一般化されたディリクレ級数

数学解析の分野では、一般ディリクレ級数とは、次の形式をとる無限級数である。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},}$

どこ${\displaystyle a_{n}}$、${\displaystyle s}$は複素数であり、${\displaystyle \{\lambda _{n}\}}$は、無限大に収束する非負の実数の単調増加数列である。

簡単な観察から、「通常の」ディリクレ級数は

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

置換によって得られる${\displaystyle \lambda _{n}=\ln n}$パワーシリーズ

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(e^{-s})^{n},}$

得られるのは${\displaystyle \lambda _{n}=n}$。

ディリクレ級数が収束する場合${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i}$すると、その領域で一様に収束する。

${\displaystyle |\arg(s-s_{0})|\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},}$

任意の​${\displaystyle s=\sigma +ti}$どこ$\displaystyle \sigma >\sigma _{0}}$。

ディリクレ級数の収束については、3つの可能性が考えられます。すなわち、すべてのsの値に対して収束する場合、どのsの値に対しても収束しない場合、または一部のsの値に対して収束する場合です。後者の場合、$\displaystyle \sigma _{c}}$級数が収束する条件を満たす$\displaystyle \sigma >\sigma _{c}}$そして、​$\displaystyle \sigma <\sigma _{c}}$慣例として、$\displaystyle \sigma _{c}=\infty }$級数がどこにも収束せず、${\displaystyle \sigma _{c}=-\infty }$複素平面上のあらゆる場所で級数が収束する場合。

ディリクレ級数の収束点の横座標は次のように定義できます。$\displaystyle \sigma _{c}}$上記。別の同等の定義は

${\displaystyle \sigma _{c}=\inf \left\{\sigma \in \mathbb {R}$ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}{\text{は、\operatorname {Re} (s)>\sigma \right\}となるすべてのsに対して収束する。}

ライン$\displaystyle \sigma =\sigma _{c}}$収束線と呼ばれる。収束半平面は次のように定義される。

${\displaystyle \mathbb {C} _{\sigma _{c}}=\{s\in \mathbb {C}$ :\operatorname {Re} (s)>\sigma _{c}\}.}

ディリクレ級数の収束の横座標、収束線、収束半平面は、べき級数の収束の半径、境界、収束円盤に類似している。

収束線上では、べき級数の場合と同様に、収束の問題は未解決のままです。しかし、ディリクレ級数が同一の垂直線上の異なる点で収束と発散を繰り返す場合、その垂直線は収束線でなければなりません。その証明は収束の横座標の定義に暗黙のうちに含まれています。例としては、次の級数があります。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}e^{-ns},}$

これは、${\displaystyle s=-\pi i}$（交代調和級数）で発散する${\displaystyle s=0}$（調和級数）。したがって、${\displaystyle \sigma =0}$収束線である。

ディリクレ級数が収束しないと仮定します${\displaystyle s=0}$そうなると、${\displaystyle \sigma _{c}\geq 0}$そして$\displaystyle \sum a_{n}}$発散する。一方、ディリクレ級数が収束する場合${\displaystyle s=0}$、 それから$\displaystyle \sigma _{c}\leq 0$そして$\displaystyle \sum a_{n}}$収束する。したがって、計算するための式は 2 つある。$\displaystyle \sigma _{c}}$収束に応じて$\displaystyle \sum a_{n}}$これは様々な収束判定法によって決定できる。これらの公式は、冪級数の収束半径に関するコーシー・アダマールの定理に類似している。

もし$\displaystyle \sum a_{k}}$発散する、つまり${\displaystyle \sigma _{c}\geq 0}$、 それから$\displaystyle \sigma _{c}}$は

${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|}{\lambda _{n}}}.}$

もし$\displaystyle \sum a_{k}}$収束する、すなわち$\displaystyle \sigma _{c}\leq 0$、 それから$\displaystyle \sigma _{c}}$は

${\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots |}{\lambda _{n}}}.}$

ディリクレ級数は、次の条件を満たす場合に絶対収束する。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}e^{-\lambda _{n}s}|,}$

は収束する。通常、絶対収束するディリクレ級数は収束するが、その逆は必ずしも真ではない。

ディリクレ級数が絶対収束する場合$s0$すると、すべてのsに対して絶対収束する。${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\operatorname {Re} (s_{0})}$ディリクレ級数は、すべての s に対して、またはsのいくつかの値に対して絶対収束する可能性があります。後者の場合、$\displaystyle \sigma _{a}}$級数が絶対収束するように$\displaystyle \sigma >\sigma _{a}}$そして、絶対収束しない。$\displaystyle \sigma <\sigma _{a}}$。

絶対収束の横座標は次のように定義できます。$\displaystyle \sigma _{a}}$上記のように、または同等に

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{a}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R}$ :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{は}}\\&{\text{すべての}}s{\text{に対して}}\operatorname {Re} (s)>\sigma {\Big \}}で絶対収束する。\end{aligned}}}

絶対収束の直線と半平面も同様に定義できます。また、計算するための2つの公式があります。$\displaystyle \sigma _{a}}$。

もし${\displaystyle \sum |a_{k}|}$発散する場合、$\displaystyle \sigma _{a}}$は

${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|)}{\lambda _{n}}}.}$

もし${\displaystyle \sum |a_{k}|}$収束すると、$\displaystyle \sigma _{a}}$は

${\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots )}{\lambda _{n}}}.}$

一般に、収束の横座標は絶対収束の横座標と一致しません。したがって、収束線と絶対収束線の間に、ディリクレ級数が条件収束する領域が存在する可能性があります。この領域の幅は次のように与えられます。

${\displaystyle 0\leq \sigma _{a}-\sigma _{c}\leq L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}.}$

L = 0の場合、

${\displaystyle \sigma _{c}=\sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}|}{\lambda _{n}}}.}$

これまで提示されたすべての公式は、代入することで「通常の」ディリクレ級数にも依然として有効です。${\displaystyle \lambda _{n}=\log n}$。

ディリクレ級数の収束の横座標は他にも考えることができます。有界収束の横座標$\displaystyle \sigma _{b}}$は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{b}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R}$ :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ は半平面で有界である }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}},\end{aligned}}}

一様収束の横軸は${\displaystyle \sigma _{u}}$は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{u}=\inf {\Big \{}\sigma \in \mathbb {R}$ :\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}&{\text{ は半平面で一様に収束する }}\operatorname {Re} (s)\geq \sigma {\Big \}}.\end{aligned}}}

これらの横座標は収束の横座標に関連しています${\displaystyle \sigma _{c}}$そして絶対収束${\displaystyle \sigma _{a}}$公式によって

${\displaystyle \sigma _{c}\leq \sigma _{b}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}}$、

そしてボーアの注目すべき定理は、任意の通常のディリクレ級数に対して、${\displaystyle \lambda _{n}=\ln(n)}$（すなわち、次の形式のディリクレ級数）${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$)${\displaystyle \sigma _{u}=\sigma _{b}}$そして${\displaystyle \sigma _{a}\leq \sigma _{u}+1/2;}$^{[ 1 ]}ボーネンブルストとヒルはその後、すべての数に対して${\displaystyle d\in [0,0.5]}$ディリクレ級数がある${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$そのために${\displaystyle \sigma _{a}-\sigma _{u}=d.}$^{[ 2 ]}

一様収束の横座標の公式${\displaystyle \sigma _{u}}$一般ディリクレ級数の場合${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}}$ は次のように与えられます。${\displaystyle N\geq 1}$、 させて${\displaystyle U_{N}=\sup _{t\in \mathbb {R} }\{|\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{it\lambda _{n}}|\}}$、 それから${\displaystyle \sigma _{u}=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\log U_{N}}{\lambda _{N}}}.}$^{[ 3 ]}

ディリクレ級数で表される関数

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},}$

収束半平面上で解析的である。さらに、${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$

${\displaystyle f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\lambda _{n}^{k}e^{-\lambda _{n}s}.}$

ディリクレ級数は、多変数の場合にさらに一般化することができ、${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {R} ^{k}}$、k = 2、3、4、...、または複素変数の場合${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {C} ^{m}}$、m = 1、2、3、...

• G.H.ハーディ、M.リース著『ディリクレ級数の一般理論』ケンブリッジ大学出版局、初版、1915年。
• E.C. ティッチマーシュ著、『関数論』、オックスフォード大学出版局、第2版、1939年。
• トム・アポストル著、『数論におけるモジュラー関数とディリクレ級数』、シュプリンガー社、第2版、1990年。
• A.F. レオンチェフ、『整関数と指数関数の級数』（ロシア語）、ナウカ出版、初版、1982年。
• AI Markushevich、『複素変数関数の理論』（ロシア語からの翻訳）、Chelsea Publishing Company、第2版、1977年。
• J.-P. Serre、『算術入門』、Springer-Verlag、第5版、1973年。
• ジョン・E・マッカーシー、『ディリクレ級数』、2018年。
• H.F. Bohnenblust および Einar Hille、「ディリクレ級数の絶対収束について」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、第 32 巻、第 3 号 (1931 年 7 月)、pp.  600–622。

• 「ディリクレ級数」。PlanetMath 。
• 「ディリクレ級数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]