弱い溶液

数学において、常微分方程式または偏微分方程式の弱解（一般化解とも呼ばれる）とは、導関数がすべて存在するとは限らないが、それでも何らかの厳密に定義された意味で方程式を満たすとみなされる関数のことである。弱解には、方程式の種類に応じてさまざまな定義が存在する。最も重要な定義の1つは、分布の概念に基づいている。

分布の用語を避けて、微分方程式から始めて、その解の導関数が現れないように書き換えます（この新しい形式を弱形式と呼び、その解を弱解と呼びます）。やや意外なことに、微分方程式には微分不可能な解が存在する場合があり、弱形式を用いることでそのような解を見つけることができます。

弱解は重要です。なぜなら、現実世界の現象をモデル化する際に遭遇する多くの微分方程式は、十分に滑らかな解を持たず、そのような方程式を解く唯一の方法は弱解を用いることだからです。微分可能な解を持つ方程式であっても、まず弱解の存在を証明し、その後でそれらの解が実際に十分に滑らかであることを示す方が便利な場合が多いのです。

弱解は存在するが強解が存在しない方程式の例としては、田中方程式やツィレルソンの確率微分方程式などが挙げられる。

この概念を説明するために、一次波動方程式を考えてみましょう。

ここで、 u = u ( t , x ) は2つの実変数の関数である。可能な解uの性質を間接的に調べるには、それを任意の滑らかな関数に対して積分する。${\displaystyle \varphi \,\!}$コンパクトサポートのテスト関数として知られ、

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x)\,\varphi (t,x)\,dx\,dt}$

例えば、${\displaystyle \varphi }$は、ある点付近に集中した滑らかな確率分布である。${\displaystyle (t,x)=(t_{\circ },x_{\circ })}$積分は近似的に${\displaystyle u(t_{\circ },x_{\circ })}$積分はから始まることに注意してください。${\displaystyle -\infty }$に${\displaystyle \infty }$それらは本質的に有限ボックス上にあり、${\displaystyle \varphi }$ゼロではない。

したがって、解u がユークリッド空間R ²上で連続微分可能であると仮定し、式 ( 1 ) にテスト関数を乗じる。${\displaystyle \varphi }$（コンパクトで滑らかなサポート）を統合します。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x=0.}$

フビニの定理（積分の順序を入れ替えることができる）と部分積分（第1項はt 、第2項はx ）を用いると、この方程式は次のようになる。

（境界項は消滅する${\displaystyle \varphi }$（有限ボックスの外側ではゼロです。）uが連続微分可能である限り、式（ 1）が式（2 ）を意味することを示しました。

弱解の概念の鍵は、任意のに対して式（ 2）を満たす関数u が存在することである。${\displaystyle \varphi }$しかし、そのようなu は微分可能ではない場合があり、したがって式 ( 1 ) を満たせない可能性があります。例として、u ( t , x ) = | t − x |が挙げられます。これは、 uが滑らかな領域x ≥ tとx ≤ tに積分を分割し、部分積分を用いて上記の計算を逆に行うことで確認できます。式( 1 )の弱解とは、すべてのテスト関数に対する式 ( 2 ) の任意の解u を意味します。${\displaystyle \varphi }$。

この例から導かれる一般的な考え方は、uに関する微分方程式を解く際には、テスト関数を用いてそれを書き換えることができるということである。${\displaystyle \varphi }$uの導関数が方程式に現れる場合、それらは部分積分によって「転送」され、${\displaystyle \varphi }$その結果、 uの導関数を含まない方程式が得られる。この新しい方程式は、必ずしも微分可能ではない解も含むように元の方程式を一般化したものである。

上記のアプローチは非常に一般的に有効である。実際、R ⁿの開集合Wにおける線形微分作用素を考えてみよう。

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\,\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x),}$

ここで、多重インデックス( α ₁、α ₂、 ...、α _n )はN ⁿ内の有限集合上で変化し、係数は${\displaystyle a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}}$はR ⁿにおけるxの十分に滑らかな関数である。

微分方程式P ( x , ∂ ) u ( x ) = 0は、滑らかなテスト関数を乗じた後、${\displaystyle \varphi }$Wのコンパクトなサポートを備え、部品によって統合されているため、次のように記述できます。

${\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$

ここで、微分演算子Q ( x , ∂ ) は次の式で与えられる。

${\displaystyle Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right].}$

番号

${\displaystyle (-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}$

u からα ₁ + α ₂ + ⋯ + α nの部分積分が必要で、すべての偏微分をuから α 1 + α 2 + ⋯ + α _nまで転送する必要があるため、 が現れます。${\displaystyle \varphi }$微分方程式の各項において、各部分積分には −1 の乗算が伴います。

微分演算子Q ( x , ∂ )はP ( x , ∂ )の形式的随伴演算子です(演算子の随伴演算子を参照)。

要約すると、元の（強い）問題が、開集合W上で定義された| α |回微分可能な関数uを見つけることであった場合、

${\displaystyle P(x,\partial )u(x)=0{\text{すべての }}x\in W について}$

（いわゆる強解）の場合、積分可能な関数u は、次の条件を満たす場合に弱解であると言われます。

${\displaystyle \int _{W}u(x)\,Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}$

すべての滑らかな関数に対して${\displaystyle \varphi }$Wのコンパクトなサポート付き。

分布に基づく弱解の概念は、時として不十分である。双曲型システムの場合、分布に基づく弱解の概念は一意性を保証せず、エントロピー条件やその他の選択基準で補完する必要がある。ハミルトン・ヤコビ方程式のような完全非線形偏微分方程式では、粘性解と呼ばれる全く異なる弱解の定義が存在する。

• エヴァンス、 LC（1998）。偏微分方程式。プロビデンス：アメリカ数学会。ISBN 0-8218-0772-2。