ベールのカテゴリー定理

ベール圏定理（BCT ）は、一般位相幾何学および関数解析における重要な結果である。この定理には2つの形式があり、それぞれが位相空間がベール空間（可算個の稠密な開集合の共通部分が依然として稠密であるような位相空間）であるための十分条件を与える。この定理は、関数解析の基本定理のいくつかを含む、解析学および幾何学の多くの分野における結果の証明に用いられる。

ベールのカテゴリー定理の様々なバージョンは、1897年にオスグッドによって実数直線に対して初めて独立に証明された。${\displaystyle \mathbb {R} }$そして1899年にベール^{[ 1 ]}によってユークリッド空間について$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$[ ^{2 ]}完全距離化可能な空間 に関するより一般的な記述は、¹⁹¹⁴年にハウスドルフ^{[ 3 ]}によって初めて示されました。

ベール空間は位相空間である${\displaystyle X}$可算個の開稠密集合の共通部分は稠密である${\displaystyle X.}$ 同等の特性表現の一覧については、該当する記事を参照してください。用途によっては、より有用なものもあれば、そうでないものもあります。

• ( BCT1 )完全距離化可能な位相空間はすべてベール空間である。^{[ 4 ]} より一般的には、完全擬距離空間はすべてベール空間である。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}
• ( BCT2 ) すべての局所コンパクトハウスドルフ空間はベール空間である。^{[ 8 ] [ 4 ]} より一般的には、すべての局所コンパクト正則空間はベール空間である。^{[ 5 ] [ 9 ]}

これらの記述はいずれも、直接的に他方を意味するものではありません。なぜなら、局所コンパクトでない完備距離空間（以下で定義する距離を持つ無理数、また無限次元のバナッハ空間など）が存在し、距離化できない局所コンパクトハウスドルフ空間（例えば、非自明なコンパクトハウスドルフ空間の非可算積、関数解析で使用されるいくつかの関数空間、非可算フォート空間など）も存在するからです。詳細は、以下の参考文献にあるSteenとSeebachの論文を参照してください。

任意の完備距離空間に対するBCT1の証明には、何らかの選択公理が必要であり、実際、BCT1 はZF上で依存選択公理（選択公理の弱い形式）と同値である。 ^{[ 10 ]}

完全距離空間も可分であると仮定したベール圏定理の制限形式は、追加の選択原理なしにZFで証明可能である。^{[ 11 ]} この制限形式は特に実数直線、ベール空間に適用される。${\displaystyle \omega ^{\omega },}$カントール空間${\displaystyle 2^{\omega },}$そして、次のような分離可能なヒルベルト空間$\displaystyle L^{p}}$-空間${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$。

関数解析において、BCT1は開写像定理、閉グラフ定理、一様有界性原理を証明するために使用できる。

BCT1はまた、孤立点を持たない空でない完備距離空間はすべて非可算であることを示している。（もし${\displaystyle X}$が孤立点を持たない空でない可算距離空間である場合、各シングルトン${\displaystyle \{x\}}$で${\displaystyle X}$どこにも密集しておらず、${\displaystyle X}$それ自体は取るに足らないものである。）特に、これはすべての実数の集合が非可算集合であることを証明している。

BCT1は、以下のそれぞれがベール空間であることを示している。

• スペース${\displaystyle \mathbb {R} }$実数​
• 無理数、その計量は次のように定義される${\displaystyle d(x,y)={\tfrac {1}{n+1}},}$どこ${\displaystyle n}$は、 の連分数展開の最初の指数です。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$異なる（これは完全な距離空間です）
• カントールセット

BCT2により、すべての有限次元ハウスドルフ多様体は局所的にコンパクトかつハウスドルフであるため、ベール空間となります。これは、長い直線のような非パラコンパクト（したがって非計量化可能）多様体についても同様です。

BCTは、多変数複素数の理論における基本的な結果であるハルトッグスの定理を証明するために用いられる。

BCT1は、バナッハ空間が可算無限次元を持つことはできないことを証明するために用いられる。

( BCT1 ) 以下は、完全擬距離空間の標準的な証明である。${\displaystyle X}$これはベール空間である。^{[ 7 ]}

させて${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$は、可算個の稠密な開部分集合の集合である。我々は、その共通部分が${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\cap \ldots }$部分集合は密である。部分集合が密であるのは、すべての空でない開部分集合がその部分集合と交わる場合かつその場合に限る。したがって、交わりが密であることを示すには、任意の空でない開部分集合がその部分集合と交わることを示すだけで十分である。${\displaystyle W}$の${\displaystyle X}$ある程度は正しい${\displaystyle x}$すべての${\displaystyle U_{n}}$。 なぜなら${\displaystyle U_{1}}$密度が高い、${\displaystyle W}$交差する${\displaystyle U_{1};}$したがって、ある点が存在する${\displaystyle x_{1}}$そして数${\displaystyle 0<r_{1}<1}$すなわち、以下の通りである。 $${\displaystyle {\overline {B}}\left(x_{1},r_{1}\right)\subseteq W\cap U_{1}}$$ どこ${\displaystyle B(x,r)}$そして${\displaystyle {\overline {B}}(x,r)}$はそれぞれ、中心が の開いた球と閉じた球を表す。${\displaystyle x}$半径付き${\displaystyle r.}$ それぞれが${\displaystyle U_{n}}$が密である場合、この構成は再帰的に継続して、2 つのシーケンスを見つけることができます。${\displaystyle x_{n}}$そして${\displaystyle 0<r_{n}<{\tfrac {1}{n}}}$すなわち、以下の通りである。 $${\displaystyle {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)\subseteq B\left(x_{n-1},r_{n-1}\right)\cap U_{n}.}$$

（このステップは選択公理と、有限個の開集合の交わりは開集合であり、したがってその内部に中心が開いた球が見つかるという事実に基づいています。${\displaystyle x_{n}}$）シーケンス${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$コーシーである理由は${\displaystyle x_{n}\in B\left(x_{m},r_{m}\right)}$いつでも${\displaystyle n>m,}$そしてそれゆえに${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$ある極限値に収束する${\displaystyle x}$完全性によって。${\displaystyle n}$正の整数である場合${\displaystyle x\in {\overline {B}}\left(x_{n},r_{n}\right)}$（この集合は閉じているため）。したがって${\displaystyle x\in W}$そして${\displaystyle x\in U_{n}}$すべての人々のために${\displaystyle n.}$${\displaystyle \blacksquare }$

ショケのゲームを用いた別の証明もある。^{[ 12 ]}

（BCT2 ）局所的にコンパクトな正則空間の証明${\displaystyle X}$ベール空間も同様である。^{[ 9 ]} これは、(1)そのような空間ではすべての点が閉じたコンパクトな近傍の局所基底を持つこと、および(2)コンパクト空間では有限交差特性を持つ任意の閉集合の集合が空でない交差を持つこと、という事実を利用している。局所的にコンパクトなハウスドルフ空間の結果は、そのような空間が正則であるため、特殊なケースである。

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• Encyclopedia of Mathematics のベア定理に関する記事
• Tao, T. (2009年2月1日). "245B、ノート9：ベール圏定理とそのバナッハ空間における帰結" .