カール・ヨハン・マルムステン

カール・ヨハン・マルムステン（1814年4月9日、スウェーデン、スカラ県ウッデトルプ生まれ- 1886年2月11日、スウェーデン、ウプサラ没）は、スウェーデンの数学者、政治家。複素変数関数の理論に関する初期の研究^{[ 1 ]} 、いくつかの重要な対数積分と級数の評価、ゼータ関数に関連する級数と積分の理論の研究、そしてミッタク＝レフラーが雑誌『Acta Mathematica』を創刊するのを手伝ったことで知られている^{[ 2 ]}。マルムステンは1840年に准教授 となり、1842年にはウプサラ大学の数学教授となった。1844年にはスウェーデン王立科学アカデミーの会員に選出された。また、1859年から1866年まで無任所大臣、1866年から1879年までスカラボーリ県知事を務めた。

通常、マルムステンは複素解析における初期の業績で知られています。^{[ 1 ]}しかし、彼は数学の他の分野にも大きく貢献しましたが、彼の業績は不当に忘れ去られ、その多くが誤って他の人に帰属されていました。そのため、比較的最近になって、ヤロスラフ・ブラゴウチン^{[ 3 ]}によって、ガンマ関数とゼータ関数 に密接に関連するいくつかの重要な対数積分と級数を最初に評価したのはマルムステンであり、その中にはいわゆるヴァルディの積分とガンマ関数の対数のクンマー級数が含まれていることが発見されました。特に、1842年に彼は次のlnln対数積分を評価しました。

$${\displaystyle \int _{0}^{1}\!{\frac {\,\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{1+x^{2}}}\,dx\,=\,\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\,\ln \ln {x}\,}{1+x^{2}}}\,dx\,=\,{\frac {\pi }{\,2\,}}\ln \left\{{\frac {\Gamma {(3/4)}}{\Gamma {(1/4)}}}{\sqrt {2\pi \,}}\right\}}$$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x)^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{(1+x)^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl (}\ln {\tfrac {\pi }{2}}-\gamma {\bigr )},}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x+x^{2}}}\,dx=\int _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1-x+x^{2}}}\,dx={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\sqrt[{6}]{(2\pi )^{5}}}{\Gamma {(1/6)}}}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x+x^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+x+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\ln {\biggl \{}{\frac {\Gamma {(2/3)}}{\Gamma {(1/3)}}}{\sqrt[{3}]{2\pi }}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\ln \ln {x}}{1+2x\cos \varphi +x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2\sin \varphi }}\ln \left\{{\frac {(2\pi )^{\frac {\scriptstyle \varphi }{\scriptstyle \pi }}\,\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}-{\frac {\varphi }{\,2\pi \,}}\!\right)}}\right\},\qquad -\pi <\varphi <\pi }$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1-x^{2}+x^{4}-\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=}$

${\displaystyle \quad =\,{\frac {\pi }{\,2n\,}}\sec {\frac {\,\pi \,}{2n}}\!\cdot \ln \pi +{\frac {\pi }{\,n\,}}\cdot \!\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\cos {\frac {\,(2l-1)\pi \,}{2n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}{\Gamma \!\left(\displaystyle {\frac {2l-1}{2n}}\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots }$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx\,=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x^{n-2}\ln \ln {x}}{1+x^{2}+x^{4}+\cdots +x^{2n-2}}}\,dx=}$

${\displaystyle \qquad ={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln 2\pi +{\frac {\pi }{n}}\sum _{l=1}^{n-1}(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}+\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {l}{\,2n}}\!\right)}}\right\},\quad n=2,4,6,\ldots \\[10mm]\displaystyle {\frac {\,\pi \,}{2n}}\tan {\frac {\,\pi \,}{2n}}\ln \pi +{\frac {\pi }{n}}\!\!\!\!\!\sum _{l=1}^{\;\;\;{\frac {1}{2}}(n-1)}\!\!\!\!(-1)^{l-1}\sin {\frac {\,\pi l\,}{n}}\cdot \ln \left\{\!{\frac {\Gamma \!\left(1-\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}{\Gamma \!\left(\!\displaystyle {\frac {\,l}{n}}\!\right)}}\right\},\qquad n=3,5,7,\ldots \end{cases}}}$

詳細と興味深い歴史的分析は、Blagouchine の論文に記載されています。^{[ 3 ]} これらの積分の多くは、後に Vardi ^{[ 4 ]} 、 Adamchik ^{[ 5 ]} 、 Medina ^{[ 6 ]} 、Moll ^{[ 7 ]}など、さまざまな研究者によって再発見されました。 さらに、一部の著者は、1988 年にこれを再評価した Vardi にちなんで、これらの積分の最初のものを Vardi の名で呼んでおり (彼らはこれをVardi の積分と呼んでいます)、Wolfram MathWorldサイト^{[ 8 ]} や OEIS Foundation サイト^{[ 9 ]}などの多くの有名なインターネット リソースも同様です (このような対数積分の評価における Malmsten の疑いのない優先権を考慮すると、Malmsten の積分という名前の方が適切であると思われます^{[ 3 ]} )。Malmsten は、さまざまな級数表現を使用して上記の公式を導出しました。同時に、マルムステン積分は、経路積分法^{[ 3 ]}、フルヴィッツゼータ関数の利用^{[ 5 ]} 、多重対数の使用^{[ 6 ]} 、およびL 関数の使用^{[ 4 ]}によっても評価できることが示されています。マルムステン積分のより複雑な形式は、アダムチク^{[ 5 ]}およびブラグーシン^{[ 3 ]}の著作に登場します(70 を超える積分)。以下に、そのような積分の例をいくつか示します。

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+x^{3}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\ln \ln x}{1+x^{3}}}\,dx={\frac {\ln 2}{6}}\ln {\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\left\{\ln 54-8\ln 2\pi +12\ln \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1-x+x^{2})^{2}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln x}{(1-x+x^{2})^{2}}}\,dx=-{\frac {\gamma }{3}}-{\frac {1}{3}}\ln {\frac {6{\sqrt {3}}}{\pi }}+{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{27}}\left\{5\ln 2\pi -6\ln \Gamma \left({\frac {1}{6}}\right)\right\}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\left(x^{4}-6x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx={\frac {2\,\mathrm {G} }{\pi }}}$

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx={\frac {7\zeta (3)}{8\pi ^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{ll}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^{-{\frac {m}{n}}}\right)^{\!2}\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x\!\left(x^{\frac {m}{n}}-x^{-{\frac {m}{n}}}\right)^{\!2}\ln \ln {x}}{\,(1-x^{2})^{2}\,}}\,dx=\!\!\!&\displaystyle {\frac {\,m\pi \,}{\,n\,}}\sum _{l=1}^{n-1}\sin {\dfrac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {l}{n}}\!\right)-\,{\frac {\pi m}{\,2n\,}}\cot {\frac {\pi m}{n}}\cdot \ln \pi n\\[3mm]&\displaystyle -\,{\frac {\,1\,}{2}}\ln \!\left(\!{\frac {\,2\,}{\pi }}\sin {\frac {\,m\pi \,}{n}}\!\right)-\,{\frac {\gamma }{2}}\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}\!\left(x^{\frac {m}{n}}+x^{-{\frac {m}{n}}}\right)\ln \ln {x}}{\,(1+x^{2})^{3}\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \left(n^{2}-m^{2}\right)\,}{8n^{2}}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \ln \Gamma \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)\\[3mm]\displaystyle \,\,+{\frac {\,m\,}{\,8n^{2}\,}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}\!(-1)^{l}\sin {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi \!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)-{\frac {\,1\,}{\,32\pi n^{2}\,}}\!\sum _{l=0}^{2n-1}(-1)^{l}\cos {\dfrac {(2l+1)m\pi }{2n}}\cdot \Psi _{1}\!\left(\!{\frac {2l+1}{4n}}\right)+\,{\frac {\,\pi (n^{2}-m^{2})\,}{16n^{2}}}\sec {\dfrac {m\pi }{2n}}\cdot \ln 2\pi n\end{array}}}$

ここで、 mとn はm < n を満たす正の整数、 G はカタラン定数、ζ はリーマンゼータ関数、Ψ はディガンマ関数、Ψ _1はトリガンマ関数です。最初の 3 つの積分については、それぞれ Adamchik ^{[ 5 ]の式 (43)、(47)、(48) を参照し、最後の 4 つの積分については、それぞれ Blagouchine [ 3 ]}の演習問題 36-a、36-b、11-b、13-b を参照してください(3 番目の積分は両方の著作で計算されています)。興味深いことに、マルムステンの積分のいくつかは、解析ではあまり見られない複素引数のガンマ関数とポリガンマ関数につながります。たとえば、Iaroslav Blagouchine ^{[ 3 ]が示し​​たように、}

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\ln \ln {\frac {1}{x}}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {x\ln \ln {x}}{1+4x^{2}+x^{4}}}\,dx={\frac {\,\pi \,}{\,2{\sqrt {3\,}}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{2\pi i}}\right)\!\right]+\,{\frac {\ln(2+{\sqrt {3\,}})}{\,4{\sqrt {3\,}}\,}}\ln \pi }$

または、

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\,x\ln \ln {\frac {1}{x}}\,}{\,x^{4}-2x^{2}\cosh {2}+1\,}}\,dx=\int \limits _{1}^{\infty }\!{\frac {\,x\ln \ln {x}\,}{\,x^{4}-2x^{2}\cosh {2}+1\,}}\,dx=-{\frac {\,\pi \,}{2\,\sinh {2}\,}}\mathrm {Im} \!\left[\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {i}{2\pi }}\right)-\ln \Gamma \!\left(\!{\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2\pi }}\right)\!\right]-{\frac {\,\pi ^{2}}{8\,\sinh {2}\,}}-{\frac {\,\ln 2\pi \,}{2\,\sinh {2}\,}}}$

それぞれ演習7-aと37を参照してください。ちなみに、マルムステンの積分はスティルチェス定数とも密接に関係していることがわかっています。^{[ 3 ] [ 10 ]}

1842年、マルムステンはいくつかの重要な対数級数も評価したが、その中にはこれら2つの級数が含まれている。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\ln \pi -\gamma )-\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}$

そして

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\sin an\cdot \ln {n}}{n}}\,=\,\pi \ln \left\{{\frac {\pi ^{{\frac {1}{2}}-{\frac {a}{2\pi }}}}{\Gamma \left(\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {a}{2\pi }}\right)}}\right\}-{\frac {a}{2}}{\big (}\gamma +\ln 2{\big )}-{\frac {\pi }{2}}\ln \cos {\frac {a}{2}}\,,\qquad -\pi <a<\pi .}$

後者の系列は後にエルンスト・クンマーによってわずかに異なる形で再発見され、彼は同様の式を導き出した。

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}=\ln \Gamma (x)-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {1}{2}}\ln(2\sin \pi x)-{\frac {1}{2}}(\gamma +\ln 2\pi )(1-2x)\,,\qquad 0<x<1,}$

1847年に^{[ 3 ]}（厳密に言えば、クンマーの結果は、マルムステンの結果にa=π(2x-1)を代入することによって得られる）。さらに、この級数は、解析学ではガンマ関数の対数のクンマー級数として知られているが、マルムステンがクンマーより5年前に導出したものである。

マルスメンテンは、ゼータ関数に関連する級数と積分の理論にも大きく貢献した。1842年、彼はL関数に関する以下の重要な関数関係を証明した。

${\displaystyle L(s)\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}\qquad \qquad L(1-s)=L(s)\Gamma (s)2^{s}\pi ^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},}$

M関数についても同様です。

${\displaystyle M(s)\equiv {\frac {2}{\sqrt {3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\sin {\frac {\pi n}{3}}\qquad \qquad M(1-s)=\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\,M(s)\Gamma (s)3^{s}(2\pi )^{-s}\sin {\frac {\pi s}{2}},}$

ここで、両方の式において 0<s<1 である。これらの式のうち最初のものは、すでに 1749 年にレオンハルト・オイラーによって提案されていたが、 ^{[ 11 ]}それを証明したのはマルムステンであった (オイラーはこの式を提案し、いくつかの整数および半整数の s の値について検証しただけである)。L(s) の同じ式は、 1849 年にオスカー・シュレーミルヒによって無意識のうちに再発見された(証明は 1858 年にのみ提供された)。^{[ 3 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} 4 年後、マルムステンは、フルヴィッツの関数方程式の特殊な場合であることが判明した、他のいくつかの同様の反射式を導出した。

マルムステンのゼータ関数理論への貢献について語る際、有理引数における最初の一般化スティルチェス定数の反射公式の著者が彼であることがごく最近発見されたことを言及せずにはいられない。

${\displaystyle \gamma _{1}{\biggl (}{\frac {m}{n}}{\biggr )}-\gamma _{1}{\biggl (}1-{\frac {m}{n}}{\biggr )}=2\pi \sum _{l=1}^{n-1}\sin {\frac {2\pi ml}{n}}\cdot \ln \Gamma {\biggl (}{\frac {l}{n}}{\biggr )}-\pi (\gamma +\ln 2\pi n)\cot {\frac {m\pi }{n}}}$

ここで、mとn はm < nを満たす正の整数である。この恒等式は、わずかに異なる形ではあるものの、1846 年にマルムステンによって既に導出されており、また、さまざまな著者によって独立に何度か発見されている。特に、スティルチェス定数に関する文献では、1990 年代にこれを導出したアルムクヴィストとメウルマンに帰属されることが多い。^{[ 10 ]}