二項級数

数学において、二項級数は、指数が正の整数でない場合への二項式の一般化である。

どこ $\alpha$ は任意の複素数であり、右辺のべき級数は（一般化された）二項係数を用いて表される。

{\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.

二項級数は関数のマクローリン級数である $f(x)=(1+x)^{\alpha }$ 収束するのは $|x|<1$ 。

$α$ が非負の整数 $n$ である場合、x $n$ $+ 1の$ 項とそれ以降の項はすべて $0になります。これは$ $、$ $各項が($ $n$ $-$ $n$ $)$ の因数を含むためです。この場合、この級数は有限多項式となり、二項式の公式と等価です。

収束

収束条件

（１）が収束するかどうかは、複素数 $α$ と $x$ の値に依存する。より正確には：

$| x | < 1$ の場合、この級数は任意の複素数 $αに対して$ 絶対収束します。
$| x | = 1$ の場合、級数は $Re($ $α$ $) > 0$ または $α$ $= 0$ のいずれかの場合に限り絶対収束します。ここで $Re($ $α$ $)は$ $α$ の実部を表します。
$| x | = 1$ かつ $x \neq -1$ の場合、級数は $Re(α) > -1$ の場合に限り収束する。
$x = -1$ の場合、級数は $Re(α) > 0$ または $α = 0$ の場合に限り収束します。
$| x | > 1$ の場合、 $α$ が非負の整数でない限り、級数は発散する。αが非負の整数の場合は、級数は有限和となる。

特に、 $αが$ 非負整数でない場合、収束円盤の境界、 $| x | = 1$ における状況は、次のように要約されます。

$Re(α) > 0$ の場合、級数は絶対収束する。
$-1 < Re(α) \leq 0$ の場合、 $x$ $\neq -1$ のときは級数が条件付きで収束し、 $x$ $= -1$ のときは発散します。
$Re(α) \leq -1$ の場合、級数は発散する。

証明で使用する恒等式

任意の複素数 $α$ に対して、以下のことが成り立つ。

{\alpha \choose 0}\!=1,

ない限り $\alpha$ は非負の整数です（この場合、二項係数はとなります）。 $k$ より大きい $\alpha$ )二項係数に関する有用な漸近関係は、ランダウ記法では次のようになる。

これは本質的にオイラーのガンマ関数の定義と同等である。

\Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\,k^{z}}{z(z+1)\cdots (z+k)}},

そして、より粗い境界を直ちに意味する

$m$ と $M$ は正の定数です。

一般化二項係数の式（2）は次のように書き換えることができる。

証拠

(i)と(v)を証明するには、比率判定法を適用し、上記の式( 2 )を用いて、 $\alpha$ は非負整数ではないため、収束半径はちょうど 1 である。パート (ii) は、 $p$ 級数との比較により、式 ( 5 ) から導かれる。

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{p}}},

と $p=1+\operatorname {Re} (\alpha )$ （iii）を証明するには、まず式（3）を用いて

そして、(ii)と式( 5 )を再び使用して、右辺の収束を証明する。 $\operatorname {Re} (\alpha )>-1$ と仮定する。一方、以下の場合には級数は収束しない。 $|x|=1$ そして $\operatorname {Re} (\alpha )\leq -1$ 式（５）により、再びとなる。あるいは、すべてのに対してとなることを観察することもできる。 $j$ 、 ${\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geq 1-{\frac {\operatorname {Re} (\alpha )+1}{j}}\geq 1}$ したがって、式（6）により、すべての ${\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geq 1}$ これで（iii）の証明が完了する。次に（iv）に移り、上記の恒等式（7）を以下で使用する。 $x=-1$ そして $\alpha -1$ の代わりに $\alpha$ 式（ 4）と合わせて、

\sum _{k=0}^{n}\!{\alpha \choose k}(-1)^{k}=\!{\alpha -1 \choose n}(-1)^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))

として $n\to \infty$ 主張（iv）は、数列の漸近挙動から導かれる。 $n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)}$ 。（正確に、 $\left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\operatorname {Re} (\alpha )\log n}$ 確かに収束する $0$ もし $\operatorname {Re} (\alpha )>0$ そして分岐して $+\infty$ もし $\operatorname {Re} (\alpha )<0$ 。もし $\operatorname {Re} (\alpha )=0$ 、それから $n^{-\alpha }=e^{-i\operatorname {Im} (\alpha )\log n}$ 数列が収束するのは、 $\operatorname {Im} (\alpha )\log n$ 収束する ${\bmod {2\pi }}$ それは確かに真実です $\alpha =0$ しかし偽の場合は $\operatorname {Im} (\alpha )\neq 0$ 後者の場合、シーケンスは密である $\!{\bmod {2\pi }}$ なぜなら、 $\log n$ 分岐して $\log(n+1)-\log n$ （ゼロに収束する）。

二項級数の総和

二項級数の和を計算する通常の議論は次のようになります。収束ディスク $|$ $x$ $|$ $< 1内で二項級数を項ごとに$ 微分し、式 ( 1 ) を使用すると、級数の和は初期条件 $u$ $(0) = 1$ を持つ常微分方程式 $(1 +$ $x$ $)$ $u$ $'($ $x$ $) -$ $αu$ $($ $x$ $) = 0$ を解く解析関数であることがわかります。

この問題の唯一の解は関数 $u (x) = (1 + x) α$ です。実際、積分因子 $(1 + x) - α -1$ を掛けると次のようになります。

0=(1+x)^{-\alpha }u'(x)-\alpha (1+x)^{-\alpha -1}u(x)={\big [}(1+x)^{-\alpha }u(x){\big ]}'\,,

したがって、関数 $(1 + x) -α u (x)$ は定数であり、初期条件から $1$ であることがわかります。つまり、 $u (x) = (1 + x) α$ $は、| x | < 1$ の二項級数の和です。

等号は、級数が収束する限り、 $| x | = 1$ まで拡張される。これは、アーベルの定理と $(1 +$ $x$ $)$ $α$ の連続性によるものである。

負の二項級数

関数のマクローリン級数で定義される負の二項級数は、これと密接に関連している。 $g(x)=(1-x)^{-\alpha }$ 、どこ $\alpha \in \mathbb {C}$ そして $|x|<1$ 具体的には、

{\begin{aligned}{\frac {1}{(1-x)^{\alpha }}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {g^{(k)}(0)}{k!}}\;x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha +1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}

これは多重集合係数で表されます

\left(\!\!{\alpha \choose k}\!\!\right)={\alpha +k-1 \choose k}={\frac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdots (\alpha +k-1)}{k!}}\,.

$α$ が正の整数の場合、いくつかの共通の数列が明らかになります。 $α = 1$ の場合、数列 $1 + x + x 2 + x 3 + ...$ が得られ、数列の各項の係数は単に $1です。$ $α = 2$ の場合、数列 $1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + ...$ が得られ、係数は自然数です。 $α = 3$ の場合、数列 $1 + 3 x + 6 x 2 + 10 x 3 + ...$ が得られ、係数は三角数です。 $α = 4 の$ 場合、数列 $1 + 4 x + 10 x 2 + 20 x 3 + ...$ が得られ、係数は四面体数です。同様に、 $α$ のより大きな整数値の場合も同様です。

負の二項級数には、等比級数、べき級数^{[ 1 ]が含まれる。} ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ （負の二項級数の場合） $\alpha =1$ 円盤内で収束する $|x|<1$ ）そして、より一般的には、幾何級数の微分によって得られる級数： ${\frac {1}{(1-x)^{n}}}={\frac {1}{(n-1)!}}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}{\frac {1}{1-x}}$ と $\alpha =n$ 、正の整数。^{[ 2 ]}

歴史

正の整数指数以外の二項級数に関する最初の結果は、アイザック・ニュートン卿が特定の曲線で囲まれた面積の研究で示したものです。ジョン・ウォリスはこの研究を発展させ、 $m$ が分数である $y = (1 - x 2) m$ の形式の式を考察しました。彼は (現代の用語で書くと) $(-$ $x$ $2$ $)$ $k$ の連続する係数 $c$ $k$ は、前の係数に m − ( k − 1) / k を掛けることによって求められることを発見しました $($ 整数 $指数$ の場合と $同様$ ) 。これにより、これらの係数の公式が暗黙のうちに与えられます。彼は次の例を明示的に記述しています^[^a^]

(1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}}-{\frac {x^{6}}{16}}\cdots

(1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{16}}\cdots

(1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}}-{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots

そのため、二項級数はニュートンの二項定理と呼ばれることもある。ニュートンは証明を与えておらず、級数の性質についても明確に述べていない。その後、1826年にニールス・ヘンリック・アベルがクレレの雑誌に掲載された論文でこの主題について論じ、特に収束の問題を取り上げた。^{[ 4 ]}

脚注

注記

↑ ^{[ 3 ]}実際、この資料ではすべての非定数項に負の符号が付いていますが、これは2番目の式には正しくありません。これは転記ミスであると考える必要があります。

引用文献

↑ George Andrews (2018)、「微積分における幾何級数」（PDF）、『アメリカ数学月報』、105（1）：36–40、doi：10.1080/00029890.1998.12004846 、 2024年2月27日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2023年11月9日取得
↑クノップ、コンラート(1944)、『無限級数の理論と応用』、ブラッキー・アンド・サン、§22。
↑クーリッジ 1949 .
↑アベル 1826 .

参考文献

アーベル、ニールス(1826)、「Recherches sur la série 1 + ( m /1)x + ( m ( m − 1)/1.2)x ² + ( m ( m − 1)( m − 2)/1.2.3) x ³ + ...」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1 : 311– 339
Coolidge, JL (1949)、「二項定理の物語」、アメリカ数学月報、56 (3): 147–157、doi : 10.2307/2305028、JSTOR 2305028

外部リンク

ワイススタイン、エリック・W. 「二項級数」 . MathWorld .
ワイススタイン、エリック・W. 「二項定理」 . MathWorld .
PlanetMathの二項式公式。
Solomentsev, ED (2001) [1994]、「二項級数」、数学百科事典、EMS Press
「アイザック・ニュートンはいかにして二項べき級数を発見したか」 2022年8月31日

[4] {[ 3 ]}実際、この資料ではすべての非定数項に負の符号が付いていますが、これは2番目の式には正しくありません。これは転記ミスであると考える必要があります。

[1] George Andrews (2018)、「微積分における幾何級数」（PDF）、『アメリカ数学月報』、105（1）：36–40、doi：10.1080/00029890.1998.12004846 、 2024年2月27日にオリジナル（PDF）からアーカイブ、 2023年11月9日取得

[2] クノップ、コンラート(1944)、『無限級数の理論と応用』、ブラッキー・アンド・サン、§22。

[FOOTNOTECoolidge1949-3] クーリッジ 1949 .

[FOOTNOTEAbel1826-5] アベル 1826 .

[ 1 ]が含まれる。

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[ 3 ]