基本的な超幾何級数

数学において、基本超幾何級数、またはq超幾何級数は、一般化超幾何級数のq類似一般化であり、さらに楕円超幾何級数によって一般化されます。級数x _{n は}、連続する項x _{n +1} / x _nの比がnの有理関数である場合に超幾何級数と呼ばれます。連続する項の比がq ⁿの有理関数である場合、その級数は基本超幾何級数と呼ばれます。数qは底と呼ばれます。

基本的な超幾何級数${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(q^{\alpha },q^{\beta };q^{\gamma };q,x)}$エドゥアルト・ハイネ（1846年）によって初めて考察された。これは超幾何級数となる。 ${\displaystyle F(\アルファ ,\ベータ$ ;\gamma ;x)} 極限では、基底${\displaystyle q=1}$。

基本超幾何級数には、片側基本超幾何級数φ と、より一般的な両側基本超幾何級数ψ の 2 つの形式があります。片側基本超幾何級数は次のように定義されます。

${\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+kj}z^{n}}$

どこ

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}$

そして

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

はqシフトされた階乗です。最も重要な特殊なケースはj = k + 1 の場合で、その場合は次のようになります。

${\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.}$

この数列は、a ₁ ... a _{k + 1} = b ₁ ... b _k qの場合、バランスが取れていると呼ばれます。この数列は、 a ₁ q = a ₂ b ₁ = ... = a _{k + 1} b _kの場合、バランスが取れていると呼ばれ、さらに a ₂ = − a ₃ = qa ₁ ^{1/2の場合、}非常にバランスが取れていると呼ばれます。片側基本超幾何級数は、超幾何級数の q 類似物です。

${\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+kj}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]}$

（Koekoek & Swarttouw (1996)）が成り立つ。両側超幾何級数に対応する両側基本超幾何級数は、 次のように定義される。

${\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{kj}z^{n}.}$

最も重要な特殊ケースはj = kの場合で、

${\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}$

片側級数は、少なくともa変数のいずれもqのべき乗でない場合、 b変数の1つをqに等しく設定することにより、両側級数の特殊なケースとして得られます。なぜなら、 n < 0のすべての項が消滅するからです。

いくつかの単純な数列表現には、

${\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }$

そして

${\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }$

そして

${\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}$

q-二項定理（1811年にハインリヒ・アウグスト・ローテによって初めて発表された）^{[ 1 ] [ 2 ]}は、 $${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}.}$$ この恒等式を繰り返し適用することで証明できる。 $${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).}$$ いつ${\textstyle a=q^{-N}}$はqの負の整数乗であり、超幾何級数は有限であり、有限形式が回復される。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)}$$q-二項定理（コーシー二項定理とも呼ばれる） の。 ^{[ 3 ]} ここで${\displaystyle {\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}}$はq二項係数です。

a  =  0の特殊なケースは、 q指数関数と密接に関係している。

シュリニヴァーサ・ラマヌジャンはアイデンティティを与えた $${\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}$$| q | < 1 および | b / a | < | z | < 1 の 場合に有効。同様の恒等式は      ${\displaystyle \;_{6}\psi _{6}}$これらはベイリーによって与えられたものである。このような恒等式は、q級数を用いて次のように書けるヤコビの三重積定理の一般化と理解できる。

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.}$

グウィネス・クーガンとケン・オノは関連する形式的冪級数を与えている^{[ 4 ]}

${\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}$

超幾何級数に対するバーンズ積分の類似物として、ワトソンは以下を示した。

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds}$

極が${\displaystyle (aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}$極は等高線の左側にあり、残りの極は右側にあります。_{r +1} φ _rについても同様の等高線積分があります。 この等高線積分は、zに関する基本的な超幾何関数の解析接続を与えます。

基本的な超幾何行列関数は、次のように定義できます。

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).}$

比率判定により、この行列関数は絶対収束することが示される。^{[ 5 ]}

• ディクソンの正体
• ロジャース・ラマヌジャン恒等式

• Andrews, GE (2010)、「q-超幾何関数および関連関数」、Olver, Frank WJ、Lozier, Daniel M.、Boisvert, Ronald F.、Clark, Charles W. (編)、NIST 数学関数ハンドブック、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-19225-5MR 2723248​ 。
• WN Bailey、「一般化超幾何級数」（1935年）、ケンブリッジ数学・数理物理学論文集、第32号、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ。
• William YC Chen および Amy Fu、「両側基本超幾何級数の半有限形式」（2004 年）
• Exton , H. (1983), q-超幾何関数とその応用, ニューヨーク: Halstead Press, チチェスター: Ellis Horwood, ISBN 0853124914ISBN ​ 0470274530ISBN​ 978-0470274538
• シルヴィー・コルティールとジェレミー・ラブジョイ、「フロベニウス分割とラマヌジャンの組み合わせ論」${\displaystyle \,_{1}\psi _{1}}$総和
• Fine, Nathan J. (1988)、「基本的な超幾何級数とその応用」、Mathematical Surveys and Monographs、第27巻 、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-1524-3MR 0956465​ 
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004)、「基本的な超幾何級数」、数学とその応用百科事典、第 96巻（第2 版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-83357-8MR 2128719​ 
• ハイネ、エドゥアルト (1846)、「ユーバー ディ ライヘ」${\displaystyle 1+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\beta }-1)}{(q-1)(q^{\gamma }-1)}}x+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\alpha +1}-1)(q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q^{\gamma +1}-1)}}x^{2}+\cdots }$"、数学ジャーナル、32 : 210–212
• Victor Kac、Pokman Cheung、『量子微積分』、Universitext、Springer-Verlag、2002年。ISBN 0-387-95341-8
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• Andrews, GE、Askey, R.、Roy, ​​R. (1999)。特殊関数、数学とその応用百科事典、第71巻、ケンブリッジ大学出版局。
• Eduard Heine、Theorie der Kugelfunctionen、(1878) 1、97–125ページ。
• エドゥアルド・ハイネ、クーゲル機能を備えたハンドブーフ。 Theorie und Anwendung (1898) シュプリンガー、ベルリン。

• Weisstein, Eric W. 「q-超幾何関数」 . MathWorld .