コーシー凝縮テスト

数学において、オーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられたコーシー凝縮判定法は、無限級数の標準的な収束判定法である。増加しない数列の場合、${\displaystyle f(n)}$非負の実数からなる数列${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$収束するのは、「縮約」級数が${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$収束する。さらに、収束する場合、縮約された級数の和は元の級数の和の2倍以下となる。

コーシー凝縮テストは、より強い推定値から導かれる。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n),}$$これは拡張実数の不等式 として理解されるべきである。証明の要点は、調和級数の発散に関するオレームの証明に倣って、以下に続く。

最初の不等式を確認するには、元の級数の項を2のべき乗の長さの区間に分割し、各区間の項をその区間内の最大の項で置き換えることで、各区間の上限を決定します。項は単調増加ではないという仮定から、最大の項は常に最初の項になります。 $${\displaystyle {\begin{array}{rcccccccl}\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}}$$

2 番目の不等式を見るために、これら 2 つの級数は再び長さ 2 のべき乗の連続に括弧で囲まれますが、以下に示すように「オフセット」されるため、${\textstyle 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$は、​${\textstyle f(2^{n})}$の終わりと一致する${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$で終わる​${\textstyle f(2^{n})}$それによって、前者は常に後者よりも「先を行く」ことになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&={\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq {\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(3)+f(3){\Big )}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\end{aligned}}}$$

凝縮変化${\textstyle f(n)\rightarrow 2^{n}f(2^{n})}$積分変数置換を思い出す${\textstyle x\rightarrow e^{x}}$降伏${\textstyle f(x)\,\mathrm {d} x\rightarrow e^{x}f(e^{x})\,\mathrm {d} x}$。

収束のための積分判定法は、単調の場合、${\displaystyle f}$、 それ${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$収束するのは、${\displaystyle \displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x}$収束する。置換${\textstyle x=2^{u}}$積分値が得られる${\displaystyle \displaystyle \log 2\ \int _{0}^{\infty }\!2^{u}f(2^{u})\,\mathrm {d} u}$関数も持っている場合${\textstyle u\mapsto 2^{u}f(2^{u})}$単調であれば、積分判定法を適用して縮約級数の収束性を示す。${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$。

このテストは、 n がfの分母に現れるような級数に有効です。この種の最も基本的な例としては、調和級数があります。${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}$シリーズに変わる${\textstyle \sum 1}$これは明らかに異なる。

より複雑な例として、 $${\displaystyle f(n):=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c}.}$$

ここで、級数はa > 1の場合は確実に収束し、a < 1の場合は発散する。a = 1 の場合、縮約変換によりベルトラン級数が得られる。$${\displaystyle \sum n^{-b}(\log n)^{-c}.}$$

対数は「左にシフト」します。したがって、a = 1の場合、 b > 1では収束し、b < 1では発散します。b = 1の場合、 cの値が現れます。

この結果は容易に一般化できる。凝縮テストを繰り返し適用することで、次のことが示される。${\displaystyle k=1,2,3,\ldots }$一般化ベルトラン級数$${\displaystyle \sum _{n\geq N}{\frac {1}{n\cdot \log n\cdot \log \log n\cdots \log ^{\circ (k-1)}n\cdot (\log ^{\circ k}n)^{\alpha }}}\quad \quad (N=\lfloor \exp ^{\circ k}(0)\rfloor +1)}$$収束する${\displaystyle \alpha >1}$そして分岐する${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$[ ^{1 ]} ここ^で${\displaystyle f^{\circ m}}$は関数のm番目の反復を表す。${\displaystyle f}$、 となることによって$${\displaystyle f^{\circ m}(x):={\begin{cases}f(f^{\circ (m-1)}(x)),&m=1,2,3,\ldots$$ ;\\x,&m=0.\end{cases}}} 合計の下限、${\displaystyle N}$は、級数のすべての項が正になるように選択されました。注目すべきは、これらの級数は、収束または発散が任意に遅い無限級数の例を提供していることです。たとえば、の場合${\displaystyle k=2}$そして${\displaystyle \alpha =1}$部分和が10を超えるのは${\displaystyle 10^{10^{100}}}$（グーゴルプレックス）項。しかし、それでも級数は発散する。

凝縮テストの一般化はオスカー・シュレーミルヒによって与えられた。^{[ 2 ]} u ( n )を正の整数の厳密に増加する数列とし、連続する差の比が有界であるとする。すなわち、正の実数Nが存在し、 $${\displaystyle {\Delta u(n) \over \Delta u(n{-}1)}\ =\ {u(n{+}1)-u(n) \over u(n)-u(n{-}1)}\ <\ N\ {\text{ for all }}n.}$$

そして、${\displaystyle f(n)}$コーシーの収束判定法と同じ前提条件を満たし、級数の収束が成り立つ。${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$これは、 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\Delta u(n)}\,f(u(n))\ =\ \sum _{n=0}^{\infty }{\Big (}u(n{+}1)-u(n){\Big )}f(u(n)).}$$

取${\textstyle u(n)=2^{n}}$となることによって${\textstyle \Delta u(n)=u(n{+}1)-u(n)=2^{n}}$コーシー凝縮テストは、特殊なケースとして現れる。

• ボナー、クーリー（2006）。実無限級数。アメリカ数学協会。ISBN 0-88385-745-6。

• コーシー凝縮テストの証明