ボレル和

数学において、 ボレル和はエミール・ボレル (1899)によって導入された発散級数の和法である。これは特に発散漸近級数を和ぐのに役立ち、ある意味ではそのような級数に対して可能な限り最良の和を与える。この方法にはボレル和とも呼ばれるいくつかのバリエーションがあり、その一般化はミッタク・レフラー和と呼ばれる。

ボレル和と呼ばれるわずかに異なる方法が (少なくとも) 3 つあります。これらは、どの級数を合計できるかが異なりますが、一貫しており、2 つの方法で同じ級数を合計すると、同じ答えが得られます。

全体を通して、A ( z ) は形式的な冪級数を表すものとする。

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k},}$

そしてAのボレル変換を対応する指数級数として 定義する

${\displaystyle {\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}.}$

A _n ( z ) を部分和とする と、

${\displaystyle A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}.}$

ボレルの和法の弱い形式は、 Aのボレル和を次のように 定義する。

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A_{n}(z).}$

これがz  ∈  Cで何らかの関数a ( z )に収束する場合、 Aの弱ボレル和はzで収束すると言い、 と書きます。 ${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}$

ボレル変換がすべての正の実数に対して収束し、次の積分が（不定積分として）十分にゆっくりと増加する関数になると仮定すると、Aのボレル和は次のように与えられる。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt,}$

のラプラス変換を表します。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}A(z)}$

積分がz  ∈  Cで何らかのa ( z )に収束する場合、 Aのボレル和はzで収束すると言い、 と書きます。 ${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}$

これはボレルの積分和法に似ていますが、ボレル変換はすべてのtに対して収束する必要はなく、正の実軸に沿って解析的に継続できるtの 0 付近の解析関数に収束する点が異なります。

方法（B）と（wB）はどちらも通常の加算法であり、 A（z）が（標準的な意味で）収束するときはいつでも、ボレル和と弱ボレル和も収束し、同じ値になります。つまり、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a_{k}z ^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}}).}$

( B )の正則性は積分の順序を変えることで簡単にわかる。これは絶対収束によって成り立つ。A ( z )がzで収束する場合、

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\left (\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}dt 、}$

ここで、右端の式はzにおけるボレル和とまったく同じです。

( B )と( wB )の正則性は、これらの方法がA ( z )に解析的拡張を与えることを意味している。

z  ∈  Cで弱ボレル和可能な任意の級数A ( z )は、 zでもボレル和可能である。しかし、弱ボレル和では発散するがボレル和可能な級数の例を構築することができる。次の定理は、2 つの方法が同等であることを特徴付ける。

定理((Hardy 1992, 8.5))。

A ( z ) を形式的な冪級数とし、z  ∈  C を固定すると、次のようになります。

1. もしならば。${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}$${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}$
2. ならば、です。${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})}$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0,}$${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})}$

• （B）は、α = 1のミッタク・レフラー和の特殊なケースである。
• ( wB )は、 q  → ∞のときに( E , q )法の収束領域が( B )の収束領域に収束するという意味で、一般化オイラー和法 ( E , q )の極限ケースと見なすことができます。^[1]

与えられた漸近展開には常に多くの異なる関数が存在します。しかし、有限次元近似の誤差が特定の領域で可能な限り小さくなるという意味で、可能な限り最良の関数が存在する場合があります。ワトソンの定理とカールマンの定理は、ボレル和がそのような最善の級数和を生成することを示しています。

ワトソンの定理は、関数がその漸近級数のボレル和となるための条件を与えます。fが次の条件を満たす関数であるとします。

• f は、ある正のRと εに対して、ある領域| z | <  R、 |arg( z )| < π /2 + εで正則です。
• この領域では、fは漸近級数a ₀  +  a ₁ z  + ...を持ち、その特性として誤差

${\displaystyle |f(z)-a_{0}-a_{1}z-\cdots -a_{n-1}z^{n-1}|}$

境界は

${\displaystyle C^{n+1}n!|z|^{n}}$

領域内のすべてのzについて（ある正の定数Cについて）。

ワトソンの定理によれば、この領域ではf はその漸近級数のボレル和で与えられる。より正確には、ボレル変換の級数は原点の近傍で収束し、正の実軸まで解析的に接続でき、ボレル和を定義する積分は上記の領域で zに対してf ( z )に収束する。

カールマンの定理は、有限次近似の誤差が急激に増加しない限り、関数はセクター内の漸近級数によって一意に決定されることを示しています。より正確には、セクターの内部でfが解析的である場合、 | z | <  C、Re( z ) > 0であり、この領域ですべてのnに対して| f ( z )| < | b _n z | ⁿであり、級数1/ b ₀  + 1/ b ₁  + ...が発散する場合、 f はゼロになります。

カールマンの定理は、項が急激に増加しない任意の漸近級数に対する和法を与える。これは、適切なセクターが存在する場合、そのセクター内のこの漸近級数を持つ唯一の関数として和を定義できるためである。ボレル和は、ある定数cに対してb _n = cnである特別な場合よりもわずかに弱い。より一般的には、数b _nをわずかに大きくすることで、ボレルよりもわずかに強い和法を定義できる。たとえば、b _n =  cn log  nまたはb _n = cn log n  log log  n。実際には、この方法で和をとることができ、ボレルの方法でも和をとれない級数の自然な例はほとんどないため、この一般化はあまり役に立たない。

関数f ( z ) = exp(–1/ z )は、任意のθ  <  π /2に対して領域|arg( z )| <  θで上記の形式の誤差境界を持つ漸近級数0 + 0 z  + ...を持ちますが、漸近級数のボレル和では与えられません。これは、ワトソンの定理の数値π /2をそれより小さい数値に置き換えることはできないことを示しています (誤差の境界を小さくしない限り)。

等比級数を考える

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k},}$

これは（標準的な意味で）| z | < 1に対して1/(1 −  z )に収束する。ボレル変換は

${\displaystyle {\mathcal {B}}A(tz)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}t^{k}= e^{zt},}$

そこからボレル和が得られる。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}}$

これはRe( z )<1のより広い領域で収束し、元の級数の 解析的接続を与える。

代わりに弱いボレル変換を考えると、部分和はA _N ( z ) = (1 − z ^{N +1} )/(1 −  z )で与えられ、したがって弱いボレル和は

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}{\big (}e^{t}-ze^{tz}{\big )}={\frac {1}{1-z}},}$

ここでも、収束はRe( z )<1である。あるいは、同値定理の第2部を援用することで、Re( z )<1の場合、

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0.}$

シリーズを検討してください

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }k!(-1)^{k}\cdot z^{k},}$

すると、A ( z ) は任意の非ゼロz  ∈  Cに対して収束しない。ボレル変換は

${\displaystyle {\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }\left(-t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}}$

| t | < 1の場合、これはすべてのt  ≥ 0に解析的に続く。したがって、ボレル和は  

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{1/z}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)}$

（ここでΓは不完全ガンマ関数です）。

この積分はすべてのz  ≥ 0に対して収束するため、元の発散級数はすべてのそのようなzに対してボレル和可能です。この関数は、元の発散級数によって与えられるzが 0 に近づくにつれて漸近展開を持ちます。これは、ボレル和が発散漸近展開を「正しく」和することがあるという事実の典型的な例です。  

繰り返しますが、

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1+zt}}=0,}$

すべてのzに対して、同値定理により、弱ボレル和は同じ収束領域、z  ≥ 0 を持つことが保証されます。

次の例は、（Hardy 1992, 8.5）に示されている例を拡張したものである。

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {(-1)^{\ell }(2\ell +2)^{k}}{(2\ell +1)!}}\right)z^{k}.}$

合計の順序を変えた後、ボレル変換は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2\ell +2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=\sum _{\ell =0}^{\infty }e^{(2\ell +2)t}{\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sum _{\ell =0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2\ell +1}{\frac {(-1)^{\ell }}{(2\ell +1)!}}\\&=e^{t}\sin(e^{t}).\end{aligned}}}$

z  = 2のときのボレル和は次のように表される。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})\,dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})\,du={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}-S(1)<\infty ,}$

ここで、S ( x )はフレネル積分です。弦に沿った収束定理により、ボレル積分はz≤2のすべてで収束します（ 積分はz  >2では発散します）。

弱ボレル和については、

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin(e^{zt})=0}$

はz  < 1の場合にのみ成立し、したがって弱ボレル和はこのより小さな領域で収束します。

形式級数A ( z ) がz ₀  ∈  Cでボレル和可能である場合、 z ₀と原点を結ぶ弦O z ₀上のすべての点でもボレル和可能である。さらに、半径O z ₀の円板全体にわたって解析的な関数a ( z )が存在し、

${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}}),}$

すべてのz  = θ z ₀、θ ∈ [0,1]に対して。

すぐにわかるのは、ボレル和の収束領域がCの星型領域であるということです。ボレル和の収束領域については、それが星型領域であること、つまりボレル多角形と呼ばれ、級数A ( z )の特異点によって決定されること以上のことが言えます。

A ( z ) が厳密に正の収束半径を持ち、原点を含む非自明な領域で解析的であると仮定し、 S _{A を}Aの特異点の集合とします。これは、P  ∈  S _Aであるためには、A が0 からPまで開弦に沿って解析的に延長できるが、P自体には延長できないという条件に限ります。P  ∈  S _Aの場合、L _{P を}P を通り、弦OPに垂直な直線とします。集合を定義します。

${\displaystyle \Pi _{P}=\{z\in \mathbb {C} \,\colon \,Oz\cap L_{P}=\varnothing \},}$

原点からL _Pの同じ側にある点の集合。A のボレル多角形は集合である 。

${\displaystyle \Pi _{A}=\operatorname {cl} \left(\bigcap _{P\in S_{A}}\Pi _{P}\right).}$

Borel と Phragmén は別の定義を使用しました (Sansone & Gerretsen 1960, 8.3)。がAの解析的拡大が存在する最大の星間領域を表すとすると、 は、すべての場合において直径OPの円の内部が に含まれるようなの最大の部分集合です。 この集合を多角形と呼ぶのは、集合が多角形である必要はまったくないため、多少の誤りがあります。ただし、A ( z )に有限個の特異点しかない場合、 は実際に多角形になります。 ${\displaystyle S\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle \Pi _{A}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P\in \Pi _{A}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Pi _{A}}$${\displaystyle \Pi _{A}}$

ボレルとフラグメンによる次の定理は、ボレル和の収束基準を提供します。

定理（Hardy 1992、8.8）。

級数A ( z )は( B )すべてにおいて加算可能であり、( B )すべてにおいて発散します。${\displaystyle z\in \operatorname {int} (\Pi _{A})}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Pi _{A}}$

( B ) の加算可能性は点の性質に依存すること に注意する。${\displaystyle z\in \partial \Pi _{A}}$

ω _i  ∈  Cを1のm乗根、i  = 1, ...,  mとし、

${\displaystyle {\begin{aligned}A(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }(\omega _{1}^{k}+\cdots +\omega _{m}^{k})z^{k}\\&=\sum _{i=1}^{m}{\frac {1}{1-\omega _{i}z}},\end{aligned}}}$

これはB (0,1) ⊂  Cに収束します。 C上の関数として見ると、A ( z )はS _A  = { ω _i  :  i  = 1, ...,  m }で特異点を持ち、その結果、ボレル多角形は原点を中心とする正m角形で与えられ、 1 ∈  C は辺の中点となります。 ${\displaystyle \Pi _{A}}$

フォーマルシリーズ

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{2^{k}},}$

はすべてについて収束します(たとえば、等比級数との比較テストによって)。しかし、 A は、あるnに対してz ^{2 n}  = 1となるような任意の点z  ∈  Cについては収束しないことが示されています^{[2] 。そのような}zの集合は単位円内に稠密であるため、 B (0,1)の外側にAを解析的に拡張することはできません。したがって、 A を解析的に拡張できる最大のスタードメインはS  =  B (0,1)であり、そこから (2 番目の定義を介して) が得られます。特に、ボレル多角形は多角形ではないことがわかります。 ${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle \Pi _{A}=B(0,1)}$

タウバー定理は、ある和法の収束が別の和法の収束を意味する条件を規定する。ボレル和法の主タウバー定理^[1]は、弱ボレル法が級数の収束を意味する条件を規定する。

定理（Hardy 1992, 9.13）。Aがz ₀  ∈  Cで（wB）加算可能である場合、、および${\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})\,({\boldsymbol {wB}})}$

${\displaystyle a_{k}z_{0}^{k}=O(k^{-1/2}),\qquad \forall k\geq 0,}$

すると、この級数はすべての| z | < | z ₀ |に対して収束します。${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z_{0}^{k}=a(z_{0})}$

ボレル和は量子場理論における摂動展開に応用されています。特に 2 次元ユークリッド場理論では、シュウィンガー関数はボレル和を使用して摂動級数から復元できることがよくあります (Glimm & Jaffe 1987、p. 461)。ボレル変換の特異点のいくつかは量子場理論におけるインスタントンとリノーマロンに関連しています(Weinberg 2005、20.7)。

ボレル和を求めるには、係数が急激に増加しないことが必要です。より正確には、a _{n は}、あるCに対してn ! C ^{n +1}で制限される必要があります。ボレル和のバリエーションとして、ある正の整数kに対して階乗n !を( kn )!に置き換えるものがあります。これにより、あるCに対してa _nが( kn )! C ^{n +1} で制限される級数の合計が可能になります。この一般化は、ミッタク・レフラー和によって与えられます。

最も一般的なケースでは、ボレル和はナクビン再和によって一般化され、これは境界関数が指数型ではなく、ある一般的な型（psi型）である場合に使用できます。

• アーベル和
• アーベルの定理
• アベル・プラナの公式
• オイラー和
• チェザロ総括
• ランバート和
• ラプラス変換
• ナフビンの再要約
• アーベル定理とタウバー定理
• ファン・ワインガルデン変換

• ボレル、E. (1899)、「Mémoire sur les divergentes」、Ann。科学。 ec.標準。素晴らしい。、シリーズ 3、16 : 9–131、土井: 10.24033/asens.463
• グリム、ジェームズ; ジャッフェ、アーサー (1987)、量子物理学(第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-1-4612-4728-9、ISBN 978-0-387-96476-8、MR  0887102
• ハーディ、ゴッドフリー・ハロルド（1992）[1949]、ダイバージェントシリーズ、ニューヨーク：チェルシー、ISBN 978-0-8218-2649-2、MR  0030620
• リード、マイケル、サイモン、バリー（1978）、現代数理物理学の方法。IV.演算子の分析、ニューヨーク：アカデミックプレス[ハーコートブレイスジョバノビッチ出版社]、ISBN 978-0-12-585004-9、MR  0493421
• サンソーネ、ジョヴァンニ、ゲレッセン、ヨハン (1960)、「複素変数関数の理論に関する講義。I. 正則関数」、P. ノードホフ、フローニンゲン、MR  0113988
• ウェインバーグ、スティーブン（2005）、場の量子論、第2巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-55002-4、MR  2148467
• ザカロフ、AA (2001) [1994]、「ボレル和法」、数学百科事典、EMS プレス