等比数列

等比数列（等比数列とも呼ばれる）は、ゼロ以外の数列で、最初の 項に続く各項は、前の項に公比と呼ばれる固定数を掛けて求められます。たとえば、2、6、18、54、... という数列は、公比が 3 の等比数列です。同様に、10、5、2.5、1.25、... は、公比が 1/2 の等比数列です。

等比数列の例としては、2 ^kや 3 ^kなど、固定された非ゼロ数rの累乗 r ^kがある。等比数列の一般的な形式は次のようになる。

${\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }$

ここで、rは公比、a は初期値です。

等比数列の項の和は等比級数と呼ばれます。

初期値a = a ₁、公比rの等比数列のn番目の項は次のように表される。

${\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1},}$

そして一般的に

${\displaystyle a_{n}=a_{m}\,r^{nm}.}$

幾何列は線形回帰関係を満たす

${\displaystyle a_{n}=r\,a_{n-1}}$すべての整数に対して${\displaystyle n>1.}$

これは定数係数を持つ一次同次線形回帰です。

幾何列は非線形再帰関係も満たす。

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}/a_{n-2}}$すべての整数に対して${\displaystyle n>2.}$

これは定数係数を持つ 2 次非線形回帰です。

等比数列の公比が正の場合、数列の項はすべて最初の項の符号を共有します。等比数列の公比が負の場合、数列の項は正と負の間で交互に現れます。これは交代数列と呼ばれます。たとえば、数列 1、-3、9、-27、81、-243、... は、初期値が 1 で公比が -3 である交代等比数列です。初期項と公比が複素数の場合、項の複素引数は等差数列に従います。

公比の絶対値が 1 より小さい場合、項の大きさは減少し、指数関数的に減少して 0 に近づきます。公比の絶対値が 1 より大きい場合、項の大きさは増加し、指数関数的に増加して無限大に近づきます。公比の絶対値が 1 に等しい場合、項の符号や複素引数は変わる可能性がありますが、項の大きさは永久に同じままです。

等比数列は指数関数的増加または指数関数的減少を示し、等差数列は線形増加または線形減少を示します。この比較は、TR マルサスが『人口論』の数学的基礎としました。2 種類の数列は、指数関数と対数によって関連しています。等差数列の各項を累乗すると等比数列になり、等差数列の各項の対数を取ると等差数列になります。

数学において、等比級数とは、連続する隣接する項の比率が一定である級数です。言い換えると、等比数列の連続する項の合計が等比級数を形成します。したがって、各項は、その隣接する 2 つの項の等比平均であり、等差級数の項が、その隣接する 2 つの項の等差平均であるのと同様です。

幾何級数は、少なくともユークリッドの著書『原論』の時代から数学において研究されてきた。この本では、幾何学的比率が探求されている。アルキメデスは、無限和に関する研究、特に幾何学的図形の面積と体積の計算（たとえば放物線の内側の面積の計算）を通じて、この研究をさらに進めた。近代微積分学の初期の発展において、幾何級数は収束級数と発散級数の典型的な例であり、したがって、たとえば収束の比テストや収束率の定義など、収束の研究における重要な参考文献となった。幾何級数は、テイラー級数、生成関数、摂動論などの数学的対象の研究におけるプロトタイプとしての役目も果たしている。

幾何級数は、さまざまな自然現象や社会現象をモデル化するために適用されてきました。たとえば、項間の公比がハッブル定数で定義される宇宙の膨張、項間の公比が炭素14の半減期で定義される放射性炭素14原子の崩壊、公比がルーレットのオッズで決まるギャンブルの勝率、公比がインフレ率と金利の組み合わせで決まる投資の経済的価値などです。

一般に、等比級数は と表され、 は最初の項、 は隣接する項間の公比です。たとえば、級数${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

は幾何級数です。なぜなら、各項は前の項に を掛けることで得られるからです。 ${\displaystyle 1/2}$

切断された幾何級数は、数学の特定の分野、特に 19 世紀の微積分学、確率論、統計学、およびその応用では「有限幾何級数」と呼ばれます。 ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots +ar^{n}}$

無限等比級数の 標準的な大文字シグマ表記法^[1]は、

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}}$

そして、有限幾何級数の対応する表現は

${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}.}$

任意の有限等比級数の和は であり、無限級数が極限値に収束するとき です。 ${\displaystyle a(1-r^{n+1})/(1-r)}$${\displaystyle |r|<1}$${\displaystyle a/(1-r)}$

等比級数は、およびの実数または複素数 で最も一般的に見られ、適用されていますが、行列値の等比級数、関数値の等比級数、p 進数等比級数、そして最も一般的には抽象代数体、環、半環の元の等比級数に関する重要な結果や応用もあります。${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$

等比数列の無限積は、そのすべての項の積である。等比数列のべき乗項までの部分積は、 ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{(k)}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}.}$$

とが正の実数である場合、これは部分数列の最初と最後の個々の項の幾何平均を取り、その平均を項の数で与えられたべき乗に等しい。${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n+1.}$

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}ar^{k}=a^{n+1}r^{n(n+1)/2}=({\sqrt {a^{2 }r^{n}}})^{n+1}{\text{ }}a\geq 0,r\geq 0.}$$

これは、有限等差数列の項の和の同様の特性に対応します。等差数列の和は、項の数に最初の項と最後の項の算術平均を掛けたものです。この対応は、任意の等差数列は等比数列の項の対数の列であり、任意の等比数列は等差数列の項の累乗の列であるという通常のパターンに従います。対数の和は累乗値の積に対応します。

を 乗までの積で表すとします。完全に書き表すと、 ${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle P_{n}=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}$。

掛け算をして同類項を集めると、

${\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+n}}$。

rの指数は等差数列の和である。その和に式を代入すると、

${\displaystyle P_{n}=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}$、

これで証明は終わりです。

この表現を次のように変形することができる。

${\displaystyle P_{n}=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}.}$

a をとして書き直し、r をとして書き直すと、これはまたは には有効ではない${\displaystyle \textstyle {\sqrt {a^{2}}}}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {r^{2}}}}$${\displaystyle a<0}$${\displaystyle r<0,}$

${\displaystyle P_{n}=({\sqrt {a^{2}r^{n}}})^{n+1}{\text{ }}a\geq 0,r\geq 0 の場合}$

これは幾何平均に関する式です。

メソポタミア初期王朝時代（紀元前2900年頃～紀元前2350年頃）の粘土板（MS 3047）には、底が3で乗数が1/2の等比数列が記されている。シュルッパク市で発見されたシュメール語の粘土板であると考えられている。紀元前2000年に始まった古代バビロニア数学の時代以前の等比数列の唯一の記録である。^[2]

ユークリッドの『原論』第8巻と第9巻では、等比数列（ 2の累乗など、詳細は記事を参照）を分析し、そのいくつかの性質を示しています。^[3]

• 等差数列 – 等間隔の数字の並び
• 等比等数列 – 特定のパターンを満たす数学的数列
• 線形差分方程式
• 指数関数 – 数学関数。exp(x) または e^x と表記される。
• 調和進行 – 等差数列の逆数を取ることによって形成される進行
• 調和級数 – すべての正の単位分数の発散する和
• 無限級数 – 無限和
• 推奨数 – 与えられた制約の範囲内で正確な製品寸法を選択するための標準ガイドライン
• トーマス・ロバート・マルサス – イギリスの政治経済学者 (1766–1834)
• 幾何分布 – 確率分布

• ホール＆ナイト『高等代数学』39ページ、ISBN 81-8116-000-2 

• 「幾何級数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Mathalino.com での有限および無限等比数列の和の公式の導出
• 等比数列計算機 2008-12-27 にWayback Machineでアーカイブ
• sputsoft.com の等比数列和の素晴らしい証明
• Weisstein、Eric W.「幾何学級数」。MathWorld。