総和

数学の表記法では、多くの類似した項の総和を簡潔に表す記号、すなわち総和記号を使用します。${\textstyle \sum }$、直立したギリシャ文字の大文字シグマの拡大形。^{[ 1 ]}これは次のように定義される。 $${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$$ ここで、iは「総和のインデックス」または「ダミー変数」であり、^{[ 2 ]} a _iは総和の各項を表すインデックス付き変数です。mは「総和の下限」、nは「総和の上限」です。総和記号の下にある「i = m」は、インデックスi がmに等しいことから始まることを意味します。インデックスiは、各項ごとに 1 ずつ増加し、i = nで停止します。^{[ b ]}これは「 i = mからnまでのa _iの総和」と読みます。ただし、表記によっては、総和の上限のインデックスを含めたり、下限のインデックスを省略したりする場合があります。${\textstyle \sum _{i=m}^{i=n}a_{i}}$または$\sum_m^na_i$それぞれ。^{[ 3 ]}範囲が省略されたシグマ表記のバリアントもあり、これはダミー変数のみを表します。${\textstyle \sum _{i}a_{i}}$[ ^{4 ]}ここに平方和の例を示します ^。$${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$$ 一般的に、どの変数も合計のインデックスとして使用できますが（曖昧さが生じない限り）、最も一般的なものには、次のような文字が含まれます。${\displaystyle i}$, ^{[ c ]}${\displaystyle j}$、${\displaystyle k}$、 そして${\displaystyle n}$; 後者は総和の上限としてもよく使われます。^{[ 5 ]}あるいは、文脈が十分に明確であれば、総和の定義から総和の添え字と範囲を省略することもあります。これは特に添え字が 1 からnまでの場合に適用されます。例えば、次のように書くことができます。${\textstyle \sum a_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$[ ^{6 ]​}

この表記法の一般化がよく用いられ、その場合、任意の論理条件が指定され、その条件を満たすすべての値について合計を取ることが意図されます。例えば、${\textstyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$ は、の別の表記法です。 ${\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),}$合計${\displaystyle f(k)}$すべての（整数）について${\displaystyle k}$指定された範囲内。^{[ 5 ]}同様に、${\textstyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$は合計です${\displaystyle f(x)}$すべての要素${\displaystyle x}$セットの中で${\displaystyle S}$[ ^{7 ] [ 8 ]}および^​${\textstyle \sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)}$ は合計です${\displaystyle \mu (d)}$すべての正の整数にわたって${\displaystyle d}$分割${\displaystyle n}$[ ^{d ]​}

また、多くのシグマ表記の使用を一般化する方法もある。例えば、二重和を異なるダミー変数を用いた2つのシグマ表記で表すことができる。${\textstyle \sum _{i=\ell }^{n}\sum _{j=m}^{k}a_{i,j}}$両方のシグマ表記の範囲が同じであることを考慮すると、二重シグマ表記は単一の表記にまとめることができるため、二重和は次のように書き換えられます。${\textstyle \sum _{i=m}^{n}\sum _{j=m}^{n}a_{i,j}=\sum _{i,j=m}^{n}a_{i,j}}$[ ^{9 ]​}

用語有限級数は、上記の総和について議論する際に用いられることがある。無限級数、上限は無限大$\sum_{i=m}^{\infty}a_{i}}$となり、和の結果が存在する場合は収束し、そうでない場合は発散します。無限級数のシグマ表記における境界は、次のように表すこともできます。$\sum_{i\geq 0}a_{i}}$[ ^{9 ]​}

関連して、数列の積にも同様の表記法が用いられます。${\textstyle \prod }$ギリシャ文字の大文字パイを拡大した形である は、 の代わりに使用されます。${\textstyle \sum }$[ ^{10 ]​}

2つ未満の数を合計することは可能です。

• 総和に被加数が1つしかない場合${\displaystyle x}$すると、評価された合計は次のようになります。${\displaystyle x}$。
• 総和に被加数が存在しない場合、加算における単位元がゼロであるため、計算結果はゼロになります。これは空和と呼ばれます。

これらの退化したケースは、通常、総和表記が特殊なケースで退化した結果を与える場合にのみ使用されます。たとえば、${\displaystyle n=m}$上記の定義では、和には項が1つしかありません。${\displaystyle n=m-1}$ならば、存在しない。

「代数和」とは、正または負の符号を持つ項の和を指します。正の符号を持つ項は加算され、負の符号を持つ項は減算されます。

総和記号の起源は1675年に遡り、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツがヘンリー・オルデンバーグへの手紙の中でこの記号を提案した。${\textstyle \int }$微分の総和（ラテン語：calculus summatorius）を表すため、S字形になっている。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}この記号が積分と改名されたのは、後にヨハン・ベルヌーイとのやり取りの中で起こった。^{[ 13 ]} 1755年、総和記号Σはレオンハルト・オイラーの『微分計算の原理』に登場している。^{[ 14 ] [ 15 ]}オイラーは次のような式でこの記号を使用している。${\textstyle \sum (2wx+w^{2})=x^{2}}$シグマ表記の使用は後にラグランジュなどの数学者によって証明され、彼らは${\textstyle \sum }$そして$\sum^n$1772年に。^{[ 14 ] [ 16 ]}フーリエとCGJヤコビも1829年にシグマ表記法を示したが、^{[ 14 ]}フーリエは下限と上限を含めた。$\sum_{i=1}^{\infty}e^{-i^{2}t}\ldots }$[ ^{17 ] [ 18 ]}シグマ表記以外にも、大文字のSは1823年に数列の総和記号として確認されており、これは広く普及していたようである^{。[ 14 ]}

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$（分配性）^{[ 20 ]}

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$（交換法則と結合法則）^{[ 20 ]}

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$（インデックスシフト）

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$有限集合Aから集合Bへの全単射σの場合(添え字の変更)。これは、前の式を一般化したものです。

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$（結合法則を用いて合計を分割する）

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$（前述の式の変形）

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }$（最初の項から最後の項までの合計は、最後の項から最初の項までの合計と等しい）

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }$（上記の公式の特殊なケース）

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }$（再び、交換法則と結合法則について）

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$（交換法則と結合法則の別の応用例）

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$（偶数インデックスの場合、合計を奇数部分と偶数部分に分割する）

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$（奇数インデックスの場合、合計を奇数部分と偶数部分に分割する）

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }$（積の対数は、因数の対数の和である）

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }$（和の指数は、被加数の指数の積である）

${\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad }$任意の関数に対して${\textstyle f}$から${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$iに依存しないすべてのcについて

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$（最初のn 個の自然数からなる最も単純な等差数列の和。） ^{[ 19 ]： 52}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$（最初の奇数の自然数の合計）

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$（最初の偶数の自然数の和）

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log(n!)\qquad }$（対数の和は積の対数である）

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$（最初の平方数の和、正四角錐数を参照。）^{[ 19 ]： 52}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$(ニコマコスの定理) ^{[ 19 ] : 52}

より一般的には、ファウルハーバーの公式は次のようになる。${\displaystyle p>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}$

どこ${\displaystyle B_{k}}$はベルヌーイ数を表し、${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$は二項係数です。

以下の総和計算では、aは1とは異なる値であると仮定する。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$（等比数列の和）

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$( a = 1/2の場合の特殊なケース)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$（a に等比数列のaに関する導関数を掛けたもの）

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$

（等差数列と等比数列の和）

二項係数を含む総和恒等式は非常に多く存在します（ 『Concrete Mathematics』では、基本的な手法だけで1章を割いています）。最も基本的なもののいくつかを以下に示します。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad }$（n番目の高調波）

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{(k)}\quad }$（一般化された調和数）