解析学における問題と定理

『解析の問題と定理』（ドイツ語: Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis ）は、ジョージ・ポリアとガーボル・セゲーによる解析の2巻からなる問題集です。 1925年に出版されたこの2巻は、(I)級数、積分、関数論、および (II)関数論、零点、多項式、行列式、数論、幾何学、というタイトルが付けられています。

これらの巻は、問題の質と、トピック別ではなく解法別に構成されている点で高く評価されており、学生の問題解決能力の育成に重点を置いている。各巻の冒頭には問題が、末尾には（簡潔な）解答が掲載されている。2人の著者が述べているように、「数学者の間では、2巻からなるポリア＝セゲー問題集は、数学史上最も優れた文章で書かれ、最も有用な問題集であるという共通認識がある」^{[ 1 ]： 59}

解析学の総合問題集というアイデアを最初に思いついたのはポーヤだったが、彼はそれを一人では完成できないことに気づいた。そこで彼は、1913年にブダペストで出会って以来の友人であるセゲーと共著することにした（当時セゲーはわずか17歳、ポーヤは25歳の博士研究員だった）。セゲーの初期のキャリアはポーヤと密接に結びついており、彼の最初の2つの論文はポーヤが提起した問題に関するものだった。^{[ 3 ] : 562 [ 1 ] : 54 [ 4 ] : 11}しかし、ポーヤは彼らの専門分野が十分に異なっているため、共同作業は実りあるものになるだろうと信じていた。^{[ 3 ] : 562}ポーヤとセゲーは1923年にシュプリンガー・フェルラーク社と本の契約を結び、1925年までに出版された。 ^{[ 5 ]} ポーヤは後に、彼らがこの本を書いた時期について次のように書いている。

素晴らしい時間でした。私たちは熱意と集中力をもって研究に取り組みました。私たちは似たような経歴を持っていました。当時の他の若いハンガリーの数学者たちと同様に、私たちもレオポルド・フェイェールの影響を受けていました。私たちは二人とも、高校生向けの、問題解決を重視した質の高いハンガリー数学雑誌を購読していました。私たちは同じような問題、同じようなテーマに興味を持っていましたが、一方はあるテーマについてより深く理解しており、もう一方は別のテーマについてより深く理解していました。それは素晴らしい共同研究でした。私たちの協力の成果である『解析学の課題と講義』は、私の最高傑作であり、同時にガーボル・セゲーの最高傑作でもあります。^{[ 4 ]： 11}

『問題と定理を書く』は、二人の若い数学者にとって大変な経験だった。ポーヤはチューリッヒの教授で、セゲーはベルリンの私講師だったので、二人ともそれぞれ仕事があった。ポーヤの妻は、彼が神経衰弱になるのではないかと心配していた。^{[ 1 ] : 60}二人とも中央ヨーロッパで高まる反ユダヤ主義の脅威にもさらされていた（ポーヤとセゲーはハンガリー系ユダヤ人だった）。ドイツの大学への任命に対する悲観論に加え、経済的な困難が、ポーヤを1925年にイギリスへ移住させることを決意させた。^{[ 1 ] : 61-63 [ 4 ] : 23}セゲーは逃亡に時間がかかり、ポーヤとハラルド・ボーアがセントルイスのワシントン大学のポストを受け入れるよう説得した1934年までドイツを離れなかった。この頃には、ナチスはすでにドイツの大学からユダヤ人教授を粛清し始めていた。^{[ 6 ]}セゲーとポリア（問題集以降はほとんど共同研究を行わなかった）は、1950年代にアメリカのスタンフォード大学数学科で再会した。^{[ 1 ]： 62}

本書のタイトルは解析のみを指していますが、その内容は幅広い問題を含んでいます。本書は組み合わせ論から始まり、数学解析から数論、幾何学、線形代数、さらには物理学へとすぐに枝分かれしていきます。^{[ 4 ]： 23-24}扱われている具体的なトピックは、ポーヤ（デカルトの符号法則、ポーヤの列挙定理）、セゲー（多項式、三角多項式、直交多項式に関する彼自身の研究）、そして時には両方（多項式と解析関数の零点、複素解析全般）の特別な関心を示しています。^{[ 4 ]： 25-27} 本書の問題の多くは新しいものではなく、その解答には元の出典への参照が含まれています。^{[ 7 ]： xii–xiii、xvii–xviii} 幾何学のセクション（IX）には、レーヴナー（微分幾何学）とヒルシュ（代数幾何学）による多くの問題が含まれている。^{[ 4 ]： 27}

この本は、当時としては斬新な構成で、トピック別ではなく解法別に構成されており、学生の問題解決能力を高めることを目的としていた。序文には、一般的な問題解決と数学的ヒューリスティクスに関する考察がいくつか含まれており、これはポーヤの後の同テーマに関する著作（『数学と妥当な推論』、『いかにして問題を解くか』）を予見させるものである。^{[ 4 ]： 23-24} 二人は練習会を開き、大学生に問題を与え、クラス全体で解いていった（代表的な問題のいくつかは教師が解き、難しい問題は宿題として出した）。彼らは1学期に約1章のペースで本書の一部を進めていった。^{[ 7 ]： xi-xii}

『解析学の問題と定理』における問題の展開の典型的な例として、（アメリカ版の）第1巻の最初の3つの問題が挙げられる。

1. 1ドルを両替する方法は何通りありますか？つまり、1セント硬貨、5セント硬貨、10セント硬貨、25セント硬貨、50セント硬貨（それぞれ1セント、5セント、10セント、25セント、50セントの価値）の5種類の硬貨を使って、100セントを支払う方法はいくつありますか？

2. n を非負整数とし、${\displaystyle A_{n}}$ディオファントス方程式の解の数を表す $${\displaystyle x+5y+10z+25u+50v=n}$$ 非負整数で。次に、数列 $${\displaystyle A_{0}+A_{1}\zeta +A_{2}\zeta ^{2}+\cdots +A_{n}\zeta ^{n}+\cdots }$$ の有理関数を表す${\displaystyle \zeta }$それを見つけてください。

3. 2セント、4セント、6セント、8セントの切手を使って、米国内へ送る航空郵便の手紙に必要な切手を1列に貼る方法はいくつありますか？郵便料金は10セントです。（同じ額面の切手の異なる配置は、異なる方法とみなされます。）^{[ 7 ]： 1}

最初の問題は基本的な組み合わせ論の問題を提起していますが、2番目の問題は（母関数を用いた）解法と一般化の両方を示唆しています。3番目の問題は、母関数を用いて解くことができる別の組み合わせ論の問題を示しています。実際、問題1～26は、さらなる例を通して母関数を追っています。^{[ 4 ]： 23}数学の多くの分野がこのようにして発展しています。^{[ 1 ]： 55}

英語訳（1972年と1976年に出版）では大幅な加筆が行われ、新たな章や、ポーヤの他の問題解決に関する著作への参照などが追加されている。^{[ 4 ]： 24-25}

リチャード・アスキーとポール・ネヴァイはこの本について、「数学者の間では、2 巻からなる Pólya-Szegő は数学史上最も優れた書き方で、最も有用な問題集であるという共通認識がある」と述べている。^{[ 1 ] : 59}この本には賞賛する人がいた。様々な著名な数学者 (ベルネイス、クーラント、フェイェール、E. ランダウ、F. リース、トプリッツ) が、印刷中に校正刷りを読んでおり^{[ 7 ] : xii–xiii}初期の書評者 (再び F. リース、クノップ、タマルキン) も、それほど劣らず著名であり、皆、惜しみない賞賛を寄せた。^{[ 1 ] : 58–60}綿密な教育法のおかげで、大学院生は問題と定理だけで解析学を学ぶことができた。^{[ 1 ]： 58}ポール・エルデシュはかつて、ある若い数学者に第2巻からの問題を提示し、「この問題を10分で解けたら、中国に10ドル寄付しよう」と宣言した。^{[ 4 ]： 27}

ロシア語訳は1937～38年に出版された。英語訳は1972～76年に出版された。^{[ 4 ]： 23}