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数学において、順序位相とは、任意の全順序集合上に定義できる特定の位相のことである。これは、実数の位相を任意の全順序集合に自然に一般化したものである。
Xが全順序集合である場合、 X上の順序トポロジーは「開いた光線」のサブベースによって生成される。
すべてのa, b ∈ Xに対して。Xが少なくとも 2 つの要素を持つ場合、これは開区間が次のようになることと同等です。
上記の光線と合わせて、順序位相の基底を形成する。Xにおける開集合とは、（おそらく無限に存在する）そのような開区間と光線の和集合である。
位相空間Xは、その要素上に全順序が存在し、その順序によって誘導される順序位相とX上の与えられた位相が一致する場合、順序可能または線形順序可能である[ 1 ]と呼ばれる。順序位相により、X は完全正規ハウスドルフ空間となる。
R、Q、Z、N上の標準的なトポロジーは、順序トポロジーです。
YがXの部分集合であり、Xが全順序集合である場合、 YはXから全順序を継承します。したがって、集合Yは誘導順序位相と呼ばれる順序位相を持ちます。Xの部分集合であるYは、部分空間位相も持ちます。部分空間位相は常に誘導順序位相と同等以上の細かさを持ちますが、一般に両者は同じではありません。
例えば、有理数の部分集合Y = {−1} ∪ {1/ n } n ∈ Nを考えてみましょう。部分空間位相の下では、単一要素集合{−1} はYの開集合ですが、誘導順序位相の下では、−1 を含む任意の開集合は、空間の要素のうち有限個を除くすべての要素を含まなければなりません。
上の節で示したY = {−1} ∪ {1/ n } n ∈ Nの部分空間位相はY上の誘導順序によって生成されないことが示されていますが、それでもY上の順序位相です。実際、部分空間位相ではすべての点が孤立しています (つまり、Yのすべての y に対して、Yの単一集合 { y } が開いています)。したがって、部分空間位相はY上の離散位相( Yのすべての部分集合が開いている位相) であり、任意の集合上の離散位相は順序位相です。Y上の離散位相を生成するY上の全順序を定義するには、 Y上の誘導順序を単純に変更し、 −1 をYの最大要素と定義し、他の点については同じ順序を維持します。この新しい順序 (これを < 1とします) では、すべてのn ∈ Nに対して1/ n < 1 −1 となります。次に、 < 1によって生成されるY上の順序トポロジーでは、 Yのすべての点がY内に孤立します。
ここでは、線形順序付けられた位相空間Xの部分集合Zを定義したい。Z上の全順序が Z 上の部分空間位相を生成しないような部分空間位相を定義する。つまり、位相が順序位相である空間の部分空間位相であっても、その部分空間位相は順序位相ではないようにする。
させて実数直線において。前と同じ議論により、Z上の部分空間位相はZ上の誘導順序位相と等しくないことが示されますが、Z上の部分空間位相はZ上のいかなる順序位相とも等しくならないことを示すことができます。
議論は次のように続く。矛盾を導くために、Z上に厳密な全順序<が存在し、< によって生成される順序位相がZ上の部分空間位相と等しいと仮定する（ここで、< はZ上の誘導順序であると仮定しているのではなく、部分空間位相を生成するZ上の任意に与えられた全順序であると仮定している）。
M = Z \ {−1} = (0,1)とすると、 Mは連結であり、したがって、Mはそれ自身上で稠密であり、< に関してギャップはありません。−1 がZの最小要素でも最大要素でもない場合、 そしてMを分離すると矛盾が生じる。一般性を失うことなく、−1 がZの最小要素であると仮定する。{−1} はZで開集合であるため、区間 (−1, p ) が空となるような点pがM内に存在し、p はMの最小値となる。すると、M \ { p } = (0, p ) ∪ ( p ,1) はRから継承された部分空間位相に関して連結ではない。一方、Zの順序位相から継承されたM \ { p } の部分空間位相は、< によって誘導されるM \ { p }の順序位相と一致し、 M \ { p }にはギャップがなく稠密であるため連結である。これは矛盾である。
順序トポロジーにはいくつかのバリエーションが存在する。
これらの位相は、半連続関数を扱う際に自然に生じます。位相空間上の実数値関数は、実数に適切な順序を付けたときに連続である場合に限り、下半連続となります。 [ 3 ]結果として得られる連続関数の集合上の （自然な）コンパクト開位相は、半連続位相と呼ばれることもあります。[ 4 ]
さらに、これらの位相は、一般的な位相における反例を示すためにも利用できます。例えば、有界集合上の左順序位相や右順序位相は、ハウスドルフ空間ではないコンパクト空間の例となります。
左順序位相は、ブール代数上の多くの集合論的目的で使用される標準的な位相です。
任意の順序数λに対して、順序数の空間を考えることができる。
自然順序位相とともに。これらの空間は順序空間と呼ばれます。（通常の集合論的順序数の構成では、λ = [0, λ ) およびλ + 1 = [0, λ ] となります。）明らかに、これらの空間は主にλが無限順序数である場合に関心があります。有限順序数の場合、順序位相は単に離散位相になります。
λ = ω (最初の無限順序数)の場合、空間 [0, ω ) は通常の (依然として離散的な) 位相を持つNであり、[0, ω ] はNの1 点コンパクト化です。
特に興味深いのは、λ = ω 1の場合、つまりすべての可算順序数の集合と最初の非可算順序数の場合です。要素ω 1は部分集合 [0, ω 1 ) の極限点ですが、[0, ω 1 )の要素の列の極限はω 1ではありません。特に、[0, ω 1 ] は第一可算ではありません。しかし、[0, ω 1 ] の中で可算な局所基底を持たない唯一の点はω 1であるため、部分空間 [0, ω 1 ) は第一可算です。その他の性質には以下のようなものがあります。
任意の順序数は、順序位相を与えることで位相空間とみなすことができます（実際、順序数は整列順序であり、特に全順序です）。特に指定がない限り、これが順序数に与えられる通常の位相です。さらに、適切なクラスを位相空間として受け入れるならば、同様にすべての順序数のクラスを順序位相を持つ位相空間とみなすことができます。
順序数αの極限点の集合は、αより小さい極限順序数の集合と正確に一致する。α より小さい後続順序数（およびゼロ）は、 α内の孤立点である。特に、ω（集合[0, ω )を意味する）は、各有限順序数と同様に離散位相空間であるが、 ωより大きい順序数は離散ではない。順序数αが位相空間としてコンパクトであるのは、 α が後続順序数またはゼロである場合に限る。
順序数αの閉集合とは、 αより小さい極限順序数を含むすべての開区間がその集合と交わる場合に、その極限順序数を含む集合のことである。
もちろん、任意の順序数は、より大きな順序数の開部分集合です。順序数の位相は、次の帰納的な方法で定義することもできます。0 は空の位相空間であり、α +1 はα の1 点コンパクト化によって得られ、δ が極限順序数である場合、δには帰納的極限位相が備わります。αが後継順序数である場合、αはコンパクトであり、その 1 点コンパクト化α +1 はα と点の非交和であることに注意してください。
位相空間として、すべての順序数はハウスドルフ空間であり、正規空間でもあります。また、それらは完全に不連結であり（連結成分は点です）、散在しており（空でない部分空間には必ず孤立点があります。この場合、最小の要素だけを取ります）、0 次元です（位相はクロープ開基底を持ちます。ここで、開区間 ( β , γ ) を、 γ ' < γのクロープ開区間 ( β , γ ' +1) = [ β +1, γ ']の和集合として記述します）。ただし、一般に極端に不連結ではありません（例えば、ω からの偶数など、閉包が開集合ではない開集合が存在します）。
位相空間 ω 1とその後継である ω 1 +1 は、非可算位相空間の教科書的な例としてよく用いられます。例えば、位相空間 ω 1 +1 では、要素 ω 1は部分集合 ω 1の閉包に含まれますが、ω 1の要素の（可算長の）列の極限には要素 ω 1は含まれません。ω 1の要素は可算集合であり、そのような集合の任意の列について、これらの集合の和集合は可算個の可算集合の和集合であるため、やはり可算です。この和集合は列の要素の上限であり、したがって、列に極限が存在する場合はその極限の上限となります。
空間 ω 1は第一可算ですが第二可算ではありません。また、ω 1 +1 はコンパクトであるにもかかわらず、これらの性質のどちらも持ちません。また、 ω 1からR (実数直線) への任意の連続関数は最終的に定数になることも注目に値します。したがって、 ω 1のStone–Čech コンパクト化はω 1 +1であり、その一点コンパクト化も同様です (Stone–Čech コンパクト化が ω よりはるかに大きいω とは対照的です)。
αが極限順序数でX が集合である場合、 Xの要素のα添え字付き列は、単にαからXへの関数を意味します。この概念、すなわち超限列または順序数添え字付き列は、列の概念の一般化です。通常の列はα = ωの場合に対応します。
Xが位相空間である場合、 Xの要素のα添え字列が極限xに収束するとは、それがネットとして収束する場合をいいます。言い換えれば、xの任意の近傍Uが与えられたとき、すべてのι ≥ βに対してx ιがUに含まれるような順序数β < αが存在します。
順序インデックス付きシーケンスは、通常の (ω インデックス付き) シーケンスよりもトポロジーの限界を決定するのに強力です。たとえば、ω 1は ω 1 +1の極限点です(極限順序数であるため)。実際、ω 1より小さい任意の順序数をそれ自身に写像するω 1インデックス付きシーケンスの極限です。ただし、ω 1内の通常の (ω インデックス付き) シーケンスの極限ではありません。なぜなら、そのような極限は要素の和集合以下であり、それは可算集合の可算和集合であるため、それ自体が可算だからです。
しかし、順序インデックス付きシーケンスは、一般的にネット（またはフィルター）を置き換えるほど強力ではありません。たとえば、チホノフのプランク（積空間）では）、角点は開集合の極限点（閉包に含まれる）である。しかし、それは順序インデックス付き順序数列の極限ではない。。
この記事は、 PlanetMathの Order topology から引用した資料を使用しており、PlanetMath はCreative Commons Attribution-Share-Alike Licenseの下でライセンスされています。
![{\displaystyle [0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e469e57aa87041df20c6275a3b21c0795321ce7)
