代数学全般

抽象代数学において、モノイドの全代数は、環の要素の無限和を許容するモノイド環の一般化である。Sが、すべての に対して という性質を持つモノイドであると仮定する。${\displaystyle s\in S}$順序対は有限個しか存在しない${\displaystyle (t,u)\in S\times S}$そのために${\displaystyle tu=s}$R を環とする。このとき、R 上の S の全代数は次の集合である。${\displaystyle R^{S}}$すべての機能${\displaystyle \alpha :S\to R}$加算法則は、（点ごとの）演算によって与えられます。

${\displaystyle (\alpha +\beta )(s)=\alpha (s)+\beta (s)}$

そして、乗法法則は次のようになります。

${\displaystyle (\alpha \cdot \beta )(s)=\sum _{tu=s}\alpha (t)\beta (u).}$

右辺の和は有限のサポートを持つため、Rにおいて適切に定義されます。

これらの操作は${\displaystyle R^{S}}$リングに埋め込まれる。Rは${\displaystyle R^{S}}$定数関数によって与えられ、${\displaystyle R^{S}}$R代数に変換する。

一例として、形式的冪級数の環が挙げられる。ここで、モノイドSは自然数である。このとき、積はコーシー積となる。

• ニコラ・ブルバキ(1989)、代数、スプリンガー: §III.2