配列変換

数学において、数列変換とは、与えられた数列空間（数列空間）に作用する演算子のことです。数列変換には、別の数列との離散畳み込みや数列の再和といった線形写像と、より一般的には非線形写像が含まれます。これらは、数列の収束速度を向上させる、すなわち、収束の遅い数列や級数の収束速度を改善するためによく用いられます。また、数列変換は、発散級数の反極限を数値的に計算するためにもよく用いられ 、外挿法と組み合わせて使用​​されます。

数列変換の古典的な例としては、二項変換、メビウス変換、スターリング変換などが挙げられる。

与えられたシーケンスに対して

${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} },\,}$

シーケンス変換${\displaystyle \mathbf {T} ,}$変換によって生じるシーケンス${\displaystyle \mathbf {T} }$は

${\displaystyle \mathbf {T} ((s_{n}))=(s'_{n})_{n\in \mathbb {N} },}$

変換されたシーケンスの要素は通常、元のシーケンスの有限個の要素から計算されます。

${\displaystyle s_{n}'=T_{n}(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k_{n}})}$

ある自然数に対して${\displaystyle k_{n}}$各${\displaystyle n}$多変数関数${\displaystyle T_{n}}$の${\displaystyle k_{n}+1}$各変数${\displaystyle n.}$例えば、二項変換とエイトケンのデルタ二乗プロセスを参照してください。最も単純なケースでは、数列の要素は、$s_n$そして${\displaystyle s'_{n}}$は実数または複素数です。より一般的には、何らかのベクトル空間または代数の要素である可能性があります。

多変数関数${\displaystyle T_{n}}$は、各値に対して、それぞれの引数に関して線形である。${\displaystyle n,}$例えば、

${\displaystyle s'_{n}=\sum _{m=0}^{k_{n}}c_{n,m}s_{n+m}}$

いくつかの定数に対して${\displaystyle k_{n}}$そして${\displaystyle c_{n,0},\dots ,c_{n,k_{n}}}$各${\displaystyle n,}$次にシーケンス変換${\displaystyle \mathbf {T} }$これは線形シーケンス変換と呼ばれます。線形でないシーケンス変換は非線形シーケンス変換と呼ばれます。

系列加速の文脈では、元のシーケンスが${\displaystyle (s_{n})}$そして変換されたシーケンス${\displaystyle (s'_{n})}$同じ制限を共有する${\displaystyle \ell }$として${\displaystyle n\rightarrow \infty ,}$変換された数列は、元の数列よりも収束速度が速いと言われている。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.}$

元の数列が発散する場合、数列変換は反極限への外挿法として機能する可能性がある。${\displaystyle \ell }$。

シーケンス変換の最も単純な例としては、すべての要素を整数だけシフトすることが挙げられます。${\displaystyle k}$それは依存しない${\displaystyle n,}$${\displaystyle s'_{n}=s_{n+k}}$もし${\displaystyle n+k\geq 0}$それ以外の場合は 0、数列のスカラー乗算は定数${\displaystyle c}$それは依存しない${\displaystyle n,}$${\displaystyle s'_{n}=cs_{n}.}$これらはどちらも線形数列変換の例である。

より複雑な例としては、シーケンスと別の参照シーケンスとの離散畳み込みが挙げられます。特に基本的な例としては、差分演算子があり、これはシーケンスとの畳み込みです。${\displaystyle (-1,1,0,\ldots )}$は微分演算子の離散版です。厳密には、シフト演算子とスカラー乗算も自明な離散畳み込みとして表すことができます。二項変換とスターリング変換は、より一般的なタイプの2つの線形変換です。

非線形数列変換の一例として、収束の遅い数列の収束速度を向上させるために用いられるエイトケンのデルタ二乗法がある。この法の拡張版がシャンクス変換である。メビウス変換も非線形変換であり、整数数列に対してのみ適用可能である。

• エイトケンのデルタ二乗法
• アンダーソン加速
• 最小多項式外挿
• リチャードソン外挿法
• 直列加速
• ステフェンセンの方法

• ヒュー・J・ハミルトン、「メルテンスの定理と数列変換」、AMS（1947年）

• 整数列の変換（オンライン整数列百科事典のサブページ）