数学 において、オットー・トプリッツ によって最初に証明されたシルバーマン・トプリッツの定理は 、正則な行列の総和法を特徴付ける級数の 総和 理論 の結果である。正則な行列の総和法とは、収束する数列 の極限 を保持する線形数列変換 である。[ 1 ]
無限行列 （ 1 私 、 j ） 私 、 j ∈ N {\displaystyle (a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }} 複素数 値のエントリを持つ正規行列の総和法を定義するのは、以下のすべての性質を満たす場合に限る。
リム 私 → ∞ 1 私 、 j = 0 j ∈ N （すべての列のシーケンスは0に収束する。） リム 私 → ∞ ∑ j = 0 ∞ 1 私 、 j = 1 （行の合計は1に収束する。） すする 私 ∑ j = 0 ∞ | 1 私 、 j | < ∞ （行の合計値は絶対値に制限されます。） {\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0\quad j\in \mathbb {N} &&{\text{(すべての列の列は 0 に収束します。)}}\\[3pt]&\lim _{i\to \infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i,j}=1&&{\text{(行の和は 1 に収束します。)}}\\[3pt]&\sup _{i}\sum _{j=0}^{\infty }\vert a_{i,j}\vert <\infty &&{\text{(行の和の絶対値は有界です。)}}\end{aligned}}} 一例として、行列の総和法であるチェザロ総和法がある。
1 m n = { 1 m n ≤ m 0 n > m = （ 1 0 0 0 0 ⋯ 1 2 1 2 0 0 0 ⋯ 1 3 1 3 1 3 0 0 ⋯ 1 4 1 4 1 4 1 4 0 ⋯ 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ） 。 {\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\frac {1}{m}}&n\leq m\\0&n>m\end{cases}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&\cdots \\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&0&\cdots \\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}}.}
証拠
証明1。 固定の場合j ∈ N {\displaystyle j\in \mathbb {N} } z n {\displaystyle z_{n}} S n {\displaystyle S_{n}} 1 私 、 j {\displaystyle a_{i,j}} | z n | {\displaystyle \left|z_{n}\right|} | S n | {\displaystyle \left|S_{n}\right|} | 1 私 、 j | {\displaystyle \left|a_{i,j}\right|} M = 1 + すする 私 ∈ N ∑ j = 1 私 | 1 私 、 j | > 0 {\displaystyle M=1+\sup _{i\in \mathbb {N} }\sum _{j=1}^{i}\vert a_{i,j}\vert >0}
以来| z n | → 0 \displaystyle \left|z_{n}\right|\to 0} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} N ε ∈ N {\displaystyle N_{\varepsilon }\in \mathbb {N} } n > N ε {\displaystyle n>N_{\varepsilon }} | z n | < ε 2 M \displaystyle \left|z_{n}\right|<{\frac {\varepsilon }{2M}}} N 1 = N 1 （ ε ） > N ε {\displaystyle N_{a}=N_{a}\left(\varepsilon \right)>N_{\varepsilon }} ∑ m = 1 n | 1 n 、 m | < ε 2 （ 最大 m ≤ N ε | z m | + 1 ） \displaystyle \sum _{m=1}^{n}|a_{n,m}|<{\frac {\varepsilon }{2\left(\max _{m\leq N_{\varepsilon }}|z_{m}|+1\right)}}} n > N 1 （ ε ） {\displaystyle n>N_{a}\left(\varepsilon \right)} n > N 1 （ ε ） {\displaystyle n>N_{a}\left(\varepsilon \right)}
| S n | = | ∑ m = 1 n （ 1 n 、 m z m ） | ⩽ ∑ m = 1 n （ | 1 n 、 m | ⋅ | z m | ） = ∑ m = 1 N ε （ | 1 n 、 m | ⋅ | z m | ） + ∑ m = N ε + 1 n （ | 1 n 、 m | ⋅ | z m | ） < < 最大 1 ≤ m ≤ N ε （ | z m | ） ⋅ ∑ m = 1 N ε | 1 n 、 m | + ε 2 M ∑ m = N ε + 1 n | 1 n 、 m | ⩽ ε 2 + ε 2 M ∑ m = 1 n | 1 n 、 m | ⩽ ε 2 + ε 2 M ⋅ M = ε {\displaystyle {\begin{aligned}&\left|S_{n}\right|=\left|\sum _{m=1}^{n}\left(a_{n,m}z_{m}\right)\right|\leqslant \sum _{m=1}^{n}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{m}\right|\right)=\sum _{m=1}^{N_{\varepsilon }}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{m}\right|\right)+\sum _{m=N_{\varepsilon }+1}^{n}\left(\left|a_{n,m}\right|\cdot \left|z_{m}\right|\right)<\\&<\max _{1\leq m\leq N_{\varepsilon }}(|z_{m}|)\cdot \sum _{m=1}^{N_{\varepsilon }}|a_{n,m}|+{\frac {\varepsilon }{2M}}\sum _{m=N_{\varepsilon }+1}^{n}\left|a_{n,m}\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\sum _{m=1}^{n}\left|a_{n,m}\right|\leqslant {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2M}}\cdot M=\varepsilon \end{aligned}}}
つまり、両方のシーケンスは| S n | {\displaystyle \left|S_{n}\right|} S n {\displaystyle S_{n}} [ 3 ]
証明2。 リム n → ∞ （ z m − z ∞ ） = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(z_{m}-z_{\infty }\right)=0} リム n → ∞ ∑ m = 1 n （ 1 n 、 m （ z m − z ∞ ） ） = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}\left(z_{m}-z_{\infty }\right){\big )}=0}
リム n → ∞ S n = リム n → ∞ ∑ m = 1 n （ 1 n 、 m z m ） = リム n → ∞ ∑ m = 1 n （ 1 n 、 m （ z m − z ∞ ） ） + z ∞ リム n → ∞ ∑ m = 1 n （ 1 n 、 m ） = 0 + z ∞ ⋅ 1 = z ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}z_{m}{\big )}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}\left(z_{m}-z_{\infty }\right){\big )}+z_{\infty }\lim _{n\to \infty }\sum _{m=1}^{n}{\big (}a_{n,m}{\big )}=0+z_{\infty }\cdot 1=z_{\infty }}
参考文献
引用文献 ↑ シルバーマン・トープリッツの定理、ブライアン・ルーダー著、1966年出版、請求記号 LD2668 .R4 1966 R915、発行元 カンザス州立大学、インターネットアーカイブ ↑ Linero, Antonio; Rosalsky, Andrew (2013-07-01). "On the Toeplitz Lemma, Convergence in Probability, and Mean Convergence" (PDF) . Stochastic Analysis and Applications . 31 (4): 684– 694. doi : 10.1080/07362994.2013.799406 . ISSN 0736-2994 . 2024-11-17 ↑ リャシコ、イワン・イワノビッチ。ボヤルチュク、アレクセイ・クリメトジェヴィッチ。ガイ、ヤコフ・ガブリロヴィッチ。ゴロヴァッハ、グリゴリー・ペトロヴィッチ (2001)。 Математический анализ: введение в анализ、производная、интеграл。 数学的 解析 : 解析、導関数、積分への入門。数学的解析のハンドブック。 ] （ロシア語）。 Vol. 1（第1 版）。モスクワ: エディトリアル URSS。 p. 58.ISBN 978-5-354-00018-0 。
さらに読む オットー、テプリッツ (1911) 「ユーバー アルゲマイネ リニアレ ミッテルビルドゥン ゲン 」、22 、 113–118 (元の論文はドイツ語 ) シルバーマン、ルイス・ラザルス （1913）「発散級数の和の定義について」ミズーリ大学研究、数学シリーズI、1-96ハーディ、GH （1949）、『ダイバージェント・シリーズ』 、オックスフォード：クラレンドン・プレスブース、ヨハン（2000）。総和法における古典的および現代的方法 。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 019850165X 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0\quad j\in \mathbb {N} &&{\text{(すべての列の列は 0 に収束します。)}}\\[3pt]&\lim _{i\to \infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i,j}=1&&{\text{(行の和は 1 に収束します。)}}\\[3pt]&\sup _{i}\sum _{j=0}^{\infty }\vert a_{i,j}\vert <\infty &&{\text{(行の和の絶対値は有界です。)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e27963b6a547742832d39a7e1f52ae3a02181586)
