バナッハ限界

数学的解析において、バナッハ極限は、すべての有界複素数値シーケンスのバナッハ空間上で定義される連続 線形関数 であり、すべてのシーケンス、、および複素数に対して次のようになります。 ${\displaystyle \phi :\ell ^{\infty }\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle x=(x_{n})}$${\displaystyle y=(y_{n})}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \alpha}$

1. ${\displaystyle \phi (\alpha x+y)=\alpha \phi (x)+\phi (y)}$（直線性）
2. すべての に対して であれば、(正値) である。${\displaystyle x_{n}\geq 0}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \phi (x)\geq 0}$
3. ${\displaystyle \phi (x)=\phi (Sx)}$、ここで は(シフト不変性)によって定義されるシフト演算子です。${\displaystyle S}$${\displaystyle (Sx)_{n}=x_{n+1}}$
4. が収束するシーケンスである場合、 となります。${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi (x)=\lim x}$

したがって、は連続関数の拡張であり、は内の（通常の）極限に収束するすべてのシーケンスの複素ベクトル空間です。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \lim :c\to \mathbb {C} }$${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

言い換えれば、バナッハ限界は通常の限界を拡張し、線形、シフト不変、正です。ただし、2 つのバナッハ限界の値が一致しないシーケンスが存在します。この場合、バナッハ限界は一意に決定されないと言います。

上記の性質の結果として、実数値バナッハ極限は以下も満たします。

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \phi (x)\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

バナッハ極限の存在は、通常、ハーン・バナッハの定理（解析的アプローチ）^[1] 、または超フィルター（集合論的説明ではこのアプローチがより一般的）を使用して証明されます。^[2]これらの証明では、必然的に選択公理が使用されます（いわゆる非有効証明）。

一意に決まるバナッハ極限を持つ非収束列が存在する。例えば、 の場合、 は定数列であり、 ${\displaystyle x=(1,0,1,0,\ldots )}$${\displaystyle x+S(x)=(1,1,1,\ldots )}$

${\displaystyle 2\phi (x)=\phi (x)+\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=\phi (x+Sx)=\phi ((1,1, 1,\ldots ))=\lim((1,1,1,\ldots ))=1}$

が成り立ちます。したがって、任意のバナッハ極限に対して、この数列は極限 を持ちます。 ${\displaystyle 1/2}$

あらゆるバナッハ極限に対して値が同じであるという性質を持つ有界列は、ほぼ収束すると呼ばれます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi (x)}$

における収束列が与えられた場合、双対性を考慮すると、の通常極限はの元からは生じません。後者はの連続双対空間（双対バナッハ空間）を 意味し、したがって上の連続線型汎関数を誘導しますが、すべてではありません。 上の任意のバナッハ極限は、 の双対バナッハ空間の元で が にない例です。 の双対はba 空間として知られ、自然数のすべての部分集合のシグマ代数上のすべての（符号付き）有限加法測度、またはそれと同等に、自然数のストーン–チェフコンパクト化上のすべての（符号付き）ボレル測度で構成されます。 ${\displaystyle x=(x_{n})}$${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ell^{1}}$${\displaystyle \langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle }$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell^{1}}$${\displaystyle \ell^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

• 「バナッハ限界」。PlanetMath。

• Balcar, ボフスラフ州;シュテパネク、ペトル (2000)。Teorie množin (チェコ語) (第 2 版)。プラハ: 学問です。ISBN 802000470X。
• コンウェイ、ジョン B. (1994)。関数解析コース。数学大学院テキスト。第 96 巻。ニューヨーク: シュプリンガー。ISBN 0-387-97245-5。