発散シリーズ

数学において、発散級数とは収束しない無限級数であり、級数の部分和の無限列に有限の極限がないことを意味する。

級数が収束する場合、級数の個々の項は必ずゼロに近づく。したがって、個々の項がゼロに近づかない級数は発散する。しかし、収束はより強い条件であり、項がゼロに近づく級数はすべて収束するわけではない。反例として調和級数がある。

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.}$

調和級数の発散は中世の数学者ニコル・オレームによって証明されました。

数学の専門分野では、部分和の列が発散する特定の級数に客観的に値を割り当てることで、級数の発散の意味を理解できる。総和法または総和法は、級数の集合から値への部分関数である。例えば、チェザロ総和法はグランディの発散級数に値を割り当てる。

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$

値⁠1/2⁠。チェザロ和は平均化法であり、部分和のシーケンスの算術平均に依存します。他の方法では、関連する級数の解析接続が行われます。物理学では、さまざまな総和方法があります。これらについては、正規化に関する記事で詳しく説明します。

19 世紀以前、発散級数はレオンハルト・オイラーらによって広く使用されていたが、混乱や矛盾した結果につながることが多かった。大きな問題は、発散級数は自然和を持つはずだというオイラーの考えで、発散級数の和が何を意味するのかをまず定義していなかったことである。オーギュスタン＝ルイ・コーシーが最終的に (収束) 級数の和の厳密な定義を与え、その後しばらくの間、発散級数は数学からほとんど排除されていた。発散級数は 1886 年にアンリ・ポアンカレの漸近級数に関する研究で再び登場した。1890 年、エルネスト・チェザロは、一部の発散級数の和の厳密な定義を与えることができることに気づき、チェザロ和を定義した。 (これはチェザロ和の最初の使用ではなく、フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスが1880 年に暗黙的に使用していました。チェザロの重要な貢献は、この方法の発見ではなく、発散級数の和を明示的に定義する必要があるというアイデアでした。) チェザロの論文の後の数年間で、他の数人の数学者が発散級数の和の他の定義を与えましたが、これらは常に互換性があるわけではありません。異なる定義は同じ発散級数の和に対して異なる答えを与える可能性があります。そのため、発散級数の和について話すときは、どの和法を使用しているかを指定する必要があります。

• 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}{\frac {1}{2}}}$
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}{\frac {1}{4}}}$
• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}\!\!\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\approx 0.596\,347\ldots }$
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}{\frac {1}{3}}}$
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}-1}$
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}-{\frac {1}{2}}}$
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯${\displaystyle {\text{“ = ” }}-{\frac {1}{12}}}$

総和可能性法M は、すべての収束する級数に対する実際の極限と一致する場合、正則である。このような結果は、原型的なアーベルの定理に由来する、 Mに対するアーベル定理と呼ばれる。より微妙なのは、アルフレッド・タウバーによって証明された原型に由来する、タウバー定理と呼ばれる部分的な逆の結果である。ここで、部分的な逆とは、 M が級数Σを合計し、何らかの副次条件が成り立つ場合、Σ はそもそも収束していたことを意味する。副次条件がなければ、このような結果は、 M が収束する級数のみを合計したことを意味する（発散する級数の総和法としては役に立たない）。

収束級数の和を与える関数は線形であり、ハーン・バナッハの定理から、有界な部分和を持つ任意の級数を合計する和法に拡張できることが分かります。これはバナッハ極限と呼ばれます。この事実は実際にはあまり役に立ちません。なぜなら、このような拡張は互いに矛盾することが多く、また、このような演算子が存在することを証明するには選択公理やゾルンの補題などの同等のものを呼び出す必要があるからです。したがって、これらは非構成的です。

発散級数の主題は、数学的解析の領域として、主にアーベル和、チェザロ和、ボレル和などの明示的かつ自然な手法とそれらの関係に関係しています。ウィーナーのタウバー定理の出現は、この主題に画期的な変化をもたらし、フーリエ解析におけるバナッハ代数法との予期せぬつながりをもたらしました。

発散級数の和は、数値的手法としての外挿法や数列変換にも関連しています。このような手法の例としては、パデ近似、レビン型数列変換、量子力学における大次摂動論の再正規化手法に関連する順序依存マッピングなどがあります。

総和法は通常、級数の部分和のシーケンスに集中します。このシーケンスは収束しませんが、シーケンスの最初の項の数をどんどん増やして平均を取ると、平均が収束することがよくあり、この平均を極限の代わりに使用して級数の合計を評価できます。総和法は、値に対する部分和のシーケンスのセットからの関数として考えることができます。Aがシーケンスのセットに値を割り当てる任意の総和法である場合、これを、対応する級数に同じ値を割り当てる級数総和法 A ^Σに機械的に変換できます。これらの方法がそれぞれ極限と合計に対応する値に到達するには、特定の特性を備えていることが望ましい場合があります。

• 正則性。加算法は、数列s がxに収束するときに必ずA ( s ) = x が成り立つ場合、正則である。同様に、対応する級数加算法はA ^Σ ( a ) = x を評価する。
• 線型性。Aが線型であるとは、それが定義されている数列上の線型関数である場合、つまり、数列r、s、および実数または複素数スカラーk に対して、 A ( k r + s ) = k A ( r ) + A ( s )である場合です。数列aの項a _{n +1} = s _{n +1} − s _nは数列s上の線型関数であり、その逆も同様であるため、これはA ^{Σ が}数列の項上の線型関数であることと同等です。
• 安定性（翻訳性とも呼ばれる）。s がs ₀から始まる数列で、s ′ が最初の値を省略して残りの値から減算することによって得られる数列である場合、つまりs ′ _n = s _{n +1} − s ₀である場合、A ( s ) が定義されている場合のみ、 A ( s ′) が定義され、A ( s ) = s ₀ + A ( s ′) です。同様に、すべてのnに対してa ′ _n = a _{n +1 で}ある場合は常に、A ^Σ ( a ) = a ₀ + A ^Σ ( a ′) です。^{[1] [2]これを別の方法で述べると、}シフト規則はこの方法で合計できる数列に対して有効でなければならないということです。

3番目の条件はそれほど重要ではなく、ボレル和などのいくつかの重要な方法ではそれが満たされていない。^[3]

最後の条件に対して、より弱い代替条件を与えることもできます。

• 有限の再インデックス可能性。aとa ′ が 2 つの級数であり、すべてのiに対してa _i = a ′ _{f ( i )}となるような一対一の関係 が存在し、すべてのi  >  Nに対してa _i = a ′ _iとなるような級数が存在する場合、A ^Σ ( a ) = A ^Σ ( a ′ ) です。 (言い換えると、a ′ はaと同じ級数であり、有限個の項のみが再インデックスされます。) これは安定性よりも弱い条件です。安定性を示すすべての加算法は有限の再インデックス可能性も示しますが、その逆は当てはまりません。)${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

2 つの異なる合計方法AとB が共有する望ましい特性は一貫性です。つまり、両方が値を割り当てるすべてのシーケンスsに対して、 A ( s ) = B ( s )である場合、 AとB は一貫しています。 (この言語を使用すると、合計方法Aは、標準の合計Σと一貫している場合にのみ正則です。) 2 つの方法に一貫性があり、一方が他方よりも多くのシリーズを合計する場合、より多くのシリーズを合計する方が強力です。

正規でも線形でもない強力な数値加算法が存在します。たとえば、レビン型シーケンス変換やパデ近似などの非線形シーケンス変換や、再正規化技術に基づく摂動級数の順序依存マッピングなどです。

正則性、線形性、安定性を公理としてとらえると、基本的な代数操作によって多くの発散級数を合計することが可能です。これは、多くの異なる合計方法が特定の級数に対して同じ答えを与える理由を部分的に説明しています。

例えば、r ≠ 1のときは、等比級数

${\displaystyle {\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\text{ (安定性) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\text{ (直線性) }}\\&=c+r\,G(r,c),&&{\text{ したがって }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}},{\text{ ただし無限大でない限り}}&&\\\end{aligned}}}$

収束に関係なく評価できます。より厳密に言えば、これらの特性を持ち、等比級数に有限値を割り当てる任意の加算法は、この値を割り当てる必要があります。ただし、rが 1 より大きい実数の場合、部分和は無制限に増加し、平均化法は無限大の制限を割り当てます。

級数に対する 2 つの古典的な加算法、つまり通常の収束と絶対収束は、和を特定の部分和の極限として定義します。これらは完全性のためだけに含まれています。厳密に言えば、これらの方法が機能しない場合にのみ級数が発散するため、これらは発散級数に対する真の加算法ではありません。発散級数に対するほとんどの加算法は、これらの方法をより大きなクラスのシーケンスに拡張しますが、すべてではありません。

絶対収束は、数列（または集合）の合計が、存在する場合、すべての部分和a _{k 1} + ... + a _{k n}のネットの極限であると定義します。これは数列の要素の順序に依存せず、古典的な定理によれば、数列が絶対収束するのは、絶対値の数列が標準的な意味で収束する場合のみです。

コーシーの古典的な数列の和a ₀ + a ₁ + ...の定義では、和は部分和の列a ₀ + ... + a _nの極限であると定義されます。これは、列の収束のデフォルトの定義です。

p _{n は}p ₀から始まる正の項の列であるとする。また、

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.}$

ここで、 pを使ってシーケンスsを変換し、重み付き平均を与えると、

${\displaystyle t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}}$

n が無限大に近づくにつれてt _nの極限は、 Nørlund平均N _p ( s )と呼ばれる平均になります。

Nørlund 平均は規則的、線形、かつ安定しています。さらに、任意の 2 つの Nørlund 平均は一貫しています。

ノルルンド平均の中で最も重要なのはチェザロ和である。ここで、p ^{k を}次のように 定義すると、

${\displaystyle p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}}$

チェザロ和C _{k は}C _k ( s ) = N _{( p ^k )} ( s )で定義されます。チェザロ和はk ≥ 0の場合のノルンド平均であり、したがって正則、線形、安定、および一貫性があります。C 0_は通常の和であり、C _{1 は通常の}チェザロ和です。チェザロ和は、 h > kの場合、C _hはC _kよりも強いという特性があります。

λ = { λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ ,... } が無限大に向かう厳密に増加する数列であり、λ ₀ ≥ 0であると仮定する。

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}x}}$

はすべての実数x  > 0に対して収束する。するとアーベル平均 Aλ_は次のように定義される。

${\displaystyle A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).}$

より一般的には、 fの級数が大きなxに対してのみ収束するが、すべての正の実数xに対して解析的に継続できる場合、上記の極限によって発散級数の和を定義することができます。

このタイプの級数は一般化ディリクレ級数として知られており、物理学への応用では、これは熱核正規化法として知られています。

アーベル平均は規則的で線形ですが、安定しておらず、λの異なる選択間で常に一貫しているわけではありません。ただし、いくつかの特殊なケースでは非常に重要な合計方法が存在します。

λ _n = nの場合には、アーベル和法が得られる。ここで

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z ^{n},}$

ここで、z  = exp(− x )である。すると、xが正の実数を通して0に近づくときのf ( x )の極限は、 zが正の実数を通して下から1に近づくときのf ( z )の冪級数の極限となり、アーベル和A ( s )は次のように定義される。

${\displaystyle A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

アーベル和は、チェザロ和と矛盾せず、チェザロ和よりも強力であるという点で興味深いものです。チェザロ和が定義されている場合は、常にA ( s ) = C _k ( s )となります。したがって、アーベル和は正則、線形、安定であり、チェザロ和と矛盾しません。

λ _n = n log( n )ならば、（1から数えて）

${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .}$

すると、L ( s )、リンデレーフ和^[4]は、 xが正のゼロに近づくときのf ( x )の極限になります。リンデレーフ和は、ミッタク・レフラースターのべき級数の合計など、他の用途の中でも特にべき級数に適用すると強力な方法です。

g ( z ) がゼロの周りのディスク上で解析的であり、したがって正の収束半径を持つマクローリン級数 G ( z ) を持つ場合、ミッタク・レフラー星ではL ( G ( z )) = g ( z )です。さらに、 g ( z )への収束は星のコンパクトな部分集合上で一様です。

いくつかの合計法では、関数の 解析接続の値を取得します。

Σ a _n x ^{n が}小さな複素数xに対して収束し、 x  = 0 から点x = 1 まで何らかの経路に沿って解析的に接続できる場合 、その級数の和はx  = 1 における値として定義できます。この値は経路の選択によって異なる場合があります。解析接続を使用した発散級数の異なる和の最初の例の 1 つは、Callet ^[5]によって示されました。Callet は、次の ことを観察しました。 ${\displaystyle 1\leq m<n}$

${\displaystyle {\frac {1-x^{m}}{1-x^{n}}}={\frac {1+x+\dots +x^{m-1}}{1+x+\dots x^{n-1}}}=1-x^{m}+x^{n}-x^{n+m}+x^{2n}-\dots }$

で評価すると、 ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle 1-1+1-1+\dots ={\frac {m}{n}}.}$

しかし、このシリーズのギャップは重要です。例えば、私たちは実際に ${\displaystyle m=1,n=3}$

${\displaystyle 1-1+0+1-1+0+1-1+\dots ={\frac {1}{3}}}$したがって、異なる合計は の異なる配置に対応します。 ${\displaystyle 0}$

解析接続のもう一つの例は、 -関数とポッホハマーの記号 の積の和である発散交代級数 である。-関数の複製公式を使用すると、これは一般化された超幾何級数に簡約される。${\displaystyle \sum _{k\geq 0}(-1)^{k+1}{\frac {1}{2k-1}}{\binom {2k}{k}}=1+2-2+4-10+28-84+264-858+2860-9724+\cdots }$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$ ${\displaystyle \ldots =\sum _{k\geq 0}(-4)^{k}{\frac {(-1/2)_{k}}{k!}}={}_{1}F_{0}(-1/2;;-4)={\sqrt {5}}.}$

オイラー和は本質的に解析接続の明示的な形式です。べき級数が小さな複素数zに対して収束し、直径が⁠の開円板に解析接続できる場合、−1/q  + 1⁠ が1 に近づき、1 で連続である場合、qにおけるその値は、級数 Σ a _nのオイラー和または (E, q ) と呼ばれます。オイラーは、解析接続が一般に定義される前にこれを使用し、解析接続の冪級数の明示的な公式を与えました。

オイラー和の演算は複数回繰り返すことができ、これは本質的には、点 z  = 1 への冪級数の解析接続をとることと同等です。

この方法は、級数の和をディリクレ級数の解析接続の値として定義する。

${\displaystyle f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots }$

s = 0で 、これが存在し、一意である場合。この方法はゼータ関数の正規化と混同されることがあります。

s = 0 が孤立した特異点である場合 、その和はローラン級数展開の定数項によって定義されます。

シリーズ

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots }$

( a _nが正の値の場合) が大きな実数sに対して収束し、実数線に沿ってs = −1 まで解析的に継続できる場合、 s  = −1 での値は、級数a ₁  +  a _{2 + ... の}ゼータ正規化和と呼ばれます 。ゼータ関数の正規化は非線形です。応用において、数a _{i は}、コンパクトなレゾルベントを持つ自己随伴演算子Aの固有値である場合があり、その場合f ( s ) はA ^{− s}のトレースになります。たとえば、A が固有値 1、2、3、... を持つ場合、 f ( s ) はリーマンゼータ関数ζ ( s )であり、 s = −1での値 は − ⁠1/12⁠ 、発散級数1 + 2 + 3 + 4 + ...に値を割り当てます。sの他の値も、発散和ζ (0) = 1 + 1 + 1 + ... = − ⁠の値を割り当てるために使用できます。1/2⁠、 ξ (−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0、および一般に

${\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\,,}$

ここでBk_はベルヌーイ数である。^[6]

J ( x ) = Σ p _n x ⁿが積分関数である場合、級数a _{0 + ... の}J和は 次のように定義されます。

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty}{\frac {\sum _{n}p_{n}(a_{0}+\cdots +a_{n})x^{n}}{\sum _{n}p_{n}x^{n}}},}$

この制限が存在する場合。

この方法にはバリエーションがあり、 Jの級数は有限の収束半径rを持ち、x  =  rで発散します。この場合、 x が無限大ではなく rに向かう極限をとることを除いて、上記と同様に合計を定義します。

J ( x ) =  e ^xの特別なケースでは、ボレル和の 1 つの (弱い) 形式が得られます。

ヴァリロンの方法は、ボレル和をより一般的な積分関数Jに一般化したものである。ヴァリロンは、特定の条件下では、級数の和を次のように定義することと同等であることを示した。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {\frac {H(n)}{2\pi }}}\sum _{h\in Z}e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}H(n)}(a_{0}+\cdots +a_{h})}$

ここでHはGの2次導関数であり、c ( n ) =  e ^{− G ( n )}_であり、h <0の場合にはa0  + ... +  ah_は0と解釈される  。

dμが実数直線上の測度で あり、すべてのモーメントが

${\displaystyle \mu _{n}=\int x^{n}\,d\mu }$

は有限である。a 0  +  a ₁  + ... が次の数列である _場合、

${\displaystyle a(x)={\frac {a_{0}x^{0}}{\mu _{0}}}+{\frac {a_{1}x^{1}}{\mu _{1}}}+\cdots }$

μの台にあるすべてのxに対して収束する場合、級数の ( dμ ) 和は積分の値として定義されます。

${\displaystyle \int a(x)\,d\mu }$

定義されている場合。(数値μ _{n が}急速に増加すると、測定値μ を一意に決定できなくなります。)

例えば、正のxに対してdμ  =  e ^{− x}  dx 、負のxに対して0のとき、 μ _n  =  n !となり、これはボレル和の一種となり、和の値は次のように表される。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n}}{n!}}\,dt.}$

これを変数αに依存して一般化したものがあり、これは (B′, α ) 和と呼ばれ、級数a ₀  + ... の和は次のように定義されます。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n\alpha }}{\Gamma (n\alpha +1)}}\,dt}$

この積分が存在する場合。さらに一般化すると、積分による和を小さな tからの解析接続で置き換えることができます。

この合計法は、超実数と呼ばれる実数の拡張を使用して機能します。超実数には個別の無限値が含まれるため、これらの数は発散する級数の値を表すために使用できます。重要な方法は、合計される特定の無限値を指定することです。通常はで、これは無限大の単位として使用されます。BGN 法では、任意の無限大 (通常は で行われます) に合計するのではなく、 というラベルの付いた特定の超実無限値に合計します。したがって、合計は次の形式になります。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \sum _{x=1}^{\omega }f(x)}$

これにより、等差数列などの有限級数の標準的な公式を無限の文脈で使用できるようになります。たとえば、この方法を使用すると、数列の合計は、または最も重要な無限超実数部だけを使用すると となります。^[7]${\displaystyle 1+2+3+\ldots }$${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega }{2}}}$${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}}$

ハーディ（1949年、第11章）。

1812年にハットンは、部分和の列から始めて、列s ₀、  s ₁、...を平均の列に置き換える操作を繰り返し適用することで、発散級数を合計する方法を導入しました 。s0  +  s1_​​/2⁠、⁠s1  +  s2_​​/2⁠、...そして極限を取る。^[8]

級数a _{1 + ...は、次の式が成り立つとき、} s にインガム加算可能と呼ばれる。

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}{x}}\left[{\frac {x}{n}}\right]=s.}$

アルバート・インガムは、 δが任意の正の数であれば、(C,−δ ) (チェザロ)和可能性はインガム和可能性を意味し、インガム和可能性は(C, δ )和可能性を意味することを示した。^[9]

級数a _{1 + ...は}sにLambert和可能であると される。

${\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0^{+}}\sum _{n\geq 1}a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s.}$

ある級数が任意のkに対して(C, k ) (チェーロ)和可能である場合、その級数は同じ値にランベルト和可能であり、またある級数がランベルト和可能である場合、その級数は同じ値にアーベル和可能である。^[9]

級数a _{0 + ...は}s にルロイ和算可能であるとされる^[10]

${\displaystyle \lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}}\sum _{n}{\frac {\Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s.}$

級数a ₀ + ...は、次の式が成り立つとき、s に加算可能なミッタク・レフラー（M）級数と呼ばれる。 ^[10]

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\delta n)}}=s.}$

ラマヌジャン和は、ラマヌジャンが使用した、オイラー・マクローリン和公式に基づく、発散級数に値を割り当てる方法です。級数f (0) + f (1) + ... のラマヌジャン和は、整数におけるfの値だけでなく、非整数点における関数fの値にも依存するため、この記事で言う意味での和法ではありません。

級数a _{1 + ...が}sに(R, k ) (またはリーマン)和可能であるとは次のとき 呼ばれる^[11]

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}\sum _{n}a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{k}=s.}$

級数a ₁  + ...は、R _2がsに加算可能であるとは次の通りである。

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}{\frac {\sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots +a_{n})=s.}$

λ _{n が}実数の増加列を形成し 、

${\displaystyle A_{\lambda }(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}\lambda _{n}<x\leq \lambda _{n+1}}$

すると、級数a ₀ + ...のリース（R, λ , κ）和は 次のように定義される。

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {\kappa }{\omega ^{\kappa }}}\int _{0}^{\omega }A_{\lambda }(x)(\omega -x)^{\kappa -1}\,dx.}$

級数a ₁  + ...はVP（またはヴァレ・プッサン）級数と呼ばれ、sに足し算できる。

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m}a_{k}{\frac {[\Gamma (m+1)]^{2}}{\Gamma (m+1-k)\,\Gamma (m+1+k)}}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[a_{0}+a_{1}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots \right]=s,}$

ここでガンマ関数である。^[11]${\displaystyle \Gamma (x)}$

この級数がゼルドビッチ和集合となるのは、

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\sum _{n}c_{n}e^{-\alpha n^{2}}=s.}$

• シルバーマン・テプリッツ定理

• Arteca, GA; Fernández, FM; Castro, EA (1990)、量子力学における大規模摂動理論と総和法、ベルリン: Springer-Verlag。
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