シリーズ展開

テイラー級数は、関数の一点における導関数に基づくべき級数です。 ^{[ 3 ]}より具体的には、関数が${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ある点の周りで無限回微分可能である${\displaystyle x_{0}}$すると、この点の周りのfのテイラー級数は次のように与えられる。

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

条約の下で${\displaystyle 0^{0}:=1}$^{[ 3 ] [ 4 ]}関数fのマクローリン級数は、そのテイラー級数の特殊な場合である。${\displaystyle x_{0}=0}$[ ^{5 ] [ 4 ]​}

ローラン級数はテイラー級数の一般化であり、負の指数を持つ項を許容します。その形式は次のようになります。${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}(za)^{k}}$そして環状領域に収束する。^{[ 6 ]} 特に、ローラン級数は、特異点を中心とする環状領域上での級数展開を考慮することで、特異点近傍での複素関数の挙動を調べるために使用できる。

一般ディリクレ級数は次の形式の級数である。${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}.}$この重要な特殊ケースの一つは、通常のディリクレ級数である。${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$^{[ 7 ]}数論で使用される。

フーリエ級数は、周期関数を多数の正弦関数と余弦関数の和として展開したものです。^{[ 8 ]}より具体的には、関数のフーリエ級数は${\displaystyle f(x)}$期間${\displaystyle 2L}$式で与えられる$${\displaystyle a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\right]}$$ここで係数は式^{[ 8 ] [ 9 ]で与えられる。}$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx,\\[5pt]b_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)dx.\end{aligned}}}$$

• 音響学においては、例えば、基本音と倍音を合わせたものがフーリエ級数の一例となる。

• ニュートン級数

• ルジャンドル多項式：物理学において、任意の電場を双極子場、四重極場、八重極場などの重ね合わせとして記述するために使用される。

• ゼルニケ多項式：光学分野で光学系の収差を計算するために用いられる。この級数の各項は、特定の種類の収差を表す。

• スターリングシリーズ$${\displaystyle \operatorname {Ln} \Gamma (z)\sim \left(z-{\tfrac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi )+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)z^{2k-1}}}}$$これは対数ガンマ関数の近似である。^{[ 10 ]}