部分和が最終的に消去後の項数で固定された数だけになる級数
数学 において 、 伸縮級数 とは、 一般項 が の形、すなわち 数列 の連続する 2 つの項の差である級数 で ある。結果として、級数の部分和は、 相殺後の の 2 つの項のみで構成される。 [1] [2]
t
n
{\displaystyle t_{n}}
t
n
=
a
n
+
1
−
a
n
{\displaystyle t_{n}=a_{n+1}-a_{n}}
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
各項の一部が次の項の一部と打ち消される打ち消し技法は、 差分法 として知られています。
伸縮級数の和または部分和の公式に関する初期の記述は、エヴァンジェリスタ・トリチェリ の1644年の著作『放物線 次元について』 に見られる 。 [3]
意味 伸縮する累乗の級数。和の 記号 ,において 、添え字 n は 1 から m までであることに注意してください。nと mは、どちらも 自然数 であるという事実以外には 関係がありません 。
∑
{\textstyle \sum }
伸縮 和は 、連続する項のペアが部分的に互いに打ち消し合い、最初の項と最後の項の一部だけが残る有限和です。 [1] [4] を 数列の要素とします。このとき、
が 極限 に収束する
場合 、伸縮 級数は 次のように表されます。
a
n
{\displaystyle a_{n}}
∑
n
=
1
N
(
a
n
−
a
n
−
1
)
=
a
N
−
a
0
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}.}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
L
{\displaystyle L}
∑
n
=
1
∞
(
a
n
−
a
n
−
1
)
=
L
−
a
0
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=L-a_{0}.}
あらゆる級数はそれ自身の部分和の伸縮級数である。 [5]
例 整数Aの2乗は最初のA個の奇数の合計であるという性質を用いると、次の式が成り立つ。 [6]
A
2
=
∑
i
=
1
A
2
i
−
1
{\displaystyle A^{2}=\sum _{i=1}^{A}2i-1}
そして、伸縮合計を展開すると次のようになります。
∑
i
=
1
a
(
2
i
−
1
)
=
a
2
−
(
a
−
1
)
2
+
(
a
−
1
)
2
−
(
a
−
2
)
2
+
(
a
−
2
)
2
−
.
.
.
+
1
−
1
=
a
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{a}{(2i-1)}=a^{2}-{\cancel {(a-1)^{2}}}+{\cancel {(a-1)^{2}}}-{\cancel {(a-2)^{2}}}+{\cancel {(a-2)^{2}}}-...+{\cancel {1}}-{\cancel {1}}=a^{2}}
たとえば ;
a
=
5
{\displaystyle a=5}
a
2
=
1
+
3
+
5
+
7
+
9
=
25
{\displaystyle a^{2}=1+3+5+7+9=25}
任意の整数Aのn乗の一般式は次のようになります。
A
n
=
∑
X
=
1
A
(
X
n
−
(
X
−
1
)
n
)
{\displaystyle A^{n}=\sum _{X=1}^{A}(X^{n}-(X-1)^{n})}
これは、放物線 (または多項式) は 0 から整数横座標 A までの領域を囲み、積分または有限和で 2 乗できるという、忘れられた数学的事実に亀裂を開きます。i の代わりに X を使用し、直交平面で何を行っているかを表すと、変数の交換を適用して、整数とは異なる値に移動する合計を記述できることがすぐに明らかになります 。 したがって 、微積分への道が開かれます。
x
=
X
/
K
{\displaystyle x=X/K}
S
t
e
p
=
i
n
t
e
g
e
r
{\displaystyle Step=integer}
i
n
d
e
x
{\displaystyle index}
s
c
a
l
e
f
a
c
t
o
r
=
1
/
K
{\displaystyle scalefactor=1/K}
新しいスケーリングルール （同じ物理面積を保持）：整数の合計から有理数の合計へ、そして極限へ
より一般的には、アブストラクトで与えられた合計演算子の新しい定義を思い出して、最初に伸縮合計プロパティを使用して限界まで押し広げ (次にモジュラーのような概念で話します)、合計を改良する方法を示します。これにより、最終的には同じ数値だけでなく、同じ物理的な面積 (平方メートル単位など) を有限の数またはグノモンと呼ばれる長方形で平方し、放物線の 1 次導関数の下の面積を取得し 、次に上限が の場合にのみ当てはまる次の 4 つの恒等式を示します。このプロパティは 、多項式の不変性
と呼ばれます。
Y
=
X
n
{\displaystyle Y=X^{n}}
A
∈
N
+
{\displaystyle A\in \mathbb {N^{+}} }
K
{\displaystyle K}
次のことを覚えておいてください:
A
2
∗
K
2
=
∑
X
=
1
A
⋅
K
(
2
X
−
1
)
{\displaystyle A^{2}*K^{2}=\sum _{X=1}^{A\cdot K}(2X-1)}
より一般的には:
A
n
∗
K
n
=
∑
X
=
1
A
⋅
K
(
X
n
−
(
X
−
1
)
n
)
{\displaystyle A^{n}*K^{n}=\sum _{X=1}^{A\cdot K}(X^{n}-(X-1)^{n})}
合計の既知の分配法則のおかげで、すべての合計に単位因数（この場合は2乗）を掛けても合計の値は変わりません。 合計を次のように分割すると、嬉しい驚きが得られます。
1
=
K
2
K
2
{\displaystyle 1={\frac {K^{2}}{K^{2}}}}
A
2
=
(
∑
X
=
1
A
2
X
−
1
)
K
2
K
2
=
∑
X
=
1
A
∗
K
2
X
−
1
K
2
{\displaystyle A^{2}=\left(\sum _{X=1}^{A}2X-1\right){\frac {K^{2}}{K^{2}}}=\sum _{X=1}^{A*K}{\frac {2X-1}{K^{2}}}}
次に、変数の交換を適用する方法を示します 。
X
=
x
∗
K
{\displaystyle X=x*K}
A
2
=
∑
X
=
1
A
∗
K
2
X
−
1
K
2
=
∑
x
=
1
/
K
A
∗
K
K
2
x
⋅
K
K
2
−
1
K
2
=
∑
x
=
1
/
K
A
(
2
x
K
−
1
K
2
)
{\displaystyle A^{2}=\sum _{X=1}^{A*K}{\frac {2X-1}{K^{2}}}=\sum _{x=1/K}^{\frac {A*{\cancel {K}}}{\cancel {K}}}{\frac {2x\cdot {\cancel {K}}}{K^{\cancel {2}}}}-{\frac {1}{K^{2}}}=\sum _{x=1/K}^{A}\left({\frac {2x}{K}}-{\frac {1}{K^{2}}}\right)}
そして、なぜそれがそのような合計の新しいステップ（またはトーキングスケールのインデックス）の代わりに使用されるのか が今では明らかになっていると思います （後で証明されます）。
X
{\displaystyle X}
i
{\displaystyle i}
上限が満たされる場合のみ (IFF)、 次の 4 重等式を書くことができます。
A
∈
N
+
{\displaystyle A\in \mathbb {N^{+}} }
A
2
=
∑
X
=
1
A
2
X
−
1
=
∑
x
=
1
/
K
A
(
2
x
K
−
1
K
2
)
=
lim
K
→
∞
∑
x
=
1
/
K
A
(
2
x
K
−
1
K
2
)
=
∫
0
A
2
x
d
x
=
A
2
{\displaystyle A^{2}=\sum _{X=1}^{A}2X-1=\sum _{x=1/K}^{A}\left({\frac {2x}{K}}-{\frac {1}{K^{2}}}\right)=\lim _{K\to \infty }\sum _{x=1/K}^{A}\left({\frac {2x}{K}}-{\frac {1}{K^{2}}}\right)=\int _{0}^{A}2xdx=A^{2}}
これは、私が「べき乗項の分配法則」と呼ぶものを示しています。これは、n 乗に対して次のように機能します。
A
n
=
∑
X
=
1
A
M
n
=
∑
x
=
1
/
K
A
M
n
,
K
{\displaystyle A^{n}=\sum _{X=1}^{A}M_{n}=\sum _{x=1/K}^{A}M_{n,K}}
ここで 、すでに提示されており、 次のようになります (証明については参考文献を参照してください)。また、「べき乗の外部因子分配法則」を示します。スケーリング、つまり変数の交換が、合計の項にどのように影響するかを示します (合計の結果は同じであることに注意してください)。
M
n
{\displaystyle M_{n}}
M
n
,
K
{\displaystyle M_{n,K}}
M
n
,
K
=
(
n
1
)
x
n
−
1
K
−
(
n
2
)
x
n
−
2
K
2
+
(
n
3
)
x
n
−
3
K
3
−
.
.
.
+
/
−
1
K
n
{\displaystyle M_{n,K}={n \choose 1}{\frac {x^{n-1}}{K}}-{n \choose 2}{\frac {x^{n-2}}{K^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {x^{n-3}}{K^{3}}}-...+/-{\frac {1}{K^{n}}}}
最初の式は、 タルタリアの三角形（つまり二項式展開）を思い出せば簡単に書けます。 展開の最初の項を消去し、代わりに符号を - から + に変更すると、次のようになります 。
M
n
,
K
{\displaystyle M_{n,K}}
(
X
−
1
)
n
{\displaystyle (X-1)^{n}}
(
X
n
−
(
X
−
1
)
n
)
{\displaystyle (X^{n}-(X-1)^{n})}
M
2
,
K
=
2
x
K
−
1
K
2
{\displaystyle M_{2,K}={\frac {2x}{K}}-{\frac {1}{K^{2}}}}
M
3
,
K
=
3
x
2
K
−
3
x
K
2
+
1
K
3
{\displaystyle M_{3,K}={\frac {3x^{2}}{K}}-{\frac {3x}{K^{2}}}+{\frac {1}{K^{3}}}}
M
4
,
K
=
4
x
3
K
−
6
x
2
K
2
+
4
x
K
3
−
1
K
4
{\displaystyle M_{4,K}={\frac {4x^{3}}{K}}-{\frac {6x^{2}}{K^{2}}}+{\frac {4x}{K^{3}}}-{\frac {1}{K^{4}}}}
M
5
,
K
=
5
x
4
K
−
10
x
3
K
2
−
10
x
2
K
3
+
5
x
K
4
−
1
K
5
{\displaystyle M_{5,K}={\frac {5x^{4}}{K}}-{\frac {10x^{3}}{K^{2}}}-{\frac {10x^{2}}{K^{3}}}+{\frac {5x}{K^{4}}}-{\frac {1}{K^{5}}}}
等...
次に、新しい操作のリストによって、べき乗問題を解決する新しい方法が明らかになり、条件によって、いくつかの等式が可能かどうか、つまり True か False かが決まります (フェルマーの最後の および すべて についてのように )。
n
=
2
{\displaystyle n=2}
n
<
2
{\displaystyle n<2}
A
n
=
∑
X
=
1
A
(
X
n
−
(
X
−
1
)
n
)
=
∑
x
=
1
/
K
A
(
(
n
1
)
x
n
−
1
K
−
(
n
2
)
x
n
−
2
K
2
+
(
n
3
)
x
n
−
3
K
3
−
.
.
.
+
/
−
1
K
n
)
{\displaystyle A^{n}=\sum _{X=1}^{A}(X^{n}-(X-1)^{n})=\sum _{x=1/K}^{A}({n \choose 1}{\frac {x^{n-1}}{K}}-{n \choose 2}{\frac {x^{n-2}}{K^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {x^{n-3}}{K^{3}}}-...+/-{\frac {1}{K^{n}}})}
これにより、多項式の和に関する 2 つの新しい合計特性も示されます (例: この等式に... 数学者は誰も認めたくないようです...)。
A
3
=
∑
1
A
3
X
2
−
3
X
+
1
=
∑
x
=
1
/
K
A
3
x
2
K
−
3
x
K
2
+
1
K
3
=
∑
x
=
A
/
B
B
3
A
x
2
B
−
3
x
A
2
B
2
+
A
3
B
3
{\displaystyle A^{3}=\sum _{1}^{A}3X^{2}-3X+1=\sum _{x=1/K}^{A}{\frac {3x^{2}}{K}}-{\frac {3x}{K^{2}}}+{\frac {1}{K^{3}}}=\sum _{x=A/B}^{B}{\frac {3Ax^{2}}{B}}-{\frac {3xA^{2}}{B^{2}}}+{\frac {A^{3}}{B^{3}}}}
または
A
3
=
∑
x
=
A
/
B
B
3
A
x
2
B
−
3
x
A
2
B
2
+
A
3
B
3
=
∑
X
=
1
B
3
A
B
(
A
B
X
)
2
−
3
A
2
B
2
(
A
B
X
)
+
A
3
B
3
{\displaystyle A^{3}=\sum _{x=A/B}^{B}{\frac {3Ax^{2}}{B}}-{\frac {3xA^{2}}{B^{2}}}+{\frac {A^{3}}{B^{3}}}=\sum _{X=1}^{B}{\frac {3A}{B}}\left({\frac {A}{B}}X\right)^{2}-{\frac {3A^{2}}{B^{2}}}\left({\frac {A}{B}}X\right)+{\frac {A^{3}}{B^{3}}}}
最後のフェルマーの右手に次のように書きます。
C
3
−
B
3
=
∑
x
=
1
/
K
C
−
B
3
(
x
+
B
)
2
K
−
3
(
x
+
B
)
K
2
+
1
K
3
{\displaystyle C^{3}-B^{3}=\sum _{x=1/K}^{C-B}{\frac {3(x+B)^{2}}{K}}-{\frac {3(x+B)}{K^{2}}}+{\frac {1}{K^{3}}}}
=
∑
x
=
C
−
B
A
C
−
B
(
3
(
C
−
B
)
(
x
+
B
)
2
A
−
3
(
C
−
B
)
2
(
x
+
B
)
A
2
+
(
C
−
B
)
3
A
3
)
{\displaystyle =\sum _{x={\frac {C-B}{A}}}^{C-B}\left({\frac {3(C-B)(x+B)^{2}}{A}}-{\frac {3(C-B)^{2}(x+B)}{A^{2}}}+{\frac {(C-B)^{3}}{A^{3}}}\right)}
=
∑
X
=
(
C
−
B
)
A
C
−
B
=
1
(
C
−
B
)
A
C
−
B
=
A
3
(
C
−
B
)
(
X
C
−
B
A
+
B
)
2
A
−
3
(
C
−
B
)
2
(
X
C
−
B
A
+
B
)
A
2
+
(
C
−
B
)
3
A
3
{\displaystyle =\sum _{X={\frac {(C-B)A}{C-B}}=1}^{{\frac {(C-B)A}{C-B}}=A}{\frac {3(C-B)(X{\frac {C-B}{A}}+B)^{2}}{A}}-{\frac {3(C-B)^{2}(X{\frac {C-B}{A}}+B)}{A^{2}}}+{\frac {(C-B)^{3}}{A^{3}}}}
それで：
C
3
−
B
3
=
∑
X
=
1
A
3
(
C
−
B
)
(
X
C
−
B
A
+
B
)
2
A
−
3
(
C
−
B
)
2
(
X
C
−
B
A
+
B
)
A
2
+
(
C
−
B
)
3
A
3
{\displaystyle C^{3}-B^{3}=\sum _{X=1}^{A}{\frac {3(C-B)(X{\frac {C-B}{A}}+B)^{2}}{A}}-{\frac {3(C-B)^{2}(X{\frac {C-B}{A}}+B)}{A^{2}}}+{\frac {(C-B)^{3}}{A^{3}}}}
さらに:
C
3
−
B
3
=
∑
x
=
1
K
A
3
(
C
−
B
)
(
C
−
B
A
x
+
B
)
2
A
K
−
3
(
C
−
B
)
2
⋅
(
C
−
B
A
x
+
B
)
(
A
K
)
2
+
(
C
−
B
)
3
(
A
K
)
3
=
{\displaystyle C^{3}-B^{3}=\sum _{x={\frac {1}{K}}}^{A}{\frac {3(C-B)({\frac {C-B}{A}}x+B)^{2}}{AK}}-{\frac {3(C-B)^{2}\cdot ({\frac {C-B}{A}}x+B)}{(AK)^{2}}}+{\frac {(C-B)^{3}}{(AK)^{3}}}=}
C
3
−
B
3
=
∑
x
=
1
A
A
3
(
C
−
B
)
(
C
−
B
A
x
+
B
)
2
A
2
−
3
(
C
−
B
)
2
⋅
(
C
−
B
A
x
+
B
)
(
A
2
)
2
+
(
C
−
B
)
3
(
A
2
)
3
=
{\displaystyle C^{3}-B^{3}=\sum _{x={\frac {1}{A}}}^{A}{\frac {3(C-B)({\frac {C-B}{A}}x+B)^{2}}{A^{2}}}-{\frac {3(C-B)^{2}\cdot ({\frac {C-B}{A}}x+B)}{(A^{2})^{2}}}+{\frac {(C-B)^{3}}{(A^{2})^{3}}}=}
C
3
−
B
3
=
∑
X
=
1
A
2
3
(
C
−
B
)
(
C
−
B
A
2
X
+
B
)
2
A
2
−
3
(
C
−
B
)
2
⋅
(
C
−
B
A
2
X
+
B
)
(
A
2
)
2
+
(
C
−
B
)
3
(
A
2
)
3
{\displaystyle C^{3}-B^{3}=\sum _{X=1}^{A^{2}}{\frac {3(C-B)({\frac {C-B}{A^{2}}}X+B)^{2}}{A^{2}}}-{\frac {3(C-B)^{2}\cdot ({\frac {C-B}{A^{2}}}X+B)}{(A^{2})^{2}}}+{\frac {(C-B)^{3}}{(A^{2})^{3}}}}
初項 と共通比を持つ 等比 級数 に因数を掛けると 、伸縮和が得られ、その極限を直接計算することができる。 [7]
a
{\displaystyle a}
r
{\displaystyle r}
(
1
−
r
)
{\displaystyle (1-r)}
(
1
−
r
)
∑
n
=
0
∞
a
r
n
=
∑
n
=
0
∞
a
r
n
−
a
r
n
+
1
=
a
{\displaystyle (1-r)\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}-ar^{n+1}=a}
いつ そう いつ
|
r
|
<
1
,
{\displaystyle |r|<1,}
|
r
|
<
1
,
{\displaystyle |r|<1,}
∑
n
=
0
∞
a
r
n
=
a
1
−
r
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}.}
∑
n
=
1
∞
1
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}
はプロニック数 の 逆 数列であり 、 部分分数 形式で書き直すと伸縮列として認識できる [1]
∑
n
=
1
∞
1
n
(
n
+
1
)
=
∑
n
=
1
∞
(
1
n
−
1
n
+
1
)
=
lim
N
→
∞
∑
n
=
1
N
(
1
n
−
1
n
+
1
)
=
lim
N
→
∞
[
(
1
−
1
2
)
+
(
1
2
−
1
3
)
+
⋯
+
(
1
N
−
1
N
+
1
)
]
=
lim
N
→
∞
[
1
+
(
−
1
2
+
1
2
)
+
(
−
1
3
+
1
3
)
+
⋯
+
(
−
1
N
+
1
N
)
−
1
N
+
1
]
=
lim
N
→
∞
[
1
−
1
N
+
1
]
=
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}
∑
n
=
1
∞
1
n
(
n
+
k
)
=
H
k
k
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}}
ここで H k は k 番目の 高調波数 です 。
k と mを正の整数 k m とする と 、
≠
{\displaystyle \neq }
∑
n
=
1
∞
1
(
n
+
k
)
(
n
+
k
+
1
)
…
(
n
+
m
−
1
)
(
n
+
m
)
=
1
m
−
k
⋅
k
!
m
!
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}}={\frac {1}{m-k}}\cdot {\frac {k!}{m!}}}
ここで、は 階乗 演算を表します 。
!
{\displaystyle !}
∑
n
=
1
N
sin
(
n
)
=
∑
n
=
1
N
1
2
csc
(
1
2
)
(
2
sin
(
1
2
)
sin
(
n
)
)
=
1
2
csc
(
1
2
)
∑
n
=
1
N
(
cos
(
2
n
−
1
2
)
−
cos
(
2
n
+
1
2
)
)
=
1
2
csc
(
1
2
)
(
cos
(
1
2
)
−
cos
(
2
N
+
1
2
)
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right),\end{aligned}}}
これは収束しない
N
→
∞
.
{\textstyle N\rightarrow \infty .}
アプリケーション 確率論 において 、 ポアソン過程は 確率過程であり、その最も単純なケースではランダムな時間に「発生」し、次の発生までの待ち時間は 記憶のない 指数分布 を持ち、任意の時間間隔における「発生」の数は、 期待値が時間間隔の長さに比例する ポアソン分布を持つ。X t を 時間t までの「発生」数とし 、 T x を x 番目の「発生」までの待ち時間とする。 ランダム変数 T x の 確率密度関数を 求める。ポアソン分布の 確率質量関数を 使用する と、次のようになる。
Pr
(
X
t
=
x
)
=
(
λ
t
)
x
e
−
λ
t
x
!
,
{\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},}
ここでλは長さ1の任意の時間間隔における平均発生回数である。イベント{ X t ≥ x}はイベント{ T x ≤ t }と同じであり 、したがってそれらは同じ確率を持つことに注意する。直感的には、何かが 時間 より前に少なくとも 回発生した場合、 その発生を 最大で まで待たなければならない 。したがって、求める密度関数は次のようになる。
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
t
{\displaystyle t}
x
t
h
{\displaystyle xth}
f
(
t
)
=
d
d
t
Pr
(
T
x
≤
t
)
=
d
d
t
Pr
(
X
t
≥
x
)
=
d
d
t
(
1
−
Pr
(
X
t
≤
x
−
1
)
)
=
d
d
t
(
1
−
∑
u
=
0
x
−
1
Pr
(
X
t
=
u
)
)
=
d
d
t
(
1
−
∑
u
=
0
x
−
1
(
λ
t
)
u
e
−
λ
t
u
!
)
=
λ
e
−
λ
t
−
e
−
λ
t
∑
u
=
1
x
−
1
(
λ
u
t
u
−
1
(
u
−
1
)
!
−
λ
u
+
1
t
u
u
!
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}}
合計は拡大し、
f
(
t
)
=
λ
x
t
x
−
1
e
−
λ
t
(
x
−
1
)
!
.
{\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.}
その他のアプリケーションについては、以下を参照してください。
伸縮 積 とは、有限 積 （または無限積の部分積）であり、商法によって相殺されて最終的に有限個の因数のみとなる。 [8] [9] これは、連続する項が分子と分母を相殺し、最初の項と最後の項のみが残る有限積である。 を 数列とします。すると、
が 1 に収束する
場合 、結果として得られる積は次のようになります。
a
n
{\displaystyle a_{n}}
∏
n
=
1
N
a
n
−
1
a
n
=
a
0
a
N
.
{\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}.}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
∏
n
=
1
∞
a
n
−
1
a
n
=
a
0
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}
例えば、無限積 [8] は
次のように簡略化される。
∏
n
=
2
∞
(
1
−
1
n
2
)
{\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}
∏
n
=
2
∞
(
1
−
1
n
2
)
=
∏
n
=
2
∞
(
n
−
1
)
(
n
+
1
)
n
2
=
lim
N
→
∞
∏
n
=
2
N
n
−
1
n
×
∏
n
=
2
N
n
+
1
n
=
lim
N
→
∞
[
1
2
×
2
3
×
3
4
×
⋯
×
N
−
1
N
]
×
[
3
2
×
4
3
×
5
4
×
⋯
×
N
N
−
1
×
N
+
1
N
]
=
lim
N
→
∞
[
1
2
]
×
[
N
+
1
N
]
=
1
2
×
lim
N
→
∞
[
N
+
1
N
]
=
1
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}}\times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}
参考文献
^ abc アポストル、トム (1967) [1961]。 微積分学、第1巻 （第2版）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。pp.386–387。 ^ ブライアン・S・トムソンとアンドリュー・M・ブルックナー、 「初等実解析」第2版 、CreateSpace、2008年、85ページ ^ Weil, André (1989). 「ゼータ関数の前史」。Aubert , Karl Egil ; Bombieri, Enrico ; Goldfeld, Dorian (編)。 数論、トレース公式、離散群: Atle Selberg 記念シンポジウム、オスロ、ノルウェー、1987 年 7 月 14 ～ 21 日 。 マサチューセッツ州ボストン: Academic Press。pp. 1 ～ 9。doi :10.1016/B978-0-12-067570-8.50009-3。MR 0993308 。 ^ Weisstein, Eric W. 「Telescoping Sum」 。MathWorld。Wolfram 。 ^ Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S. (2003). 複素変数: 入門と応用 (第 2 版). Cambridge University Press. p. 110. ISBN 978-0-521-53429-1 。 ^ 「2針時計」。 ^ アポストル、トム (1967) [1961]。 微積分学、第1巻 （第2版）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。388ページ。 ^ ab 「Telescoping Series - Product」。Brilliant Math & Science Wiki。Brilliant.org 。 2020年 2月9日 閲覧 。 ^ ボゴモルニー、アレクサンダー。「伸縮和、級数、積」。Cut the Knot 。 2020年 2月9日 閲覧 。
