠ tおよびb ≠ fであるため、 b はこれらの定数の固定点ではないことに注意してください。
（２）この論理の矛盾を包含する能力は、特定の前提間の矛盾にのみ適用され、公理図式間の矛盾には適用されない。
（３）選言三段論法の喪失は、「正しい」代替案を開発することへの不十分な取り組みにつながり、数学を麻痺させる可能性がある。
（４）式ΓがΔと等価である、つまり、部分式として現れる箇所でどちらかを他方に代入できることを示すには、
これは古典論理よりも難しい。なぜなら、対偶が必ずしも成り立つとは限らないからだ。
パラコンシステントロジックは、以下のような多くの領域で矛盾を管理する手段として適用されてきました。[ 19 ]
古典的な論理学は、3つの主要な規則（思考の法則）に基づいています。それは、同一性の法則（LOI）、矛盾律（LNC）、排中律（LEM ）です。パラコンシステント論理は、爆発原理を受け入れないことで、古典論理学から逸脱しています。
論理学者スチュワート・シャピロは、論理の多元論的見解（異なる論理が等しく適切、あるいは等しく正しいという見解）を主張する中で、矛盾のない論理を擁護しようと試みた。彼は、直観主義論理を「唯一の真の論理」とする、あるいは直観主義論理と古典論理の多元主義のいずれも興味深く有益であるという主張が可能であることを発見した。しかし、矛盾のない論理に関しては、「（少なくとも私にとっては）説得力のある例は見つからなかった」という。[ 30 ]
「パラドックスから真理を救う」の中で、ハートリー・フィールドは、パラドクサの解決策としてのパラコンシステント論理の価値を検証している。[ 31 ]フィールドは、真理過剰（命題が真であると同時に偽である可能性がある）と真理ギャップ（命題が真でも偽でもない）の両方を回避する見解を主張している。フィールドの懸念の1つは、パラコンシステントメタ理論の問題である。論理自体が矛盾を真とすることを許容する場合、その論理を記述または統制するメタ理論もパラコンシステントでなければならない可能性がある。メタ理論がパラコンシステントである場合、パラコンシステントの枠組み内でなされた議論は、潜在的に妥当であると同時に妥当でない可能性があるので、論理の正当化（なぜそれを受け入れるべきか）は疑わしいかもしれない。これは、パラコンシステント論理の支持者にとって、パラドックスに陥ったり説明力を失ったりすることなく、どのように論理を正当化できるかを説明するという課題を生み出す。スチュワート・シャピロも同様の懸念を表明している。「二元的神学者が（非公式に）持ち出す特定の概念や考え方があるが、メタ理論が（完全に）一貫していない限り、それらを適切に表現することはできない。一貫したメタ理論を主張することは、二元的神学の重要な側面を損なうことになるだろう。」[ 32 ]
矛盾のない二元的神学を支持する著書『矛盾の中で』の中で、グラハム・プリーストはメタ理論上の困難を認めている。「矛盾のない用語で受け入れられる二元的神学のメタ理論は存在するのだろうか？この問いに対する答えは全く自明ではない。」[ 33 ]
リトマンとキース・シモンズは、二元的無神論理論は理解不能であると主張した。「この理論には『(L)は真であり偽である』という命題だけでなく、『(L)は真であり偽ではない』という命題も含まれていることに気付くと、途方に暮れてしまうかもしれない。」[ 34 ]
一部の哲学者は、上記の３つの原理のいずれかを放棄することの直感に反する性質は、爆発原理が持つかもしれないいかなる直感に反する性質よりも大きいという理由で、二元的真理論に反対してきた。
デイビッド・ルイスなどの人々は、命題とその否定が同時に真であることは単純に不可能であるという理由で、矛盾しない論理に反対している。[ 35 ]関連する反対意見としては、矛盾しない論理における「否定」は実際には否定ではなく、単なる副反対を形成する演算子であるというものがある。[ 36 ]
直感的な論理原理に違反することなく、矛盾する信念を解決できるアプローチが存在する。そのようなシステムのほとんどは、ベイズ推論とデンプスター・シェーファー理論を用いた多値論理を使用しており、非トートロジー的な信念は、不完全で抽象化され、解釈され、おそらく未確認で、潜在的に情報不足で、おそらく誤っている知識に基づいているため、完全に（100%）反駁不可能ではないとしている（もちろん、この仮定自体が非トートロジー的であれば、それ自体が反駁可能である。「反駁可能」とは「完全に（100%）反駁不可能ではない」という意味である）。
矛盾許容論理の歴史および／または現代における発展において著名な人物には、以下のような人物がいる。
