有理数

{\displaystyle \mathbb {Q} } — 有理数 $\mathbb {Q}$ 実数に含まれる $\mathbb {R}$ ⁠ 、これらは複素数に含まれています⁠ $\mathbb {C}$ ⁠、有理数には整数が含まれます。 $\mathbb {Z}$ ⁠、これには自然数が含まれます⁠ $\mathbb {N}$ ⁠ .

数学において、有理数とは、商または分数として表すことができる数のことである。 ${\tfrac {p}{q}}$ 2つの整数、分子 $p$ とゼロでない分母 $qから$ なる。^{[ 1 ]}例えば、 $\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$ は有理数であり、すべての整数（例えば、 $-5={\tfrac {-5}{1}}$ 有理数の集合はしばしば「有理数」[2]と呼ばれ、非ゼロの^{有理数による加算} 、減算、乗算、除算に関して閉じています。これらの演算に関して体であるため、有理数の体[ 3 ]または有理数の体とも呼ばれます。通常^、^太字^のQ 、 $または$ 黒板太字で表されます。 $\mathbb {Q} .$ ⁠

有理数は実数です。有理数である実数は、 10進数展開が有限桁で終了するか（例： $3/4 = 0.75$ ）、または最終的に同じ有限桁の列が繰り返し出現する数です（例： $9/44 = 0.20454545...$ ）。^[⁴^]この記述は、 10進数だけでなく、 2進数や16進数などの他のすべての整数基数でも真です（循環小数§他の基数への拡張を参照）。

有理数でない実数を無理数と呼ぶ。[ 5 ]^無理数には、2の平方根（ $\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 有理数の集合は可算集合であり、実数の^集合は非可算集合であるため、ほとんど $すべて$ の実数^は無理数である $。$ [ $1$ ^]

有理数体は、整数を含む唯一の体であり、整数を含む任意の体に含まれる。言い換えれば、有理数体は素体である。体の特性がゼロであるのは、その体が部分体として有理数を含む場合に限る。の有限拡大⁠ $\mathbb {Q}$ は代数的数体と呼ばれ、の代数的閉包は $\mathbb {Q}$ は代数的数の体である。^{[ 6 ]}

数学解析において、有理数は実数の稠密な部分集合を形成します。実数は、コーシー列、デデキント切断、または無限小数を用いて、有理数から補完によって構成することができます（実数の構成を参照）。

用語

数学では、「有理」はしばしば「有理数」の略語として名詞として用いられます。形容詞「有理」は、係数が有理数であることを意味する場合もあります。例えば、有理点とは、座標が有理数である点（つまり、座標が有理数である点）のことです。有理行列とは、有理数の行列のことですが、要素が有理関数である行列を指す場合もあります。有理多項式とは、係数が有理数である多項式のことですが、「有理式」と「有理関数」の混同を避けるため、一般的には「有理数上の多項式」という用語が好まれます（多項式は有理式であり、係数が有理数でなくても有理関数を定義します）。ただし、有理曲線は有理数上で定義された曲線ではなく、有理関数によってパラメータ化できる曲線のことです。

語源

今日では有理数は比率で定義されますが、 rational という用語はratioから派生したものではありません。むしろratioがrationalから派生したものです。ratioが現代的な意味で初めて英語で使用されたのは1660 年頃ですが^[⁷^] 、 rationalが数を表すために使われるようになったのはそれよりほぼ 1 世紀前の 1570 年です^[⁸^]。rationalのこの意味は、1551 年に初めて使用されたirrationalの数学的な意味に由来し、「ユークリッドの翻訳 (彼のἄλογοςの独特な使用法に倣って)」で使用されました^[⁹^]^[¹⁰^{] 。}

この異例の歴史は、古代ギリシア人が「そのような（非合理的な）長さを数として考えることを禁じることで異端を回避した」という事実に由来する。 ^{[ 11 ]}つまり、そのような長さは非論理的、つまり「語ってはならない」（ギリシア語でἄλογος ）という意味で非合理的であった。^[¹²^]

算術

既約分数

すべての有理数は、既約分数として一意的に表現できる。 ${\tfrac {a}{b}},$ ここで、 $a$ と $bは$ 互いに素な整数であり、 $b > 0で$ ある。これはしばしば有理数の標準形と呼ばれる。

有理数から始める ${\tfrac {a}{b}},$ その標準形は、 $a$ と $b$ の両方をそれらの最大公約数で割り、 $b < 0$ の場合は、結果として得られる分子と分母の符号を変えることによって得られます

整数の埋め込み

任意の整数 $n は$ 有理数として表すことができる ${\tfrac {n}{1}},$ これは、有理数としての標準形です。

平等

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

かつその場合に限り

ad=bc

両方の分数が標準形である場合、次のようになります。

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

かつその場合に限り

a=c

そして

b=d

^{[ 13 ]}

注文

両方の分母が正の場合（特に両方の分数が標準形の場合）：

{\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}

かつその場合に限り

ad<bc.

一方、分母のいずれかが負の場合は、負の分母を持つ各分数を、まず分子と分母の両方の符号を変えることによって、正の分母を持つ同等の形式に変換する必要があります。^{[ 13 ]}

追加

Two fractions are added as follows:

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.

If both fractions are in canonical form, the result is in canonical form if and only if $b, d$ are coprime integers.^[13]^[14]

Subtraction

{\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.

If both fractions are in canonical form, the result is in canonical form if and only if $b, d$ are coprime integers.^[14]

Multiplication

The rule for multiplication is:

\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}

where the result may be a reducible fraction—even if both original fractions are in canonical form.^[13]^[14]

Inverse

Every rational number ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ has an additive inverse, often called its opposite,

-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.

If ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ is in canonical form, the same is true for its opposite.

A nonzero rational number ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ has a multiplicative inverse, also called its reciprocal,

\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.}

If ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ is in canonical form, then the canonical form of its reciprocal is either ⁠ ${\tfrac {b}{a}}$ ⁠ or ⁠ ${\tfrac {-b}{-a}},$ ⁠ depending on the sign of $a$ .

Division

If $b, c, d$ are nonzero, the division rule is

{\frac {\,{\dfrac {a}{b}}\,}{\dfrac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.

Thus, dividing ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ by ⁠ ${\tfrac {c}{d}}$ ⁠ is equivalent to multiplying ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ by the reciprocal of ⁠ ${\tfrac {c}{d}}:$ ⁠^[14]

\displaystyle {\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.}

Exponentiation to integer power

If $n$ is a non-negative integer, then

\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.

The result is in canonical form if the same is true for ⁠ ${\tfrac {a}{b}}.$ ⁠ In particular,

\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.}

If $a \neq 0$ , then

\left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.

If ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ is in canonical form, the canonical form of the result is ⁠ ${\tfrac {b^{n}}{a^{n}}}$ ⁠ if $a > 0$ or $n$ is even. Otherwise, the canonical form of the result is ⁠ ${\tfrac {-b^{n}}{-a^{n}}}.$ ⁠

Continued fraction representation

A finite continued fraction is an expression such as

a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},

where $a n$ are integers. Every rational number ⁠ ${\tfrac {a}{b}}$ ⁠ can be represented as a finite continued fraction, whose coefficients $a n$ can be determined by applying the Euclidean algorithm to $(a, b)$ .

Other representations

common fraction: ⁠ $\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}$ ⁠
mixed numeral: ⁠ $2{\tfrac {2}{3}}$ ⁠
循環小数（括弧を使用） $2.{\overline {6}}$
括弧を使った循環小数： $2.(6)$
伝統的な活字を用いた連分数： $2+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}$
連分数を略記法で表したもの： $[2;1,2]$
エジプトの分数： $2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}$
素数のべき乗分解： $2^3 × 3-1$
引用表記: $3'6$

これらは、同じ有理値を表す異なる方法です。

正式な建築

有理数は、整数の順序対の同値類として構築することができる。^[¹³^]^[¹⁴^]

より正確には、 $(\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))$ $n$ $\neq 0$ となる整数の $ペア(m, n)$ の集合をとする。この集合上に同値関係が次のように定義される。

(m_{1},n_{1})\sim (m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.

^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

加算と乗算は、以下の規則によって定義されます。

(m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),

(m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}).

^{[ 13 ]}

この同値関係は合同関係であり、これは上記の加算と乗算と互換性があることを意味します。有理数の集合 $\mathbb {Q}$ は、この同値関係によって定義される商集合として定義されます。 $(\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \backslash \{0\}))/\sim ,$ 上記の演算によって誘発される加算と乗算を備えている。（この構成は任意の整数領域で実行でき、その分数の体を生成する。）^{[ 13 ]}

ペア $(m, n)$ の同値類はと表記される。 ${\tfrac {m}{n}}.$ 2組のペア $(m1, n1)$ と $(m2, n2)が$ 同じ同値類に属する（つまり同値である）のは、次の場合 $に$ $限る$ $。$

m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.

これはつまり

{\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}

^{[ 13 ]}^[¹⁴^]の場合に限る

m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.

すべての同値類 ${\tfrac {m}{n}}$ は無限に多くのペアで表すことができる。

\cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .

各同値類には、一意の標準表現元が含まれます。標準表現元とは、同値類において $、m$ と $nが$ 互いに素であり、 $n$ $> 0となるような一意のペア$ $(m, n)$ のことです。これは、有理数の既約表現と呼ばれます。

整数は有理数とみなすことができ、整数 $n$ を有理数 ⁠ と同一視することができる。 ${\tfrac {n}{1}}.$ ⁠

有理数には、整数の自然順序を拡張した全順序を定義することができる。

{\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}

もし

{\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned}}

物件

セット $\mathbb {Q}$ すべての有理数と、上記に示した加算および乗算演算は、体を形成する。^{[ 13 ]}

⁠ $\mathbb {Q}$ は恒等写像以外の体自己同型写像を持たない。（体自己同型写像は0と1を固定しなければならない。固定された2つの要素の和と差を固定する必要があるため、すべての整数を固定しなければならない。固定された2つの要素の商を固定する必要があるため、すべての有理数を固定しなければならない。したがって、は恒等写像である。）

⁠ $\mathbb {Q}$ は素体であり、素体とは自身以外の部分体を持たない体のことである。^{[ 15 ]}有理数は標数ゼロの最小の体である。標数ゼロのすべての体には、と同型な一意の部分体が含まれる。 $\mathbb {Q} .$ ⁠

上記で定義された順序により、 $\mathbb {Q}$ は、自身以外の部分体を持たない順序体^{[ 14 ]}でありと同型な唯一の部分体を含むという意味で、最小の順序体である。 $\mathbb {Q} .$ ⁠

⁠ $\mathbb {Q}$ は整数の分数の体です $\mathbb {Z} .$ [ ¹⁶^]の代数的閉包 $\mathbb {Q} ,$ すなわち、有理多項式の根の体、は代数的数の体である。

有理数は密に順序付けられた集合である。任意の2つの有理数の間には別の有理数が存在し、したがって無限に多くの他の有理数が存在する。^{[ 13 ]}例えば、任意の2つの分数に対して、

{\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}

（どこ $b,d$ （プラスの場合）

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.

可算で、稠密で（上記の意味で）、最小元や最大元を持たない全順序集合は、有理数と順序が同型である。 ^{[ 17 ]}

可算性

正の有理数の集合は可算集合である。これは図に示されている通りである。

より正確には、分子と分母の和の値が小さい順に分数を並べ替えることができ、和が等しい場合は、分子または分母の値が小さい順に並べ替えることができます。こうして得られる分数列から、約分可能な分数（図中の赤色で示されている部分）を取り除くと、各有理数がちょうど一度ずつ含まれる数列が得られます。これにより、有理数と自然数の間に全単射が確立され、各有理数が数列におけるその順位に対応付けられます。

同様の方法を用いて、すべての有理数（正負両方）に番号を付けることもできる。

有理数の集合は可算集合であり、実数の集合（および無理数の集合）は非可算集合であるため、有理数の集合は空集合であり、つまり、ほとんどすべての実数はルベーグ測度の意味で無理数である。^{[ 18 ]}

実数と位相的性質

有理数は実数の稠密な部分集合であり、すべての実数にはそれに近い有理数が任意に存在する。^[¹³^]関連する性質として、有理数は正則連分数として有限に展開できる唯一の数である。^[¹⁹^]

実数の通常の位相では、有理数は開集合でも閉集合でもない。^{[ 20 ]}

有理数はその順序性ゆえに順序位相を持つ。実数の部分空間である有理数は、部分空間位相も持つ。有理数は絶対差計量を用いることで距離空間を形成する。 $d(x,y)=|x-y|,$ そしてこれにより、上の 3 番目のトポロジーが得られます。 $\mathbb {Q} .$ これら3つの位相はすべて一致し、有理数を位相体へと変換します。有理数は、局所的にコンパクトではない空間の重要な例です。有理数は、孤立点を持たない唯一の可算距離化可能空間として位相的に特徴付けられます。この空間は完全に不連結でもあります。有理数は完備距離空間を形成しず、実数は有理数の完備化です。 $\mathbb {Q}$ 指標の下で $d(x,y)=|x-y|$ 上記。^{[ 14 ]}

p-adic numbers

In addition to the absolute value metric mentioned above, there are other metrics which turn ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ into a topological field:

Let $p$ be a prime number and for any nonzero integer $a$ , let $|a|_{p}=p^{-n},$ where $p n$ is the highest power of $p$ dividing $a$ .

In addition set $|0|_{p}=0.$ For any rational number ⁠ ${\frac {a}{b}},$ ⁠ we set

\left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}.

Then

d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}

defines a metric on ⁠ $\mathbb {Q} .$ ⁠^[21]

The metric space ⁠ $(\mathbb {Q} ,d_{p})$ ⁠ is not complete, and its completion is the $p$ -adic number field⁠ $\mathbb {Q} _{p}.$ ⁠Ostrowski's theorem states that any non-trivial absolute value on the rational numbers ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ is equivalent to either the usual real absolute value or a $p$ -adic absolute value.

References

1 2Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
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注記

外部リンク

「有理数」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
MathWorld（Wolfram Webリソース）の「有理数」

[Rosen-1] 1 2Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.

[2] Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics (illustrated ed.). Courier Corporation. p. 382. ISBN 978-0-486-47186-0.Extract of page 382

[3] Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. p. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6.Extract of page 104

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[Gilbert-6] Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. pp. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.

[7] オックスフォード英語辞典（第2版）。オックスフォード大学出版局。1989年。エントリー比率、n.、意味2.a。

[8] オックスフォード英語辞典（第2版）。オックスフォード大学出版局。1989年。項目rational、a. (副詞)およびn. ¹、意味 5.a。

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[10] Shor, Peter (2017-05-09). "Does rational come from ratio or ratio come from rational" . Stack Exchange . 2021-03-19に取得。

[11] クールマン、ロバート (2016-01-29)。「数学的迷信が千年以上にわたって代数学を停滞させた方法」。2021-03-20 に取得。

[12] クレイマー、エドナ (1983).現代数学の本質と発展. プリンストン大学出版局. p. 28.

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[:2-14] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 「分数 - 数学百科事典」 . encyclopediaofmath.org . 2021-08-17に取得.

[15] 数学学会、日本（1993）。数学百科事典第1巻。ロンドン、イギリス：MIT Press。p. 578。ISBN 0-2625-9020-4。

[16] Bourbaki, N. (2003). Algebra II: Chapters 4 - 7. Springer Science & Business Media. p. A.VII.5.

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[18] ロイデン、ハルゼー；フィッツパトリック、パトリック（2017年2月13日）。実解析（第4版）。ピアソン。7 ～ 54ページ。ISBN 9780134689494。

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[20] Richard A. Holmgren (2012).離散力学系入門（第2版、図解版）. Springer Science & Business Media. p. 26. ISBN 978-1-4419-8732-7。26ページからの抜粋

[21] Weisstein, Eric W. "p進数" . Wolfram MathWorld . 2021年8月17日取得.

[ 1 ]

有理数による加算

、

[

[ 6 ]

[

[

[

[

[ 11 ]

[

[ 15 ]

16

[ 17 ]

[ 18 ]

[

[ 20 ]

[21]

有理数

用語

語源

算術

既約分数

整数の埋め込み

平等

注文

追加

Subtraction

Multiplication

Inverse

Division

Exponentiation to integer power

Continued fraction representation

Other representations

正式な建築

物件

可算性

実数と位相的性質

p-adic numbers

See also

References

注記

外部リンク

関連するトピック

実数

、これらは複素数

整数が含まれます

自然数が含まれます