数学における関数の級数
数学 において 、 漸近展開 、 漸近級数 、または ポアンカレ展開 （ アンリ・ポアンカレ にちなむ）は、関数の引数が特定の点（多くの場合は無限大）に向かうにつれて、有限個の項の後に級数を 打ち切る と与えられた関数の近似値が得られるという特性を持つ関数の 形式的な級数 である。ディングル（1973）による調査により、漸近展開の発散部分には潜在的な意味がある、つまり展開された関数の正確な値に関する情報が含まれていることが明らかになった。
漸近級数の理論は1886年にポアンカレ（および独立に スティルチェス ）によって考案されました 。[1]
最も一般的な漸近展開は、 正または負のべき乗の べき級数です。このような展開を生成する方法には、 オイラー・マクローリンの和の公式や、 ラプラス 変換や メリン 変換などの積分変換があります 。 部分積分を 繰り返すと、漸近展開になることがよくあります。
収束する テイラー級数は 漸近展開の定義にも当てはまる ため、「漸近級数」という語句は通常、 非収束 級数を意味する。非収束であるにもかかわらず、漸近展開は有限個の項に切り捨てられたときに有用である。近似は、展開される関数よりも数学的に扱いやすくなる、または展開された関数の計算速度が速くなるなどの利点がある。通常、級数が最小の項で切り捨てられたときに最良の近似が得られる。漸近展開を最適に切り捨てるこの方法は、 超漸近 として知られている。 [2]この場合、誤差は通常、 ~ exp(− c /ε) の形式になる。 ここで、 ε は 展開パラメータである。したがって、誤差は展開パラメータのすべてのオーダーを超える。超漸近誤差は、例えば発散する裾に ボレル再和 などの再和法を使用することによって改善することができる。このような方法は、しばしば 超漸近近似 と呼ばれます 。
この記事で使用されている表記については、
漸近解析 と ビッグ O 表記 を参照してください。
まず漸近スケールを定義し、次に漸近展開の正式な定義を与えます。
が何らかの領域上の連続関数 の列で あり 、が 領域の 極限点 である場合、 任意の n に対して 、
φ
ん
{\displaystyle \\varphi_{n}\}
ら
{\displaystyle \L\}
φ
ん + 1
（ x ） = o （
φ
ん
（ x ） ） （ x → ら ）
。
{\displaystyle \varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\quad (x\to L)\ .}
（ は 無限大とみなすことができます。）言い換えると、関数の列は、列内の各関数が（ の極限で ）前の関数よりも厳密に遅く増加する場合、漸近スケールであるということです。
L
{\displaystyle \ L\ }
x
→
L
{\displaystyle \ x\to L\ }
が漸近スケールの領域上の連続関数である 場合、 fは スケールに関して次の形式級数として
漸近展開を持つ。
f
{\displaystyle \ f\ }
N
{\displaystyle \ N\ }
∑
n
=
0
N
a
n
φ
n
(
x
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)}
もし
f
(
x
)
−
∑
n
=
0
N
−
1
a
n
φ
n
(
x
)
=
O
(
φ
N
(
x
)
)
(
x
→
L
)
{\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\quad (x\to L)}
またはより弱い条件
f
(
x
)
−
∑
n
=
0
N
−
1
a
n
φ
n
(
x
)
=
o
(
φ
N
−
1
(
x
)
)
(
x
→
L
)
{\displaystyle f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\quad (x\to L)\ }
が満たされます。ここで、は 小さなo 表記です 。いずれかがすべての に対して成立する場合 、次のように書きます [ 引用が必要 ]
o
{\displaystyle o}
N
{\displaystyle \ N\ }
f
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
a
n
φ
n
(
x
)
(
x
→
L
)
.
{\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\quad (x\to L)\ .}
の収束級数では 、級数は の極限で 固定された 任意の に対して収束しますが、漸近級数はの極限で 固定された に対して収束する（ は無限大の可能性もある） と考えることができます 。
f
{\displaystyle \ f\ }
x
{\displaystyle \ x\ }
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
N
{\displaystyle \ N\ }
x
→
L
{\displaystyle \ x\to L\ }
L
{\displaystyle \ L\ }
例 ガンマ関数の漸近展開における分数誤差の絶対値のプロット (左)。横軸は漸近展開の項数です。青い点は x = 2 、赤い点は x = 3 です。 x = 2 の場合は項数が 14 のとき、 x = 3 の場合は項数が 20 のときに誤差が最小になることがわかります 。これを超えると誤差が発散します 。 ガンマ関数 （ スターリング近似 ）
e
x
x
x
2
π
x
Γ
(
x
+
1
)
∼
1
+
1
12
x
+
1
288
x
2
−
139
51840
x
3
−
⋯
(
x
→
∞
)
{\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )}
指数積分
x
e
x
E
1
(
x
)
∼
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
n
!
x
n
(
x
→
∞
)
{\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )}
対数積分
li
(
x
)
∼
x
ln
x
∑
k
=
0
∞
k
!
(
ln
x
)
k
{\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}
リーマンゼータ関数。 ここで、 は ベルヌーイ数 、 は 増加する階乗 です 。この展開はすべての複素数に対して有効であり 、 たとえば N の十分大きな値を使用してゼータ関数を計算するためによく使用されます 。
ζ
(
s
)
∼
∑
n
=
1
N
n
−
s
+
N
1
−
s
s
−
1
−
N
−
s
2
+
N
−
s
∑
m
=
1
∞
B
2
m
s
2
m
−
1
¯
(
2
m
)
!
N
2
m
−
1
{\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}
B
2
m
{\displaystyle B_{2m}}
s
2
m
−
1
¯
{\displaystyle s^{\overline {2m-1}}}
N
>
|
s
|
{\displaystyle N>|s|}
誤差関数 、ここで (2 n − 1)!!は 二重階乗 です 。
π
x
e
x
2
e
r
f
c
(
x
)
∼
1
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
x
2
)
n
(
x
→
∞
)
{\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )}
実例 漸近展開は、通常の級数が収束領域 外の値を取ることを強制する形式表現で使用される場合によく発生します 。したがって、たとえば、通常の級数から始めることができます。
1
1
−
w
=
∑
n
=
0
∞
w
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}.}
左辺の式は 複素平面 全体で有効ですが、右辺は に対してのみ収束します 。 を 掛けて両辺を積分すると、次の式が得られます。
w
≠
1
{\displaystyle w\neq 1}
|
w
|
<
1
{\displaystyle |w|<1}
e
−
w
/
t
{\displaystyle e^{-w/t}}
∫
0
∞
e
−
w
t
1
−
w
d
w
=
∑
n
=
0
∞
t
n
+
1
∫
0
∞
e
−
u
u
n
d
u
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,}
右辺の代入後 、左辺の積分は コーシー主値として理解され、 指数積分 で表すことができます 。右辺の積分は ガンマ関数 として認識できます。両方を評価すると、漸近展開が得られます。
u
=
w
/
t
{\displaystyle u=w/t}
e
−
1
t
Ei
(
1
t
)
=
∑
n
=
0
∞
n
!
t
n
+
1
.
{\displaystyle e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!t^{n+1}.}
ここで、右辺は t の非ゼロ値に対しては明らかに収束しません。ただし、右側の級数を有限個の項に切り捨てることで、 十分に小さい t に対する の値のかなり良い近似値を得ることができます。 を代入してに 注目すると、 この記事の前半で示した漸近展開が得られます。
Ei
(
1
t
)
{\displaystyle \operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)}
x
=
−
1
t
{\displaystyle x=-{\tfrac {1}{t}}}
Ei
(
x
)
=
−
E
1
(
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)}
部品ごとの統合 部分積分を使用すると、明示的な式を得ることができます [3] 任意の固定 に対して 、誤差項の絶対値は 減少し、その後増加します。最小値は で発生し 、その点 です 。この境界は「すべての順序を超えた漸近的」であると言われています。
Ei
(
z
)
=
e
z
z
(
∑
k
=
0
n
k
!
z
k
+
e
n
(
z
)
)
,
e
n
(
z
)
≡
(
n
+
1
)
!
z
e
−
z
∫
−
∞
z
e
t
t
n
+
2
d
t
{\displaystyle \operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt}
z
{\displaystyle z}
|
e
n
(
z
)
|
{\displaystyle |e_{n}(z)|}
n
∼
|
z
|
{\displaystyle n\sim |z|}
|
e
n
(
z
)
|
≤
2
π
|
z
|
e
−
|
z
|
{\displaystyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }}
プロパティ
与えられた漸近スケールに対する一意性 与えられた漸近スケールに対して、 関数の漸近展開は 一意である。 [4] つまり、係数は 次のように一意に決定される。
ここで、 は この漸近展開の極限点である（ の場合もある ）。
{
φ
n
(
x
)
}
{\displaystyle \{\varphi _{n}(x)\}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
a
0
=
lim
x
→
L
f
(
x
)
φ
0
(
x
)
a
1
=
lim
x
→
L
f
(
x
)
−
a
0
φ
0
(
x
)
φ
1
(
x
)
⋮
a
N
=
lim
x
→
L
f
(
x
)
−
∑
n
=
0
N
−
1
a
n
φ
n
(
x
)
φ
N
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)}{\varphi _{0}(x)}}\\a_{1}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-a_{0}\varphi _{0}(x)}{\varphi _{1}(x)}}\\&\;\;\vdots \\a_{N}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)}{\varphi _{N}(x)}}\end{aligned}}}
L
{\displaystyle L}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
与えられた関数の非一意性 与えられた関数には 多くの漸近展開（それぞれ異なる漸近スケールを持つ）が存在する可能性がある。 [4]
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
従属 漸近展開は複数の関数への漸近展開である場合がある。 [4]
参照
漸近法
注記
^ ヤンケ、ハンス・ニールス（2003）。 解析の歴史 。数学の歴史。プロビデンス（RI）：アメリカ数学協会。p. 190。ISBN 978-0-8218-2623-2 。 ^ ボイド、ジョン P. (1999)、「悪魔の発明：漸近的、超漸近的、超漸近的シリーズ」 （PDF） 、 Acta Applicandae Mathematicae 、 56 （1）：1–98、 doi ：10.1023/A：1006145903624、 hdl ： 2027.42/41670 。 ^ O'Malley, Robert E. (2014)、O'Malley, Robert E. (編)、「漸近近似」、特異摂動 の歴史的発展 、Cham: Springer International Publishing、pp. 27–51、 doi :10.1007/978-3-319-11924-3_2、 ISBN 978-3-319-11924-3 、 2023-05-04 取得 ^ abc SJA Malham、「漸近解析入門」、 ヘリオットワット大学 。
参考文献 Ablowitz, MJ, & Fokas, AS (2003). 複素変数：入門と応用 . Cambridge University Press . Bender, CM, & Orszag, SA (2013). 科学者とエンジニアのための高度な数学的手法 I: 漸近法と摂動論 . Springer Science & Business Media . Bleistein, N., Handelsman, R. (1975)、 「積分の漸近展開」 、 Dover Publications 。 Carrier, GF, Krook, M., & Pearson, CE (2005). 複素変数の関数: 理論と手法 . Society for Industrial and Applied Mathematics . Copson, ET (1965)、 「漸近的展開」 、 ケンブリッジ大学出版局 。 ディングル、RB（1973）、 漸近展開：その導出と解釈 、 アカデミックプレス 。 Erdélyi, A. (1955)、 「漸近的展開」 、 Dover Publications 。 Fruchard, A.、Schäfke, R. (2013)、 「複合漸近展開」 、Springer。 ハーディ、GH （1949）、 ダイバージェントシリーズ 、 オックスフォード大学出版局 。 Olver, F. (1997). 漸近論と特殊関数 . AK Peters/CRC Press. Paris, RB, Kaminsky, D. (2001)、 「漸近論とメリン・バーンズ積分」 、 ケンブリッジ大学出版局 。 パスカル・レミ(2024)。 漸近展開と総和可能性：偏微分方程式への応用 、Springer、LNM 2351。 Whittaker, ET 、 Watson, GN （1963）、 『A Course of Modern Analysis』 、第4版、 Cambridge University Press 。
外部リンク
