数学的級数の一覧

この数列一覧には、有限和と無限和の公式が含まれています。他の和の計算ツールと併用して使用できます。

ここ、 $0^0$ 値を持つとみなされる $1$
$\{x\}$ は、 $x$
$B_{n}(x)$ はベルヌーイ多項式です。
$B_{n}$ はベルヌーイ数であり、ここで、 $B_{1}=-{\frac {1}{2}}.$
$E_{n}$ はオイラー数です。
$\displaystyle \zeta (s)$ はリーマンゼータ関数です。
$\Gamma (z)$ はガンマ関数です。
$\psi _{n}(z)$ はポリガンマ関数です。
$\operatorname {Li} _{s}(z)$ は多対数です。
$n \choose k$ 二項係数
$\exp(x)$ 指数を表す $x$

べき乗の和

ファウルハーバーの公式を参照してください。

$\sum _{k=0}^{m}k^{n-1}={\frac {B_{n}(m+1)-B_{n}}{n}}$

最初のいくつかの値は次のとおりです。

$\displaystyle \sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}}$
$\sum _{k=1}^{m}k^{2}={\frac {m(m+1)(2m+1)}{6}}={\frac {m^{3}}{3}}+{\frac {m^{2}}{2}}+{\frac {m}{6}}$
$\displaystyle \sum _{k=1}^{m}k^{3}=\left[{\frac {m(m+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {m^{4}}{4}}+{\frac {m^{3}}{2}}+{\frac {m^{2}}{4}}}$

ゼータ定数を参照してください。

$\zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

最初のいくつかの値は次のとおりです。

$\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ （バーゼル問題）
$\zeta (4)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}$
$\zeta (6)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}$

パワーシリーズ

低次多項式対数

有限和：

$\sum _{k=m}^{n}z^{k}={\frac {z^{m}-z^{n+1}}{1-z}}$ （等比数列）
$\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}$
$\sum _{k=1}^{n}z^{k}={\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}-1={\frac {z-z^{n+1}}{1-z}}$
$\sum _{k=1}^{n}kz^{k}=z{\frac {1-(n+1)z^{n}+nz^{n+1}}{(1-z)^{2}}}$
$\sum _{k=1}^{n}k^{2}z^{k}=z{\frac {1+z-(n+1)^{2}z^{n}+(2n^{2}+2n-1)z^{n+1}-n^{2}z^{n+2}}{(1-z)^{3}}}$
$\sum _{k=0}^{n}k^{m}z^{k}=\left(z{\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}$

無限和、有効 $|z|<1$ （多対数関数を参照）：

$\operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}$

以下は、低次の整数次多項式対数を再帰的に閉形式で計算するのに役立つ性質です。

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {Li} _{n}(z)={\frac {\operatorname {Li} _{n-1}(z)}{z}}$
$\operatorname {Li} _{1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}=-\ln(1-z)$
$\operatorname {Li} _{0}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }z^{k}={\frac {z}{1-z}}$
$\operatorname {Li} _{-1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }kz^{k}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}$
$\operatorname {Li} _{-2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}z^{k}={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}$
$\operatorname {Li} _{-3}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{3}z^{k}={\frac {z(1+4z+z^{2})}{(1-z)^{4}}}$
$\operatorname {Li} _{-4}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{4}z^{k}={\frac {z(1+z)(1+10z+z^{2})}{(1-z)^{5}}}$

ルジャンドルχ関数は次のように定義されます。 ${\begin{aligned}\chi _{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\\chi _{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}$

そして、以下に示す式は逆正接積分と呼ばれます。 ${\begin{aligned}{\text{Ti}}_{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\{\text{Ti}}_{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}$

指数関数

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}$
$\sum _{k=0}^{\infty }k{\frac {z^{k}}{k!}}=ze^{z}$ （ポアソン分布の平均を参照）
$\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+z^{2})e^{z}$ （ポアソン分布の2次モーメントを参照）
$\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+3z^{2}+z^{3})e^{z}$
$\sum _{k=0}^{\infty }k^{4}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+7z^{2}+6z^{3}+z^{4})e^{z}$
$\sum _{k=0}^{\infty }k^{n}{\frac {z^{k}}{k!}}=z{\frac {d}{dz}}\sum _{k=0}^{\infty }k^{n-1}{\frac {z^{k}}{k!}}\,\!=e^{z}T_{n}(z)$

どこ $T_{n}(z)$ はトゥシャール多項式です。

三角関数、逆三角関数、双曲線関数、および逆双曲線関数の関係

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sin z$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\sinh z$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}=\cosh z$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\tan z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\tanh z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\cot z,|z|<\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\coth z,|z|<\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\csc z,|z|<\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\operatorname {csch} z,|z|<\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {sech} z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}}=\sec z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {ver} z$ (バージョン)
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}=\operatorname {hav} z$ ^{[ 1 ]} (ハバーサイン)
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^{2}(2k+1)}}=\arcsin z,|z|\leq 1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^{2}(2k+1)}}=\operatorname {arcsinh} {z},|z|\leq 1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2k+1}}=\arctan z,|z|<1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{2k+1}}=\operatorname {arctanh} z,|z|<1$
$\ln 2+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2k)!z^{2k}}{2^{2k+1}k(k!)^{2}}}=\ln \left(1+{\sqrt {1+z^{2}}}\right),|z|\leq 1$
$\sum _{k=2}^{\infty }\left(k\cdot \operatorname {arctanh} \left({\frac {1}{k}}\right)-1\right)={\frac {3-\ln(4\pi )}{2}}$

修正階乗分母

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{2^{4k}{\sqrt {2}}(2k)!(2k+1)!}}z^{k}={\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-z}}}{z}}},|z|<1$ ^{[ 2 ]}
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}(k!)^{2}}{(k+1)(2k+1)!}}z^{2k+2}=\left(\arcsin {z}\right)^{2},|z|\leq 1$ ^{[ 2 ]}
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(4k^{2}+\alpha ^{2})}{(2n)!}}z^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha \prod _{k=0}^{n-1}[(2k+1)^{2}+\alpha ^{2}]}{(2n+1)!}}z^{2n+1}=e^{\alpha \arcsin {z}},|z|\leq 1$

二項係数

$(1+z)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}z^{k},|z|<1$ （二項定理§ ニュートンの一般化二項定理を参照）
^{[ 3 ]} $\sum _{k=0}^{\infty }{{\alpha +k-1} \choose k}z^{k}={\frac {1}{(1-z)^{\alpha }}},|z|<1$
^{[ 3 ]} $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}{2k \choose k}z^{k}={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}},|z|\leq {\frac {1}{4}}$ カタロニア数の母関数
^{[ 3 ]} $\sum _{k=0}^{\infty }{2k \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}},|z|<{\frac {1}{4}}$ 中心二項係数の生成関数
^{[ 3 ]} $\sum _{k=0}^{\infty }{2k+\alpha \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}\right)^{\alpha },|z|<{\frac {1}{4}}$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{N+k \choose n}}={\frac {N}{(n-1){N \choose n}}},\quad N\geq n$

調和数

（調和数については、それ自体が定義されています） ${\textstyle H_{n}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{j}}}$ 、そして $H(x)$ （実数に一般化）

$\sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},|z|<1$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k+1}}z^{k+1}={\frac {1}{2}}\left[\ln(1-z)\right]^{2},\qquad |z|<1$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{2k}}{2k+1}}z^{2k+1}={\frac {1}{2}}\arctan {z}\log {(1+z^{2})},\qquad |z|<1$ ^{[ 2 ]}
$\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{2n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}{\frac {z^{4n+2}}{4n+2}}={\frac {1}{4}}\arctan {z}\log {\frac {1+z}{1-z}},\qquad |z|<1$ ^{[ 2 ]}
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2}}{n^{2}(n+x)}}=x{\frac {\pi ^{2}}{6}}-H(x)$

楕円関数

第1種完全楕円積分Kおよび第2種完全楕円積分Eは、以下のように定義できる。 ${\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}K(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\\{\frac {2}{\pi }}E(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\end{aligned}}$

ヤコビのシータ関数は楕円型モジュラー関数の世界を記述し、以下のテイラー級数を持つ。 ${\begin{aligned}\vartheta _{00}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}\end{aligned}}$

正規分割数列 $P (n)$ は、次の生成関数を持つ。 $\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}$

厳密な分割数列 Q(n) の生成関数は次のようになる。 $\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}$

二項係数

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$
$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}$
$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}=0,{\text{ where }}n\geq 1$
$\sum _{k=0}^{n}{k \choose m}={n+1 \choose m+1}$
$\sum _{k=0}^{n}{m+k-1 \choose k}={n+m \choose n}$ （マルチセットを参照）
$\sum _{k=0}^{n}{\alpha \choose k}{\beta \choose n-k}={\alpha +\beta \choose n},{\text{where}}\ \alpha +\beta \geq n$ （ヴァンデルモンド恒等式を参照）
$\sum _{A\ \in \ {\mathcal {P}}(E)}1=2^{n}{\text{, where }}E{\text{ is a finite set, and card(}}E{\text{) = n}}$
$\sum _{\begin{cases}(A,\ B)\ \in \ ({\mathcal {P}}(E))^{2}\\A\ \subset \ B\end{cases}}1=3^{n}{\text{, where }}E{\text{ is a finite set, and card(}}E{\text{) = n}}$
$\sum _{A\ \in \ {\mathcal {P}}(E)}card(A)=n2^{n-1}{\text{, where }}E{\text{ is a finite set, and card(}}E{\text{) = n}}$

三角関数

フーリエ級数には正弦と余弦の和が現れる。

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(k\theta )}{k}}=-{\frac {1}{2}}\ln(2-2\cos \theta )=-\ln \left(2\sin {\frac {\theta }{2}}\right),0<\theta <2\pi$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(k\theta )}{k}}={\frac {\pi -\theta }{2}},0<\theta <2\pi$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\cos(k\theta )={\frac {1}{2}}\ln(2+2\cos \theta )=\ln \left(2\cos {\frac {\theta }{2}}\right),0\leq \theta <\pi$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\sin(k\theta )={\frac {\theta }{2}},-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(2k\theta )}{2k}}=-{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \theta ),0<\theta <\pi$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2k\theta )}{2k}}={\frac {\pi -2\theta }{4}},0<\theta <\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos[(2k+1)\theta ]}{2k+1}}={\frac {1}{2}}\ln \left(\cot {\frac {\theta }{2}}\right),0<\theta <\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin[(2k+1)\theta ]}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}},0<\theta <\pi$ [ ⁴^]
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}=\pi \left({\dfrac {1}{2}}-\{x\}\right),\ x\in \mathbb {R}$
$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi kx\right)}{k^{2n-1}}}=(-1)^{n}{\frac {(2\pi )^{2n-1}}{2(2n-1)!}}B_{2n-1}(\{x\}),\ x\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N}$
$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi kx\right)}{k^{2n}}}=(-1)^{n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}B_{2n}(\{x\}),\ x\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N}$
$B_{n}(x)=-{\frac {n!}{2^{n-1}\pi ^{n}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}\cos \left(2\pi kx-{\frac {\pi n}{2}}\right),0<x<1$ ^{[ 5 ]}
$\sum _{k=0}^{n}\sin(\theta +k\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\sin(\theta +{\frac {n\alpha }{2}})}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sum _{k=0}^{n}\cos(\theta +k\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cos(\theta +{\frac {n\alpha }{2}})}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sum _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {\pi k}{n}}=\cot {\frac {\pi }{2n}}$
$\sum _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi k}{n}}=0$
$\sum _{k=0}^{n-1}\csc ^{2}\left(\theta +{\frac {\pi k}{n}}\right)=n^{2}\csc ^{2}(n\theta )$ ^{[ 6 ]}
$\sum _{k=1}^{n-1}\csc ^{2}{\frac {\pi k}{n}}={\frac {n^{2}-1}{3}}$
$\sum _{k=1}^{n-1}\csc ^{4}{\frac {\pi k}{n}}={\frac {n^{4}+10n^{2}-11}{45}}$

団結の根源

A $n$ 1の乗根は、次の方程式の解です。 $z^{n}=1$ そして、それらは次のように書くことができます。

z_{m}=\exp \left(i\cdot {\frac {2\pi m}{n}}\right),\quad m\in \{0,\cdots ,n-1\}

以下の総和恒等式が成り立つ。

\sum _{m\neq 0}^{n-1}{\frac {1}{1-z_{m}}}={\frac {n-1}{2}}

\sum _{m\neq 0}^{n-1}{\frac {1}{(1-z_{m})^{2}}}={\frac {(n-1)(5-n)}{12}}

させて $k$ 整数である $0<k<n$ そして、私たちは以下のものも入手しました。

\sum _{m=0}^{n-1}z_{m}^{k}=0

\sum _{m=0}^{n-1}(x-z_{m})^{k}=n\cdot x^{k}

\sum _{m\neq 0}^{n-1}{\frac {(z_{m})^{k}}{1-z_{m}}}={\frac {2k-n-1}{2}}

\sum _{m\neq 0}^{n-1}{\frac {(z_{m})^{k}}{(1-z_{m})^{2}}}={\frac {6k(n+2-k)-(n+1)(n+5)}{12}}

有理関数

$\sum _{n=a+1}^{\infty }{\frac {a}{n^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2}}H_{2a}$ ^{[ 7 ]}
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+a^{2}}}={\frac {1+a\pi \coth(a\pi )}{2a^{2}}}$
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}+a^{2}}}={\frac {1+a\pi \;{\text{csch}}(a\pi )}{2a^{2}}}$
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}+a^{2}}}={\frac {\pi }{4}}{\text{sech}}\left({\frac {a\pi }{2}}\right)$
$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}+4a^{4}}}={\dfrac {1}{8a^{4}}}+{\dfrac {\pi (\sinh(2\pi a)+\sin(2\pi a))}{8a^{3}(\cosh(2\pi a)-\cos(2\pi a))}}$
任意の有理関数の無限級数 $n$ 部分分数分解^[⁸^]を用いることで、有限個のポリガンマ関数に還元できる。ここで説明されているように。この事実は有限個の有理関数にも適用でき、級数に多数の項が含まれる場合でも定数時間で結果を計算できる。

指数関数

$\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {2\pi in^{2}q}{p}}\right)={\dfrac {e^{\pi i/4}}{\sqrt {2q}}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{2q}}\right)$ (ランズバーグとシャールの関係を参照)
$\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}$

数値シリーズ

これらの数列は、上記の数列から数値を代入することで求めることができます。

交代高調波列

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\ln 2$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{2k-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

交代等差数列

させて $S(a,b)$ 次のように定義される：

$S(a,b)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{ak+b}}$

どこ $a,b>0$ 正の整数です。 $gcd(a,b)=c$ 私たちは書くことができます $a=c\alpha$ そして $b=c\beta$ 、どこ $gcd(\alpha ,\beta )=1$ 、そして以下を取得します。

$S(a,b)=S(c\alpha ,c\beta )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{cdk+ce}}={\frac {1}{c}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\alpha k+\beta }}={\frac {S(\alpha ,\beta )}{c}}$

今もし $b>a$ ユークリッドの除法の補題によれば、次のように書ける。 $b=ca+d$ どこ $a>d>0$ その後

$S(a,b)=S(a,ca+d)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{ak+ca+d}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{a(k+c)+d}}=\sum _{k=c}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-c}}{ak+d}}$

ここで残りの行を足し合わせてから引き算すると、次のようになります。

$S(a,b)=(-1)^{c}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{ak+d}}-\sum _{k=0}^{c-1}{\frac {(-1)^{k}}{ak+d}}\right)=(-1)^{c}\left(S(a,d)-\sum _{k=0}^{c-1}{\frac {(-1)^{k}}{ak+d}}\right)$

つまり、無限の選択肢すべて $a$ そして $b$ 本質的には、次のようなケースに集約できます。 $gcd(a,b)=1$ そして $a>b>0$ これらの2つのことを仮定すると、次のように書くことができます。

$S(a,b)={\frac {1}{a}}\left({\frac {\pi }{2\sin \left({\frac {\pi b}{a}}\right)}}-2\sum _{m=0}^{\lfloor {\frac {a}{2}}\rfloor }\cos \left(\pi {\frac {(2m+1)b}{a}}\right)\ln \left(\sin \left(\pi {\frac {2m+1}{2a}}\right)\right)\right)$

代わりに負の符号を使用する場合：

$S_{-}(a,b)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{ak-b}}$

同じ 2 つのルールが上記から適用され、その後、次のケースで実行できます。 $a>b>0$ （以来 $a>a-b>0$ ):

$S_{-}(a,b)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{ak-b}}=-{\frac {1}{b}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{a(k+1)-b}}=-{\frac {1}{b}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{ak+(a-b)}}=-S(a,a-b)-{\frac {1}{b}}$

この公式を検証してみましょう。 $S(3,2)={\frac {1}{3}}\left({\frac {\pi }{2\sin \left({\frac {2\pi }{3}}\right)}}-2\left(\cos \left({\frac {2\pi }{3}}\right)\ln \left(\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)\right)+\cos \left(2\pi \right)\ln \left(\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)\right)\right)={\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}-{\frac {\ln(2)}{3}}$

階乗の逆数の和

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k)!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{8!}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(e+{\frac {1}{e}}\right)=\cosh 1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k)!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{9!}}+{\frac {1}{12!}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(e+{\frac {2}{\sqrt {e}}}\cos {\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(4k)!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{4!}}+{\frac {1}{8!}}+{\frac {1}{12!}}+{\frac {1}{16!}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(\cos 1+\cosh 1\right)$

三角法とπ

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}={\frac {1}{1!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{5!}}-{\frac {1}{7!}}+{\frac {1}{9!}}+\cdots =\sin 1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}={\frac {1}{0!}}-{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{6!}}+{\frac {1}{8!}}+\cdots =\cos 1$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{17}}+\cdots ={\frac {1}{2}}(\pi \coth \pi -1)$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{17}}+\cdots ={\frac {1}{2}}(\pi \operatorname {csch} \pi -1)$
$3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots =\pi$

正四面体数の逆数

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{Te_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{35}}+\cdots ={\frac {3}{2}}$

どこ $Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}$

指数関数と対数関数

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)(2k+2)}}={\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{3\times 4}}+{\frac {1}{5\times 6}}+{\frac {1}{7\times 8}}+{\frac {1}{9\times 10}}+\cdots =\ln 2$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}k}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{160}}+\cdots =\ln 2$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{k}k}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{3^{k}k}}={\Bigg (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}{\Bigg )}-{\Bigg (}{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{18}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{81}}{\Bigg )}-{\Bigg (}{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{324}}{\Bigg )}+\cdots =\ln 2$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{k}k}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{k}k}}={\Bigg (}{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{18}}+{\frac {1}{32}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{81}}+{\frac {1}{192}}{\Bigg )}+{\Bigg (}{\frac {1}{324}}+{\frac {1}{1024}}{\Bigg )}+\cdots =\ln 2$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}k}}=\ln \left({\frac {n}{n-1}}\right)$ つまり $\forall n>1$

注記

↑ Weisstein, Eric W. "Haversine" . MathWorld . Wolfram Research, Inc. 2005年3月10日のオリジナルからアーカイブ済み。 2015年11月6日取得。
1 2 3 4 Wilf, Herbert R. (1994). generatingfunctionology (PDF) . Academic Press, Inc.
1 2 3 4 「理論計算機科学のチートシート」(PDF)。
↑
関数のフーリエ展開を計算します $f(x)={\frac {\pi }{4}}$ $f(x)={\frac {\pi }{4}}$ インターバル中に $0<x<\pi$ $0<x<\pi$ :
- ${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\sin[nx]+d_{n}\cos[nx]$
$\Rightarrow {\begin{cases}c_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{n}}\quad (n{\text{ odd}})\\0\quad (n{\text{ even}})\end{cases}}\\d_{n}=0\quad (\forall n)\end{cases}}$ $\Rightarrow {\begin{cases}c_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{n}}\quad (n{\text{ 奇数 }})\\0\quad (n{\text{ 偶数 }})\end{cases}}\\d_{n}=0\quad (\forall n)\end{cases}}$
↑ 「ベルヌーイ多項式：級数表現（06/02節）」。Wolfram Research 。 2011年6月2日取得。
↑ホフバウアー、ヨーゼフ。「1 + 1/2 ² + 1/3 ² + · · · = $π$ ² /6 および関連する恒等式の簡単な証明」 (PDF) 。2011年6 月 2 日に取得。
↑ Sondow, Jonathan; Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function (eq. 52)" . MathWorld —A Wolfram Web Resource .
↑アブラモウィッツ、ミルトン；ステガン、アイリーン（1964）。「6.4 ポリガンマ関数」。数式、グラフ、数表を含む数学関数ハンドブック。クーリエ・コーポレーション。p . 260。ISBN 0-486-61272-4。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

参考文献

積分の一覧が掲載されている多くの書籍には、級数の一覧も掲載されている。

[Weisstein_hav-1] Weisstein, Eric W. "Haversine" . MathWorld . Wolfram Research, Inc. 2005年3月10日のオリジナルからアーカイブ済み。 2015年11月6日取得。

[gfo-2] 1 2 3 4 Wilf, Herbert R. (1994). generatingfunctionology (PDF) . Academic Press, Inc.

[ctcs-3] 1 2 3 4 「理論計算機科学のチートシート」(PDF)。

[4] 関数のフーリエ展開を計算します $f(x)={\frac {\pi }{4}}$ インターバル中に $0<x<\pi$ :
${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\sin[nx]+d_{n}\cos[nx]$
$\Rightarrow {\begin{cases}c_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{n}}\quad (n{\text{ odd}})\\0\quad (n{\text{ even}})\end{cases}}\\d_{n}=0\quad (\forall n)\end{cases}}$

[mwAk8] ${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\sin[nx]+d_{n}\cos[nx]$

[5] 「ベルヌーイ多項式：級数表現（06/02節）」。Wolfram Research 。 2011年6月2日取得。

[6] ホフバウアー、ヨーゼフ。「1 + 1/2 ² + 1/3 ² + · · · = $π$ ² /6 および関連する恒等式の簡単な証明」 (PDF) 。2011年6 月 2 日に取得。

[7] Sondow, Jonathan; Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function (eq. 52)" . MathWorld —A Wolfram Web Resource .

[8] アブラモウィッツ、ミルトン；ステガン、アイリーン（1964）。「6.4 ポリガンマ関数」。数式、グラフ、数表を含む数学関数ハンドブック。クーリエ・コーポレーション。p . 260。ISBN 0-486-61272-4。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

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数学的級数の一覧

べき乗の和

パワーシリーズ

低次多項式対数

指数関数

三角関数、逆三角関数、双曲線関数、および逆双曲線関数の関係

修正階乗分母

二項係数

調和数

楕円関数

二項係数

三角関数

団結の根源

有理関数

指数関数

数値シリーズ

交代高調波列

交代等差数列

階乗の逆数の和

三角法とπ

正四面体数の逆数

指数関数と対数関数

関連項目

注記

参考文献

関連するトピック

Zero to the power of zero

はベルヌーイ多項式

ベルヌーイ数で

はオイラー数