追加

加算（通常はプラス記号 +で表されます）は算術の4 つの基本演算の 1 つで、他の 3 つは減算、乗算、除算です。^{[2] 2 つの}整数を加算すると、それらの値を組み合わせた合計値または合計値が得られます。次の画像の例では、リンゴ 3 個とリンゴ 2 個が 2 列に並んでおり、合計でリンゴが 5 個になっています。この観察結果は、数式「3 + 2 = 5」（つまり、「3プラス2 は5 に等しい」）に相当します。

項目を数えること以外に、加算は具体的なオブジェクトを参照せずに、整数、実数、複素数などの数値と呼ばれる抽象化を使用して定義および実行することもできます。加算は、数学の分野である算術に属します。数学の別の分野である代数では、ベクトル、行列、部分空間、部分群などの抽象的なオブジェクトに対しても加算を実行できます。

加算には、いくつかの重要な特性があります。加算は可換性があり、つまり被演算子の順序は重要ではありません。また、加算は結合性があり、つまり 3 つ以上の数を加算する場合、加算を実行する順序は重要ではありません。1 を繰り返し加算することは、カウントすることと同じです ( Successor 関数を参照)。0 を加算しても数は変わりません。加算は、減算や乗算などの関連演算に関する規則にも従います。

足し算は、最も簡単な数値計算の 1 つです。非常に小さな数の足し算は幼児でもできます。最も基本的な1 + 1 は、生後 5 か月の乳児でも実行でき、他の動物種の一部でも実行できます。初等教育では、 10 進法で数を足す方法を生徒に教えます。最初は 1 桁から始めて、徐々に難しい問題に取り組みます。機械的な補助手段は、古代のそろばんから現代のコンピューターまで多岐にわたり、最も効率的な足し算の実装に関する研究は今日まで続いています。

加算は項の間にプラス記号「+」を使用して記述されます。 ^[3]つまり、中置記法です。結果は等号で表されます。たとえば、

${\displaystyle 1+2=3}$（「1 プラス 2 は 3 です」）

${\displaystyle 5+4+2=11}$（下記の「結合性」を参照）

${\displaystyle 3+3+3+3=12}$（下記の「乗算」を参照）

記号が表示されていなくても、加算が「理解」される状況もあります。

• 整数の直後に分数が続くと、その2つの数の合計を表し、帯分数と呼ばれます。^[4]たとえば、この表記法は混乱を招く可能性があります。なぜなら、他のほとんどの文脈では、並置は代わりに乗算を表すからです。^[5]$${\displaystyle 3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3.5.}$$

一連の関連する数値の合計は、反復を簡潔に表す大文字シグマ表記法で表すことができます。たとえば、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.}$

一般的な加算で加算される数や対象は、総称して項[ ^{6] 、}加数[ ^{7] [8] [9]}または被加数^[10]と呼ばれます。この用語は、複数の項の加算にも適用されます。これは、乗算される因数とは区別されます。一部の著者は、最初の加数を被加数と呼んでいます。^{[7] [8] [9]}実際、ルネッサンス時代には、多くの著者が最初の加数を「加数」とはまったく考えませんでした。今日では、加算の交換法則により、「被加数」はほとんど使用されておらず、両方の用語が一般に加数と呼ばれています。^[11]

上記の用語はすべてラテン語に由来しています。英語の「addition」と「add」はラテン語の動詞 addereから派生した単語で、これはさらに「〜に」を意味するadと「〜に与える」を意味するdareの合成語で、インド・ヨーロッパ祖語の語根*deh₃-「〜に与える」に由来しています。したがって、to addは〜に与えることです。^[11]動名詞接尾辞-ndを使用すると、「addend」（追加するもの）になります。^{[a]同様に、「〜を増やす」を意味する}augereから、「augend」（増やすもの）が得られます。

「合計」と「加算される」は、ラテン語の名詞 summa「最高の、最上位」と、それに関連する動詞summareに由来する。この語が適切なのは、2 つの正の数の合計がどちらよりも大きいからというだけでなく、古代ギリシャ人やローマ人は、現代の下向きの加算とは対照的に、上向きの加算が一般的だったため、合計は文字通り加数の一番上にあったからである。^[13] addereとsummare は、少なくともボエティウス、あるいはウィトルウィウスやフロンティヌスなどの初期のローマ人著述家にまで遡る。ボエティウスは加算演算に他の用語もいくつか使用した。後の中英語の用語「adden」と「adding」は、チョーサーによって普及した。^[14]

プラス記号「+」（Unicode :U+002B; ASCII :）はラテン語のet+の略語で、「and」を意味します。^[15]少なくとも1489年まで遡る数学の著作に登場します。^[16]

加算は多くの物理プロセスをモデル化するために使用されます。自然数を加算するという単純なケースでも、さまざまな解釈が可能であり、視覚的な表現も数多くあります。

おそらく、加算の最も基本的な解釈は、集合を組み合わせることにあります。

• 2 つ以上の分離したコレクションが 1 つのコレクションに結合されると、その 1 つのコレクション内のオブジェクトの数は、元のコレクション内のオブジェクトの数の合計になります。

この解釈は視覚化が容易で、曖昧さの危険性もほとんどありません。高等数学でも有用です（この解釈から導かれる厳密な定義については、以下の§自然数を参照してください）。しかし、この加算バージョンを小数や負の数に拡張する方法は明らかではありません。^[17]

1つの解決策としては、パイや、さらに良い方法としてはセグメント化された棒など、簡単に分割できるオブジェクトのコレクションを検討することです。^[18]セグメントのコレクションを単に組み合わせるのではなく、棒を端から端まで結合することができます。これは、棒ではなく棒の長さを加算するという、別の加算の概念を示しています。

加算の 2 番目の解釈は、最初の長さを指定された長さだけ拡張することから生じます。

• 元の長さが一定量延長されると、最終的な長さは元の長さと延長した長さの合計になります。^[19]

和a + b は、代数的な意味では、aとb を組み合わせた二項演算として解釈することも、 aにb個以上の単位を追加したものとして解釈することもできます。後者の解釈では、和a + bの各部分は非対称の役割を果たしており、演算a + bは単項演算+ b をaに適用するものとみなされます。^{[20]この場合、} aとb の両方を加数と呼ぶのではなく、 a を被加数と呼ぶ方が適切です。これは、a が受動的な役割を果たしているためです。単項の見方は減算について議論するときにも役立ちます。なぜなら、各単項加算演算には逆の単項減算演算があり、その逆もまた同様だからです。

加算は可換であり、つまり、加算の項の順序を変えても同じ結果になる。記号的に言えば、aとbが任意の2つの数であれば、

a + b = b + aです。

加算が交換可能であるという事実は、「加算の交換法則」または「加算の交換特性」として知られています。乗算など、他のいくつかの二項演算は交換可能ですが、減算や除算など、他の多くの演算は交換可能ではありません。

加算は結合法則に従っています。つまり、3 つ以上の数値を加算する場合、演算の順序によって結果が変わることはありません。

たとえば、式a + b + c は、 ( a + b ) + cと定義するべきでしょうか、それともa + ( b + c ) と定義するべきでしょうか。加算は結合的であるため、定義の選択は重要ではありません。任意の 3 つの数a、b、cについて、 ( a + b ) + c = a + ( b + c )は真です。たとえば、(1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) です。

加算を他の演算と組み合わせて使用​​する場合は、演算の順序が重要になります。標準的な演算順序では、加算は累乗、n乗根、乗算、除算よりも優先順位が低くなりますが、減算と同等の優先順位が与えられます。^[21]

任意の数にゼロを加えても、その数は変化しません。つまり、ゼロは加算の単位元であり、加法単位元としても知られています。記号では、任意のaに対して、

a + 0 = 0 + a = a .

この法則は、紀元628年にブラフマグプタの『ブラフマスプタシッダーンタ』で初めて特定されたが、彼はこれをaが負か正かゼロそのものかによって3つの別々の法則として書き、代数記号ではなく言葉を使った。その後インドの数学者がこの概念を洗練し、830年頃、マハヴィーラは「ゼロはそれに足されたものと同じになる」と書き、単項式0 + a = aに対応する。12世紀には、バースカラは「暗号の加算または減算では、正か負かにかかわらず、量は同じままである」と書き、単項式a + 0 = aに対応する。^[22]

整数の文脈では、1の加算も特別な役割を果たします。任意の整数aについて、整数( a + 1)はaより大きい最小の整数であり、 aの後続数とも呼ばれます。^[23]たとえば、 3 は 2 の後続数であり、 7 は 6 の後続数です。この後続のため、a + bの値はaのb番目の後続数と見なすこともできます。これにより、加算は反復後続になります。たとえば、6 + 2は 8 です。これは、 8 が 7 の後続数であり、 7 が 6 の後続数であるため、 8 は 6 の 2 番目の後続数になるからです。

単位を持つ物理量を数値的に加算するには、共通の単位で表す必要があります。^[24]たとえば、150 ミリリットルに 50 ミリリットルを加えると 200 ミリリットルになります。ただし、5 フィートの測定値を 2 インチ延長すると、合計は 62 インチになります。これは、60 インチが 5 フィートと同義であるためです。一方、3 メートルと 4 平方メートルを加算しようとするのは、通常意味がありません。これらの単位は比較できないためです。このような考慮は、次元解析の基本です。^[25]

1980 年代頃から始まった数学的発達に関する研究では、慣れという現象が利用されてきた。つまり、乳児は予期しない状況をより長く見つめる。^[26] 1992 年にカレン・ウィンが行った、スクリーンの後ろで操作されたミッキーマウス人形を使った独創的な実験では、生後 5 か月の乳児は1 + 1が 2 であると予想しており、物理的な状況から 1 + 1が 1 か 3 であると示唆されるような場合には比較的驚くことが実証された。この発見は、その後、さまざまな研究室でさまざまな方法論を用いて確認されている。^{[27] 1992 年に 18 か月から 35 か月の年長の}幼児を対象に行われた別の実験では、運動制御の発達を利用して、箱からピンポン玉を取り出させたところ、最年少の被験者は小さな数字によく反応し、年長の被験者は 5 までの合計を計算することができた。^[28]

人間以外の動物、特に霊長類の中には、足し算の能力が限られているものもいる。1995年に行われた、ウィンの1992年の結果を模倣した実験（人形の代わりにナスを使用）では、アカゲザルとワタボウシタマリンの成績は人間の幼児と同等だった。さらに劇的なことに、1頭のチンパンジーはアラビア数字の0から4の意味を教えられた後、それ以上の訓練なしで2つの数字の合計を計算できた。^[29]最近では、アジアゾウが基本的な算数を行う能力を示した。^[30]

通常、子供はまず数を数えることを習得します。2 つのアイテムと 3 つのアイテムを組み合わせる問題が与えられると、幼い子供は物理的なオブジェクト (多くの場合、指や絵) で状況をモデル化し、合計を数えます。経験を積むにつれて、子供は「数え上げ」の戦略を習得または発見します。つまり、2 プラス 3 を求めるように言われると、子供は 2 を 3 数えて「3、4、5」と言い(通常は指を数えます)、5 にたどり着きます。この戦略はほぼ普遍的であるように思われ、子供は仲間や教師から簡単に習得できます。^[31]ほとんどの子供は独自にそれを発見します。さらに経験を積むと、子供は加算の交換法則を利用して、大きい数から数え上げ、この場合は 3 から始めて「4、5」と数えることで、より速く加算することを学びます。やがて子供は、経験または暗記によって、特定の加算の事実 (「数の結合」)を思い出し始めます。いくつかの事実が記憶に定着すると、子供は既知の事実から未知の事実を導き出し始めます。例えば、6と7を足し算するように言われた子供は、6 + 6 = 12であることを知っていて、 6 + 7は1つ多い、つまり13であると推論するかもしれません。 ^[32]このような導き出された事実は非常に早く見つけることができ、ほとんどの小学生は最終的に暗記した事実と導き出された事実の組み合わせに頼って流暢に足し算をします。^[33]

国によって整数や算数を導入する年齢は異なり、多くの国では幼稚園で足し算を教えています。^[34]しかし、世界中で足し算は小学校1年生の終わりまでに教えられています。^[35]

子どもたちは、0 から 9 までの数字のペアの足し算表を暗記するようよく教えられます。

10進法の加算の前提条件は、100個の1桁の「加算の事実」を流暢に思い出したり導出したりすることです。すべての事実を暗記することもできますが、パターンベースの戦略の方が啓発的で、ほとんどの人にとってより効率的です。^[36]

• 交換法則: 前述のように、パターンa + b = b + a を使用すると、「加算事実」の数が 100 から 55 に減少します。
• 1つまたは2つ追加：1つまたは2つを追加することは基本的な作業であり、数え上げたり、最終的には直感で達成することができます。^[36]
• ゼロ: ゼロは加法単位元なので、ゼロを足すことは簡単です。しかし、算数の指導では、加算は常に加数を増やすプロセスとして紹介される生徒もいます。文章題は、ゼロの「例外」を合理化するのに役立つかもしれません。^[36]
• 倍数：ある数をそれ自身に加えることは、2で数えることや掛け算と関連している。倍数に関する事実は、多くの関連する事実のバックボーンを形成しており、生徒は比較的簡単に理解できる。^[36]
• ほぼ倍数：6 + 7 = 13のような合計は、倍数である6 + 6 = 12に1を足すか、7 + 7 = 14から1を引くことで簡単に導き出すことができます。^[36]
• 5と10 : 5 + xと10 + xの形式の合計は通常、早い段階で記憶され、他の事実を導き出すために使用できます。たとえば、6 + 7 = 13は、5 + 7 = 12に1を加えることで導き出されます。 ^[36]
• 10を作る：上級戦略では、8または9を含む合計の中間として10を使用します。たとえば、8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14です。^[36]

生徒は成長するにつれて、より多くの事実を記憶し、他の事実を素早く流暢に導き出すことを学びます。多くの生徒はすべての事実を記憶することはできませんが、基本的な事実は素早く見つけることができます。^[33]

複数桁の数字を加算する標準的なアルゴリズムは、加数を垂直に揃え、右側の 1 の列から始めて列を加算することです。列が 9 を超える場合、余分な桁は次の列に「繰り上がり」ます。たとえば、27 + 59の加算では、

  ¹
  27
+ 59
————
  86

7 + 9 = 16 となり、数字 1 が繰り上がりです。^[b]代替戦略として、左側の最上位の数字から加算を開始します。この方法では繰り上がりが少し面倒になりますが、合計の大まかな見積もりを得るのが速くなります。代替方法はたくさんあります。

20世紀末以降、TERCを含むいくつかの米国のプログラムは、カリキュラムから従来の編入方式を削除することを決定しました。^[37]この決定は批判され、^[38]一部の州や郡がこの実験を支持しなかったのはそのためです。

小数は、上記の手順を少し変更するだけで足し算できます。^[39] 2つの小数を、小数点が同じ位置になるように上下に並べます。必要に応じて、短い小数の末尾にゼロを追加して、長い小数と同じ長さにすることができます。最後に、上記と同じ加算手順を実行しますが、小数点は、加数と同じ位置に答えの中に置かれます。

たとえば、45.1 + 4.34 は次のように解くことができます。

   4 5 . 1 0
+ 0 4 . 3 4
———————————
   4 9 . 4 4

科学的記数法では、数値は の形式で表記されます。ここでは仮数部、は指数部です。加算では、科学的記数法の 2 つの数値を同じ指数部を使用して表す必要があります。これにより、2 つの仮数を単純に加算できます。 ${\displaystyle x=a\times 10^{b}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 10^{b}}$

例えば：

${\displaystyle 2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}}$

他の基数での加算は10進数の加算と非常によく似ています。例として、2進数の加算を考えてみましょう。^[40] 2つの1桁の2進数を加算するのは、繰り上がりの形式を使うと比較的簡単です。

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0、繰り上がり1（1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 ¹ )なので）

2 つの「1」の数字を加算すると「0」の数字が生成されますが、次の列に 1 を追加する必要があります。これは、10 進数で特定の 1 桁の数字を加算したときに発生する動作に似ています。結果が基数 (10) の値と等しいかそれを超える場合、左側の数字が増加します。

5 + 5 → 0、繰り上がり1（5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 ¹ )なので）

7 + 9 → 6、繰り上がり 1 (7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 ¹ ) なので)

これは繰り上がりと呼ばれます。^[41]加算の結果が桁の値を超える場合、その超過分を基数で割った値 (つまり 10/10) を左に「繰り上がり」、次の桁の値に加算します。次の桁の重みは基数に等しい係数だけ大きいため、これは正しい動作です。2 進数でも繰り上がりは同じです。

  1 1 1 1 1 (繰り上がり数字)
    0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36

_{この例では、2 つの数字 01101 2} (13 ₁₀ ) と 10111 ₂ (23 ₁₀ )が加算されます。上の行は、使用される繰り上がりビットを示しています。右端の列から始めて、1 + 1 = 10 ₂です。1 は左に繰り上がり、0 は右端の列の一番下に書き込まれます。右から 2 番目の列を加算します。再び1 + 0 + 1 = 10 ₂で、1 が繰り上がり、0 が一番下に書き込まれます。3 番目の列: 1 + 1 + 1 = 11 ₂。今回は 1 が繰り上がり、一番下の行に 1 が書き込まれます。このように進めると、最終的な答えは 100100 ₂ (36 ₁₀ ) になります。

アナログコンピュータは物理量を直接扱うため、その加算メカニズムは加数の形式に依存する。機械式加算器は2つの加数をスライディングブロックの位置として表す場合があり、その場合、平均化 レバーを使用して加算することができる。加数が2つのシャフトの回転速度である場合、差動を使用して加算することができる。油圧式加算器は、ニュートンの第2法則を利用してピストンの集合体にかかる力を均衡させることにより、2つのチャンバー内の圧力を加算することができる。汎用アナログコンピュータの最も一般的な状況は、2つの電圧（接地を基準とする）を加算することである。これは大まかに抵抗ネットワークで実現できるが、より優れた設計ではオペアンプを利用する。^[42]

加算はデジタルコンピュータの動作の基本でもあり、加算の効率、特に桁上げのメカニズムは全体的なパフォーマンスに対する重要な制限となります。

そろばんは、計算用具とも呼ばれ、現代の記数法が採用される何世紀も前から使われていた計算道具であり、現在でもアジア、アフリカ、その他の地域の商人、貿易商、事務員によって広く使われている。その歴史は少なくとも紀元前2700～2300年頃にシュメールで使われていたとされる。^[43]

ブレーズ・パスカルは1642年に機械式計算機を発明した。[ ^44]これは世界初の実用的な加算機であった。重力を利用した桁上げ機構を利用していた。17世紀に唯一実際に機能する機械式計算機であり^[45]、最古の自動デジタル計算機でもあった。パスカルの計算機は桁上げ機構によって制限されており、加算するには車輪が一方向にしか回転できなかった。減算するには、パスカル計算機の補数を使用する必要があり、加算と同じ手順が必要だった。ジョヴァンニ・ポレーニはパスカルの後を継ぎ、1709年に2番目の実用的な機械式計算機を製作した。これは木製の計算時計で、一度設定すれば2つの数を自動的に掛け算できるものであった。

電子デジタルコンピュータでは、加算器は通常2進演算を使用して整数加算を実行します。最も単純なアーキテクチャは、標準的な多桁アルゴリズムに従うリップルキャリー加算器です。わずかな改良点の1つは、やはり人間の直感に従うキャリースキップ設計です。999 + 1を計算するときにすべてのキャリーを実行するのではなく、9のグループをバイパスして答えにスキップします。^[46]

実際には、計算上の加算は、以下の疑似コードに示すように、ビットシフト演算と組み合わせた XOR およびANDビット単位の論理演算によって実現できます。XOR ゲートと AND ゲートはどちらもデジタル ロジックで簡単に実現できるため、全加算回路を実現でき、さらに複雑な論理演算に組み合わせることができます。現代のデジタル コンピュータでは、整数加算が通常最も高速な算術命令ですが、パフォーマンスに最も大きな影響を与えます。これは、整数加算がすべての浮動小数点演算の基礎となっているだけでなく、メモリアクセス中のアドレス生成や分岐中の命令のフェッチなどの基本的なタスクの基礎となっているためです。速度を上げるために、現代の設計では桁を並列に計算します。これらの方式は、キャリー選択、キャリー先読み、Ling疑似キャリーなどと呼ばれています。実際、多くの実装は、これら最後の 3 つの設計のハイブリッドです。^{[47] [48]}紙での加算とは異なり、コンピュータでの加算では加数が頻繁に変更されます。古代のそろばんと加算盤では、両方の加数が破壊され、合計だけが残ります。そろばんが数学的思考に与えた影響は非常に大きく、初期のラテン語のテキストでは、「数を数に足す」過程で両方の数が消えるとよく主張されていた。^[49]現代では、マイクロプロセッサのADD命令は、しばしば被加数を和で置き換えますが、加数は保持します。^[50]高水準プログラミング言語では、a + bを評価してもaもbも変更されません。aを和で置き換えることが目的の場合は、これを明示的に要求する必要があり、通常はステートメントa = a + bを使用します。CやC++などの一部の言語では、これをa += bと省略できます。

// 反復アルゴリズム
int add ( int x , int y ) { int carry = 0 ; while ( y != 0 ) { car​​ry = AND ( x , y ); // 論理 AND x = XOR ( x , y ); // 論理 XOR y = carry << 1 ; // 左ビットシフト 1 つ繰り上がる} return x ; }     
       
              
              
                  
                  
    
      


// 再帰アルゴリズム
int add ( int x , int y ) { return x if ( y == 0 ) else add ( XOR ( x , y ), AND ( x , y ) << 1 ); }     
                

コンピュータでは、加算の結果が大きすぎて保存できない場合、算術オーバーフローが発生し、誤った答えが返されます。予期しない算術オーバーフローは、プログラムエラーのかなり一般的な原因です。このようなオーバーフローバグは、検証テストで使用される可能性が低い非常に大きな入力データセットでのみ現れる可能性があるため、発見と診断が難しい場合があります。^[51] 2000年問題は、年に2桁形式を使用したためにオーバーフローエラーが発生した一連のバグでした。^[52]

加算の通常の性質を証明するには、まず問題となっている文脈で加算を定義する必要がある。加算はまず自然数で定義される。集合論では、加算は自然数、つまり整数、有理数、実数を含むより大きな集合に徐々に拡張される。^[53]（数学教育では、^[54]正の分数は負の数を考慮する前に加算される。これは歴史的なやり方でもある。^[55]）

2 つの自然数aとb の和を定義する一般的な方法は 2 つあります。自然数を有限集合の基数として定義する場合(集合の基数は集合内の要素の数です)、それらの和を次のように定義するのが適切です。

• 集合Sの濃度をN( S )とする。2つの互いに素な集合AとBをとり、N( A ) = a、N( B ) = bとする。このときa + bは次のように定義される。^[56]${\displaystyle N(A\cup B)}$

ここで、A ∪ B はAとBの和集合です。この定義の別のバージョンでは、 AとB が重なり合う可能性があるとして、それらの互いに素な和集合をとります。このメカニズムにより、共通要素を分離して 2 回カウントできるようになります。

もう一つの一般的な定義は再帰的です。

• n ^{+ を}nの次の数、つまり自然数の中でnに続く数とすると、 0 + = 1 、 1 + = 2 となる。a + ⁰ = aと^定義する。一般和を a + ( b + ) = ( a + b ) + と再帰的に定義する。したがって1 ⁺ 1 = 1 + 0 ⁺ = ( ^{1 +} 0 ) ⁺ = 1 ⁺ = 2となる。^[57]

文献ではこの定義にも若干の違いがある。文字通りに解釈すると、上記の定義は部分順序集合N ²への再帰定理の適用である。^[58]一方、一部の文献では、自然数の集合にのみ適用される制限付き再帰定理の使用を好んでいる。この場合、a は一時的に「固定」されているとみなし、bに再帰を適用して関数「a  +」を定義し、これらの単項演算をすべてのaに対して貼り付けて完全な二項演算を形成する。^[59]

この加法の再帰的定式化は、1854年にデデキントによって開発され、その後数十年にわたって彼はそれを拡張しました。^[60]彼は数学的帰納法を通じて、結合法則や交換法則などを証明しました。

整数の最も単純な概念は、絶対値（自然数）と符号（通常は正または負）で構成されるというものです。整数ゼロは、正でも負でもない特別な第 3 のケースです。対応する加算の定義は、ケースごとに進めなければなりません。

• 整数nについて、 | n | をその絶対値とする。aとbを整数とする。aかb のどちらかが 0 の場合は、それを恒等式として扱う。aとbがともに正の場合、a + b = | a | + | b |と定義する。aとbがともに負の場合、a + b = −(| a | + | b |)と定義する。aとb の符号が異なる場合、a + b を| a | と | b |の差として定義し、絶対値の大きい方の項の符号をとる。^[61]例として、−6 + 4 = −2 である。 −6 と 4 は符号が異なるため、それらの絶対値が減算され、負の項の絶対値の方が大きいため、答えは負になる。

この定義は具体的な問題には役立つが、考慮すべきケースの数が多いため、証明が不必要に複雑になる。そのため、整数の定義には次の方法が一般的に用いられる。これは、すべての整数は2つの自然数の差であり、そのような差a – bとc – dは、 a + d = b + cの場合にのみ等しいという意見に基づく。したがって、整数を、同値関係の下での自然数の順序付きペアの同値類として形式的に定義することができる。

( a , b ) ~ ( c , d )は、 a + d = b + cの場合にのみ成り立ちます。

( a , b )の同値類には、 a ≥ bの場合は( a – b , 0)が含まれ、それ以外の場合は(0, b – a )が含まれます。nが自然数の場合、+ n で( n , 0)の同値類を表し、– nで(0, n )の同値類を表します。これにより、自然数n を同値類+ nと同一視できます。

順序付きペアの加算はコンポーネントごとに行われます。

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$

簡単な計算により、結果の同値類は加数の同値類のみに依存し、したがってこれは同値類、つまり整数の加算を定義することがわかります。^[62]別の簡単な計算により、この加算は上記のケース定義と同じであることがわかります。

整数を自然数のペアの同値類として定義するこの方法は、相殺特性を持つ任意の可換半群をグループに埋め込むために使用できます。ここで、半群は自然数によって形成され、グループは整数の加法群です。有理数も同様に、乗算を伴う非ゼロの整数を半群として構成されます。

この構成は、グロタンディーク群という名前で、任意の可換半群の場合にも一般化されています。相殺特性がなければ、半群から群への半群準同型は非単射になる可能性があります。もともと、グロタンディーク群は、より具体的には、直和を半群演算として、アーベルカテゴリのオブジェクトの同型の下での同値類にこの構成を適用した結果でした。

有理数の加算は最小公分母を使用して計算できますが、概念的により単純な定義では整数の加算と乗算のみが含まれます。

• 定義する${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

例として、合計。 ${\displaystyle {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}}$

分数の足し算は分母が同じであればずっと簡単です。この場合は分母をそのままにして分子を足すだけで済みます。つまり、となります。^[63]${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}}$

有理数の加算の交換性と結合性は整数算術の法則から容易に導かれる。^[64]より厳密で一般的な議論については分数の体を参照。

実数集合の一般的な構成は、有理数集合のデデキント完備化です。実数は、有理数のデデキント切断として定義されます。これは、下向きに閉じており、最大元を持たない空でない有理数集合です。実数aとbの和は、要素ごとに定義されます。

• 定義する^[65]${\displaystyle a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}.}$

この定義は、わずかに修正された形で、1872年にリチャード・デデキントによって初めて出版されました。 ^[66] 実数の加法の交換性と結合性は明白です。実数 0 を負の有理数の集合として定義すると、それが加法の恒等式であることが簡単にわかります。おそらく、加法に関するこの構成で最も難しい部分は、加法の逆数の定義です。^[67]

残念ながら、デデキントカットの乗算は、符号付き整数の加算と同様に、ケースバイケースで時間のかかる処理です。^{[68]別のアプローチは、有理数の計量完備化です。実数は、基本的に、有理数の}コーシー列の極限、lim  a _nとして定義されます。加算は項ごとに定義されます。

• 定義する^[69]${\displaystyle \lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n}).}$

この定義は、1872年にゲオルク・カントールによって初めて発表されましたが、彼の形式主義は若干異なっていました。^[70] この演算がココーシー列を扱う上で明確に定義されていることを証明する必要があります。その作業が完了すると、実数の加算のすべての特性は有理数の特性から直ちに導かれます。さらに、乗算を含む他の算術演算には、単純で類似した定義があります。^[71]

複素数は加数の実数部と虚数部を加算することによって加算される。^{[72] [73]}つまり、

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.}$

複素数を複素平面で視覚化すると、加算には次のような幾何学的解釈ができます。複素平面の点として解釈される2 つの複素数AとBの和は、頂点が 3 つO、A、Bである平行四辺形を作成することによって得られる点Xです。同様に、X は、頂点がO、A、Bである三角形と、X、B、Aである三角形が合同である点です。

実数の加算演算の一般化として見ることができる二項演算は数多くあります。抽象代数の分野は、このような一般化された演算を主に扱っており、集合論や圏論にも登場します。

線型代数では、ベクトル空間は、任意の 2 つのベクトルを追加したり、ベクトルをスケーリングしたりできる代数構造です。よく知られているベクトル空間は、実数の順序付きペアすべての集合です。順序付きペア ( a、b ) は、ユークリッド平面の原点から平面の点 ( a、b )へのベクトルとして解釈されます。2 つのベクトルの和は、それぞれの座標を追加することで得られます。

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$

この加算演算は古典力学の中心的なものであり、古典力学では速度、加速度、力はすべてベクトルで表される。^[74]

行列の加算は、同じ次元の2つの行列に対して定義されます。2つのm × n（「エムバイエヌ」と発音）行列AとBの合計は、 A + Bで表され、対応する要素を加算することによって計算されるm × n^{行列です。 [75] [76]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$

例えば：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}}$

モジュラー算術では、利用可能な数の集合は整数の有限のサブセットに制限され、加算は法と呼ばれる特定の値に達すると「ラップアラウンド」します。たとえば、12 を法とする整数の集合には 12 個の要素があります。これは、音楽集合論の中心となる整数からの加算演算を継承しています。2 を法とする整数の集合には 2 個の要素しかありません。これが継承する加算演算は、ブール論理では「排他的論理和」関数として知られています。同様の「ラップアラウンド」演算は幾何学でも発生し、2 つの角度の測定値の合計は、 2π を法とする実数としての合計とみなされることがよくあります。これは円上の加算演算に相当し、多次元トーラス上の加算演算に一般化されます。

抽象代数の一般理論では、「加算」演算は集合上の任意の結合的かつ可換的な演算であるとみなされます。このような加算演算を含む基本的な代数構造には、可換モノイドとアーベル群が含まれます。

自然数の加法の広範囲な一般化は、集合論における順序数と基数の加法である。これらは、自然数の超限への加法の2つの異なる一般化を与える。ほとんどの加法演算とは異なり、順序数の加法は可換ではない。^{[77]しかし、基数の加法は、}分離和演算と密接に関連した可換演算である。

圏論では、非結合和は余積演算の特殊なケースと見なされており、^[78]一般余積はおそらく加法の一般化の中で最も抽象的です。直和やウェッジ和などの一部の余積は、加法との関連を想起させるために名前が付けられています。

加算は、減算、乗算、除算とともに基本的な演算の 1 つと考えられており、初等算術で使用されます。

減算は加算の一種、つまり加法逆関数の加算と考えることができます。減算自体は加算の一種の逆関数であり、x の加算とx の減算は逆関数です。

加算演算を持つ集合が与えられた場合、その集合に対応する減算演算を常に定義できるわけではありません。自然数の集合は簡単な例です。一方、減算演算は、加算演算、加法逆演算、加法単位元を一意に決定します。このため、加法群は減算に関して閉じた集合として記述できます。^[79]

乗算は繰り返し加算と考えることができます。単一の項x が合計にn回現れる場合、その合計はnとxの積です。n が自然数でない場合でも、積は意味をなすことがあります。たとえば、-1を掛けると、数の 加法逆数が得られます。

実数と複素数では、加算と乗算は指数関数によって入れ替えることができる：^[80]

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}e^{b}.}$

この恒等式により、対数表を参照して手動で加算を計算することで乗算を実行できます。また、計算尺で乗算することもできます。この公式は、リー群の広い文脈ではまだ良い一次近似であり、無限小群の要素の乗算と関連するリー代数のベクトルの加算を関連付けています。^[81]

乗算には、加算よりもさらに一般化されているものがある。^[82]一般に、乗算演算は常に加算に対して分配的である。この要件は、環の定義で形式化されている。整数などの一部のコンテキストでは、加算に対する分配性と乗法単位元の存在は、乗算演算を一意に決定するのに十分である。分配法則は、加算に関する情報も提供する。積(1 + 1)( a + b )を両方向に展開することにより、加算は必ず可換であるという結論が得られる。このため、環の加算は一般に可換である。^[83]

除算は加算と関係のある算術演算である。a / b = a ( b −1 ) なので、除算は加算に対して右^分配的である：( a + b ) / c = a / c + b / c。^[84]しかし、除算は加算に対して左分配的ではない。1 / (2 + 2) は1/2 + 1/2と同じではない。

最大値演算「max ( a , b )」は、加算に似た二項演算です。実際、2 つの非負数aとb が異なる桁数である場合、それらの合計は最大値にほぼ等しくなります。この近似は、テイラー級数の切り捨てなど、数学の応用では非常に便利です。ただし、基本的に「max」は逆変換できないため、数値解析では永続的な困難が生じます。b がaよりもはるかに大きい場合、 ( a + b ) − bの単純な計算では、許容できない丸め誤差が蓄積され、ゼロが返されることもあります。有意性の喪失も参照してください。

近似は、ある種の無限極限では正確になる。つまり、aかbのどちらかが無限基数であれば、それらの基数の合計は、2つのうち大きい方に正確に等しい。^[86]したがって、無限基数に対しては減算演算は存在しない。^[87]

最大化は加算と同様に、交換可能かつ結合的です。さらに、加算は実数の順序を維持するため、乗算が加算に分配されるのと同じように、加算は「max」に分配されます。

${\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c).}$

これらの理由から、トロピカル幾何学では、乗算を加算に、加算を最大化に置き換えます。この文脈では、加算は「トロピカル乗算」、最大化は「トロピカル加算」と呼ばれ、トロピカルの「加法恒等式」は負の無限大です。^[88]一部の著者は、加算を最小化に置き換えることを好みます。その場合、加法恒等式は正の無限大です。^[89]

これらの観察結果をまとめると、熱帯加算は対数を通じて通常の加算とほぼ関連していることがわかります。

${\displaystyle \log(a+b)\approx \max(\log a,\log b),}$

これは対数の底が大きくなるにつれてより正確になる。^{[90]この近似は、}量子力学のプランク定数に類似した定数hを抽出し、^[91] hがゼロに近づくにつれて「古典的極限」をとることによって正確に行うことができる。

${\displaystyle \max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).}$

この意味で、最大演算は加算の非量子化バージョンである。^[92]

増分は、後続演算とも呼ばれ、数値に 1を加算します。

和は、通常2つ以上の任意の数の加算を表します。これには、1つの数（それ自体）の和と、ゼロである空の和の概念が含まれます。^{[93]無限和は、}級数として知られる繊細な手順です。^[94]

有限集合を数えることは、その集合に 1 を足すことと同じです。

積分は連続体上の、またはより正確かつ一般的には微分可能多様体上の一種の「和」です。ゼロ次元多様体上の積分は和に還元されます。

線形結合は乗算と和を組み合わせたもので、各項に乗数（通常は実数または複素数）がある和です。線形結合は、ゲーム理論における戦略の混合や量子力学における状態の重ね合わせなど、単純な加算では何らかの正規化規則に違反するような状況で特に役立ちます。^[95]

畳み込みは分布関数によって定義される2つの独立したランダム変数を加算するために使用されます。その通常の定義は積分、減算、乗算を組み合わせたものです。^[96]一般に、畳み込みはドメイン側の加算の一種として有用であり、対照的にベクトル加算は範囲側の加算の一種です。

• 月の算術
• 暗算
• 並列加算（数学）
• 言葉による算数（暗号算数とも呼ばれる）、加算を伴うパズル