楕円超幾何級数

数学において、楕円超幾何級数Σ c _nは、比 c _n / c _{n − 1が}nの楕円関数となる級数であり、比がnの有理関数となる一般化超幾何級数や、比が複素数nの周期関数となる基本超幾何級数に類似しています。これらは、Date-Jimbo-Kuniba-Miwa-Okado (1987) およびFrenkel & Turaev (1997)が楕円6-j 記号の研究で導入しました。

楕円超幾何級数の概説については、Gasper & Rahman (2004)、 Spiridonov (2008)、またはRosengren (2016)を参照してください。

q-ポッホハンマー記号は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}).}$

${\displaystyle \displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}$

引数xと名pを持つ修正ヤコビ シータ関数は次のように定義される。

$\displaystyle \displaystyle \theta (x;p)=(x,p/x;p)_{\infty }}$

${\displaystyle \displaystyle \theta (x_{1},...,x_{m};p)=\theta (x_{1};p)...\theta (x_{m};p)}$

楕円シフト階乗は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle (a;q,p)_{n}=\theta (a;p)\theta (aq;p)...\theta (aq^{n-1};p)}$

${\displaystyle \displaystyle (a_{1},...,a_{m};q,p)_{n}=(a_{1};q,p)_{n}\cdots (a_{m};q,p)_{n}}$

シータ超幾何級数_{r +1} E _rは次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}E_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r+1};q,p)_{n}}{(q,b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}}$

非常にバランスの取れたシータ超幾何級数_{r +1} V _rは次のように定義されます。

${\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}V_{r}(a_{1};a_{6},a_{7},...a_{r+1};q,p;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\theta (a_{1}q^{2n};p)}{\theta (a_{1};p)}}{\frac {(a_{1},a_{6},a_{7},...,a_{r+1};q,p)_{n}}{(q,a_{1}q/a_{6},a_{1}q/a_{7},...,a_{1}q/a_{r+1};q,p)_{n}}}(qz)^{n}}$

両側シータ超幾何級数_r G _rは次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {}_{r}G_{r}(a_{1},...a_{r};b_{1},...,b_{r};q,p;z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},...,a_{r};q,p)_{n}}{(b_{1},...,b_{r};q,p)_{n}}}z^{n}}$

楕円数は次のように定義される。

${\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]={\frac {\theta _{1}(\pi \sigma a,e^{\pi i\tau })}{\theta _{1}(\pi \sigma ,e^{\pi i\tau })}}}$

ここで、ヤコビのシータ関数は次のように定義される。

${\displaystyle \theta _{1}(x,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(n+1/2)^{2}}e^{(2n+1)ix}}$

加法楕円シフト階乗は次のように定義される。

• ${\displaystyle [a;\sigma ,\tau ]_{n}=[a;\sigma ,\tau ][a+1;\sigma ,\tau ]...[a+n-1;\sigma ,\tau ]}$
• ${\displaystyle [a_{1},...,a_{m};\sigma ,\tau ]=[a_{1};\sigma ,\tau ]...[a_{m};\sigma ,\tau ]}$

加法的なシータ超幾何級数_{r +1} e _rは次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}e_{r}(a_{1},...a_{r+1};b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,b_{1},...,b_{r};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}$

加法的に非常にバランスの取れたシータ超幾何級数_{r +1} v _rは次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {}_{r+1}v_{r}(a_{1};a_{6},...a_{r+1};\sigma ,\tau ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[a_{1}+2n;\sigma ,\tau ]}{[a_{1};\sigma ,\tau ]}}{\frac {[a_{1},a_{6},...,a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}{[1,1+a_{1}-a_{6},...,1+a_{1}-a_{r+1};\sigma ,\tau ]_{n}}}z^{n}}$

• Spiridonov, VP (2013). 「楕円型超幾何関数の側面」。Bruce C. Berndt 編『スリニヴァーサ・ラマヌジャンの遺産：ラマヌジャン生誕125周年記念国際会議議事録』（デリー大学、2012年12月17日～22日）所収。ラマヌジャン数学会講義ノートシリーズ、第20巻、ラマヌジャン 数学会、347～361頁。arXiv : 1307.2876。Bibcode : 2013arXiv1307.2876S。ISBN  9789380416137。
• Rosengren, Hjalmar (2016). "楕円型超幾何関数". arXiv : 1608.06161 [ math.CA ].

• フレンケル、イゴール・B.、トゥラエフ、ウラジミール・G. (1997)、「ヤン・バクスター方程式の楕円解とモジュラー超幾何関数」、アーノルド・ゲルファント数学セミナー、ボストン、マサチューセッツ州：ビルクハウザー・ボストン、pp. 171–204、ISBN  978-0-8176-3883-2MR 1429892​ 
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004)、「基本的な超幾何級数」、数学とその応用百科事典、第 96巻（第2 版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-83357-8MR 2128719​ 
• Spiridonov, VP (2002)、「シータ超幾何級数」、数理物理学への応用を伴う漸近組合せ論（サンクトペテルブルク、2001年）、NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem.、第 77巻、ドルトレヒト：Kluwer Acad. Publ.、pp. 307–327、arXiv：math/0303204、Bibcode：2003math......3204S、MR 2000728  
• Spiridonov、VP (2003)、「シータ超幾何積分」、Rossiĭskaya Akademiya Nauk。代数 i 分析、15 (6): 161– 215、arXiv : math/0303205、Bibcode : 2003math......3205S、doi : 10.1090/S1061-0022-04-00839-8、MR 2044635、S2CID 14471695  
• Spiridonov、VP (2008)、「楕円超幾何関数の理論に関するエッセイ」、Rossiĭskaya Akademiya Nauk。モスコフスコエ・マテマチェスコエ・オブシチェストヴォ。 Uspekhi Matematicheskikh Nauk、63 (3): 3– 72、arXiv : 0805.3135、Bibcode : 2008RuMaS..63..405S、doi : 10.1070/RM2008v063n03ABEH004533、MR 2479997、S2CID 16996893  
• Warnaar, S. Ole (2002)、「楕円型超幾何級数の総和と変換公式」、Constructive Approximation、18 (4): 479–502、arXiv : math/0001006、doi : 10.1007/s00365-002-0501-6、MR 1920282、S2CID 18102177