ディリクレ級数

数学において、ディリクレ級数とは、 sが複素数 でが複素数列である形式の 級数であり、一般ディリクレ級数の特殊なケースです。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$$${\displaystyle a_{n}}$

ディリクレ級数は解析的整数論において様々な重要な役割を果たします。リーマンゼータ関数の最も一般的な定義はディリクレ級数であり、ディリクレL関数も同様です。セルバーグ級数は一般化リーマン予想に従うと推測されます。この級数はピーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレにちなんで名付けられました。

ディリクレ級数は、直交積を取るときに乗法的に結合される重みに関してオブジェクトの重み付きセットをカウントするための生成級数として使用できます。

Aが、 Aの各要素に重みを割り当てる関数w : A → Nを持つ集合であり、さらにその重み以下の任意の自然数上のファイバーが有限集合であるとします。(このような配置 ( A、w ) を重み付き集合と呼びます。) さらに、a _{n が}重みn を持つAの要素の数であるとします。次に、 wに関するAの正式なディリクレ生成級数を次のように定義します。

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)=\sum _{a\in A}{\frac {1}{w(a)^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

AとB が何らかの重み付き集合 ( U、w ) の互いに素な部分集合である場合、それらの (互いに素な) 和のディリクレ級数はそれらのディリクレ級数の和に等しいことに注意してください。

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\uplus B}(s)={\mathfrak {D}}_{w}^{A}(s)+{\mathfrak {D}}_{w}^{B}(s).}$

さらに、( A , u )と( B , v )が2つの重み付き集合であり、重み関数w : A × B → Nを次のように 定義する。

${\displaystyle w(a,b)=u(a)v(b),}$

すべてのa がAに含まれ、すべてのb がBに含まれる場合、直積のディリクレ級数は次のように分解されます。

${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{w}^{A\times B}(s)={\mathfrak {D}}_{u}^{A}(s)\cdot {\mathfrak {D}}_{v}^{B}(s).}$

これは結局のところ、単純な事実から導き出される。${\displaystyle n^{-s}\cdot m^{-s}=(nm)^{-s}.}$

ディリクレ級数の最も有名な例は

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

の への解析接続は（ における単純な極を除いて）リーマンゼータ関数である。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle s=1}$

f がすべての自然数nにおいて実数値であるとすると、ディリクレ級数Fの実部と虚部には既知の公式があり、次のように表すことができます。 ${\displaystyle s\equiv \sigma +it}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Re [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\cos(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\\\Im [F(s)]&=\sum _{n\geq 1}{\frac {~f(n)\,\sin(t\log n)~}{n^{\sigma }}}\,.\end{aligned}}}$

収束の問題を無視できるように、とりあえずこれらを正式なディリクレ級数として扱うと、次のようになることに注意してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&={\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\mathbb {N} }(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}:n\in \mathbb {N} \}}(s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {D}}_{\operatorname {id} }^{\{p^{n}\}}(s)\\&=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {1}{(p^{n})^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}\sum _{n\in \mathbb {N} }\left({\frac {1}{p^{s}}}\right)^{n}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\end{aligned}}}$

それぞれの自然数は、素数の累乗への一意の乗法分解を持つからです。この組み合わせ論がオイラー積の公式の発想の元になっています。

もう一つは:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

ここで、μ ( n ) はメビウス関数である。この級数と、それに続く級数の多くは、メビウス反転とディリクレ畳み込みを既知の級数に適用することで得られる。例えば、ディリクレ指標 χ ( n )が 与えられた場合、

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n ^{s}}}}$

ここでL ( χ , s )はディリクレL関数である。

算術関数 fにディリクレ逆関数がある場合、つまり、 fとその逆関数とのディリクレ畳み込みが乗法単位元 を与える ような逆関数が存在する場合、逆関数のDGF はFの逆数で与えられます。 ${\displaystyle f^{-1}(n)}$${\textstyle \sum _{d|n}f(d)f^{-1}(n/d)=\delta _{n,1}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f^{-1}(n)}{n^{s}}}=\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right)^{-1}.}$

その他のアイデンティティとしては

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^ {s}}}}$

ここでトーティエント関数は、 ${\displaystyle \varphi (n)}$

${\displaystyle {\frac {\zeta (sk)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{k}(n)}{n^ {s}}}}$

ここでJ _{k は}ジョルダン関数であり、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-2a)}{\zeta (2s-2a)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]&{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}\end{aligned}}}$

ここでσ _a ( n )は除数関数である。除数関数d  =  σ ₀への特殊化により、

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{2}(s)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}\\[6pt]{\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.\end{aligned}}}$

ゼータ関数の対数は次のように与えられる。

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

同様に、

${\displaystyle -\zeta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\log(n)}{n^{s}}},\qquad \Re (s)>1.}$

ここでΛ( n )はフォン・マンゴルト関数である。対数微分は

${\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

これら最後の 3 つは、以下に示すディリクレ級数の導関数のより一般的な関係の特殊なケースです。

リウヴィル関数 λ ( n )が与えられると、

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

さらに別の例としてラマヌジャンの和があります。

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.}$

もう一つの例は、メビウス関数と素数オメガ関数に関するものである。^[1]

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}\equiv \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu ^{2}(n)}{n^{s}}}.}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}.}$

素数ゼータ関数のディリクレ級数は、リーマンゼータ関数を素数である添え字nについてのみ加算したものに類似しており、メビウス関数とゼータ関数の対数について加算することで与えられることがわかります。

${\displaystyle P(s):=\sum _{p{\text{ prime}}}p^{-s}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns).}$

既知のディリクレ級数表現に対応する和の他の例をリストした大きな表形式のカタログがここにあります。

加法的な（乗法的な）fに対応するディリクレ級数 DGF の例を、それぞれnの異なる素因数（重複の有無にかかわらず）の数を数える素オメガ関数とに対して示します。たとえば、これらの関数の最初の の DGF は、 の任意の複素数sに対して、リーマンゼータ関数と素ゼータ関数の積として表されます。 ${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\cdot P(s),\Re (s)>1.}$

fが乗法関数で、その DGF F がすべての に対して絶対収束し、p が任意の素数である場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle \Re (s)>\sigma _{a,f}}$

${\displaystyle \left(1+f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)}{n^{s}}}=\left(1-f(p)p^{-s}\right)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)\mu (n)\mu (\gcd(p,n))}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f},}$

ここで、はメビウス関数である。もう一つのユニークなディリクレ級数恒等式は、 GCD入力で 評価されるある算術関数fの総和関数を生成する。${\displaystyle \mu (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}f(\gcd(k,n))\right){\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}\times \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}},\forall \Re (s)>\sigma _{a,f}+1.}$

また、2 つの算術関数fとgの DGF の間には、メビウス反転によって関連付けられる式があります。特に、 の場合、メビウス反転により となります。したがって、FとG がそれぞれfとgの 2 つの DGF である場合、これらの 2 つの DGF を次の式で関連付けることができます。 ${\displaystyle g(n)=(f\ast 1)(n)}$${\displaystyle f(n)=(g\ast \mu )(n)}$

${\displaystyle F(s)={\frac {G(s)}{\zeta (s)}},\Re (s)>\max(\sigma _{a,f},\sigma _{a,g}).}$

ディリクレ級数の指数関数の公式は知られている。 がである算術fのDGFである場合、DGF Gは和で表される。 ${\displaystyle F(s)=\exp(G(s))}$${\displaystyle f(1)\neq 0}$

${\displaystyle G(s)=\log(f(1))+\sum _{n\geq 2}{\frac {(f^{\prime }\ast f^{-1})(n)}{\log(n)\cdot n^{s}}},}$

ここで はfのディリクレ逆数であり、fの算術微分はすべての自然数に対して次の式で与えられます。 ${\displaystyle f^{-1}(n)}$${\displaystyle f^{\prime }(n)=\log(n)\cdot f(n)}$${\displaystyle n\geq 2}$

複素数の 列が与えられたとき、その値を考えてみる。${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

複素変数sの関数として。これが意味を成すためには、上記の無限級数の収束特性を考慮する必要があります。

が複素数の有界な列である場合、対応するディリクレ級数fは開半平面 Re( s ) > 1 上で絶対収束します。一般に、a _n = O( n ^k ) の場合、級数は半平面 Re( s ) >  k + 1上で絶対収束します 。 ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

合計の集合が

${\displaystyle a_{n}+a_{n+1}+\cdots +a_{n+k}}$

がnおよびk ≥ 0に対して有界である場合、上記の無限級数はsの開半平面上で収束し、 Re( s ) > 0となる。

どちらの場合も、f は対応する開いた半平面上の 解析関数です。

一般に、が に対して収束し、 に対して発散する場合、 はディリクレ級数の収束横座標です。これは、べき級数に対する収束半径のディリクレ級数に対する類似物です。ただし、ディリクレ級数の場合はより複雑です。絶対収束と一様収束は、異なる半平面で発生する可能性があります。 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$${\displaystyle \Re (s)<\sigma .}$

多くの場合、ディリクレ級数に関連付けられた解析関数は、より大きな領域への解析拡張を持ちます。

仮定する

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}}$

収束する${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {C} ,\Re (s_{0})>0.}$

命題1。 ${\displaystyle A(N):=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=o(N^{s_{0}}).}$

証明。次の点に注意してください。

${\displaystyle (n+1)^{s}-n^{s}=\int _{n}^{n+1}sx^{s-1}\,dx={\mathcal {O}}(n^{s-1}).}$

定義する

${\displaystyle B(N)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}=\ell +o(1)}$

どこ

${\displaystyle \ell =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}.}$

部分ごとに合計する と

${\displaystyle {\begin{aligned}A(N)&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s_{0}}}}n^{s_{0}}\\&=B(N)N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}B(n)\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=(B(N)-\ell )N^{s_{0}}+\sum _{n=1}^{N-1}(B(n)-\ell )\left(n^{s_{0}}-(n+1)^{s_{0}}\right)\\&=o(N^{s_{0}})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {o}}(n^{s_{0}-1})\\&=o(N^{s_{0}})\end{aligned}}}$

命題2.定義する

${\displaystyle L={\begin{cases}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}&{\text{If convergent}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

それから：

${\displaystyle \sigma =\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {\ln |A(N)-L|}{\ln N}}=\inf _{\sigma }\left\{A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma })\right\}}$

ディリクレ級数の収束の横座標です。

証明。定義から

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\qquad A(N)-L={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon })}$

となることによって

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}&=A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=(A(N)-L)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}(A(n)-L)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&={\mathcal {O}}(N^{\sigma +\varepsilon -s})+\sum _{n=1}^{N-1}{\mathcal {O}}(n^{\sigma +\varepsilon -s-1})\end{aligned}}}$

これは、 が発散するたびに収束します。したがって、 が発散するような任意の に対して、となり 、これで証明は完了です。 ${\displaystyle N\to \infty }$${\displaystyle \Re (s)>\sigma .}$${\displaystyle s}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$${\displaystyle \sigma \geq \Re (s),}$

命題 3.が収束する場合、として収束し、 は有理型である（上に極を持たない）。${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\displaystyle f(\sigma +it)=o\left({\tfrac {1}{\sigma }}\right)}$${\displaystyle \sigma \to 0^{+}}$${\displaystyle f(s)}$${\displaystyle \Re (s)=0}$

証明 。

${\displaystyle n^{-s}-(n+1)^{-s}=sn^{-s-1}+O(n^{-s-2})}$

そして部分ごとの合計により、${\displaystyle A(N)-f(0)\to 0}$${\displaystyle \Re (s)>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}}{n^{s}}}\\&=\lim _{N\to \infty }A(N)N^{-s}+\sum _{n=1}^{N-1}A(n)(n^{-s}-(n+1)^{-s})\\&=s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}+\underbrace {{\mathcal {O}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-2}\right)} _{={\mathcal {O}}(1)}\end{aligned}}}$

ここで、n  >  NとなるN を求めます。${\displaystyle |A(n)-f(0)|<\varepsilon }$

${\displaystyle s\sum _{n=1}^{\infty }A(n)n^{-s-1}=\underbrace {sf(0)\zeta (s+1)+s\sum _{n=1}^{N}(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{={\mathcal {O}}(1)}+\underbrace {s\sum _{n=N+1}^{\infty }(A(n)-f(0))n^{-s-1}} _{<\varepsilon |s|\int _{N}^{\infty }x^{-\Re (s)-1}\,dx}}$

したがって、任意のに対して、となるようなが存在する: ^[2]${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle |f(\sigma +it)|<C+\varepsilon |\sigma +it|{\frac {1}{\sigma }}.}$

環R上の形式的ディリクレ級数は、正の整数からRまでの関数aに関連付けられている。

${\displaystyle D(a,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a(n)n^{-s}\ }$

加算と乗算は次のように定義される。

${\displaystyle D(a,s)+D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a+b)(n)n^{-s}\ }$

${\displaystyle D(a,s)\cdot D(b,s)=\sum _{n=1}^{\infty }(a*b)(n)n^{-s}\ }$

どこ

${\displaystyle (a+b)(n)=a(n)+b(n)\ }$

は点ごとの合計であり、

${\displaystyle (a*b)(n)=\sum _{k\mid n}a(k)b(n/k)\ }$

はaとbのディリクレ畳み込みです。

形式ディリクレ級数は環 Ω 、つまりR代数を形成し、零関数を加法零元とし、関数δ を 乗法恒等式としてδ (1) = 1, δ ( n ) = 0 (n > 1)で定義する。この環の元は、 (1) が R で可逆であれば可逆である。R が可換ならΩも可換であり、Rが整域ならΩ も可換である。零でない乗法関数は、Ω の単位群の部分群を形成する。

C上の形式的ディリクレ級数の環は可算多変数の形式的冪級数の環と同型である。^[3]

与えられた

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

それを示すことは可能である

${\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}$

右辺が収束すると仮定する。完全な乗法関数ƒ( n )について、Re( s )>σ0_で級数が収束すると仮定すると、

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

Re( s ) > σ ₀の場合は収束します。ここで、Λ( n ) はフォン・マンゴルト関数です。

仮定する

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

そして

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}$

F ( s ) とG ( s )の両方がs > aかつs > bに対して絶対収束する場合、

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

a = bかつƒ ( n ) = g ( n ) ならば、

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

すべての正の整数に対して、関数fのx、は、 のディリクレ生成関数(DGF) F (またはf上のディリクレ級数)から次の積分公式を使用して復元できます。ただし、のときは、DGF Fの絶対収束の横軸は^[4]です。${\displaystyle x\geq 1}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \sigma >\sigma _{a,f}}$

${\displaystyle f(x)=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x^{\sigma +it}F(\sigma +it)dt.}$

また、 fのDGF F を定義するfの加算関数のメリン変換を反転して、ディリクレ級数の係数を取得することもできます(以下のセクションを参照)。この場合、ペロンの定理に関連する複雑な輪郭積分式に到達します。実際には、 Tの関数としての上記の式の収束率は可変であり、ディリクレ級数F がゆっくりと収束する級数として符号の変化に敏感である場合、正式な極限を取らずにこの式を使用してFの係数を近似するには、非常に大きなT が必要になる場合があります。

アポストルの本に記載されている前の式の別の変形は、 と任意の実数( と表記) に対する次の形式の代替和の積分式を提供します。 ${\displaystyle c,x>0}$${\displaystyle \Re (s)\equiv \sigma >\sigma _{a,f}-c}$${\displaystyle \Re (s):=\sigma }$

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}^{\prime }{\frac {f(n)}{n^{s}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }D_{f}(s+z){\frac {x^{z}}{z}}dz.}$

ディリクレ級数の逆メリン変換をsで割ると、ペロンの公式 で与えられる。さらに、がの列の（正式な）通常の生成関数である場合、生成関数列 のディリクレ級数の積分表現は^[5]で与えられる。 ${\textstyle F(z):=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}}$${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle \{f_{n}z^{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}z^{n}}{(n+1)^{s}}}={\frac {(-1)^{s-1}}{(s-1)!}}\int _{0}^{1}\log ^{s-1}(t)F(tz)\,dt,\ s\geq 1.}$

前の式の左側の展開を効果的に生成する、数列の通常の生成関数上の関連する微分および級数ベースの生成関数変換の別のクラスは、それぞれ次のように定義されます。 ^{[6] [7]}

ディリクレ級数生成関数によって生成される シーケンスa _{n は、次の式に対応します。}

${\displaystyle \zeta (s)^{m}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

ここでζ ( s )はリーマンゼータ関数であり、通常の生成関数は次のようになる。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=x+{m \choose 1}\sum _{a=2}^{\infty }x^{a}+{m \choose 2}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }x^{ab}+{m \choose 3}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }x^{abc}+{m \choose 4}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }x^{abcd}+\cdots }$

f が対応するDGF F を持つ算術関数であり、fの要約関数が次のように定義される 場合

${\displaystyle S_{f}(x):={\begin{cases}\sum _{n\leq x}f(n),&x\geq 1;\\0,&0<x<1,\end{cases}}}$

すると、 Fは、における総和関数のメリン変換で表すことができる。つまり、 ${\displaystyle -s}$

${\displaystyle F(s)=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {S_{f}(x)}{x^{s+1}}}dx,\Re (s)>\sigma _{a,f}.}$

および任意の自然数に対して、 fのDGF Fの近似値は次のように与えられる。 ${\displaystyle \sigma :=\Re (s)>0}$${\displaystyle N\geq 1}$

${\displaystyle F(s)=\sum _{n\leq N}f(n)n^{-s}-{\frac {S_{f}(N)}{N^{s}}}+s\cdot \int _{N}^{\infty }{\frac {S_{f}(y)}{y^{s+1}}}dy.}$

• 一般ディリクレ級数
• ゼータ関数の正規化
• オイラー積
• ディリクレ畳み込み

• アポストル、トム・M. (1976)、解析的数論入門、数学の学部テキスト、ニューヨーク-ハイデルベルグ：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90163-3、MR  0434929、Zbl  0335.10001
• ハーディ、GH ; リース、マルセル (1915)。ディリクレ級数の一般理論。ケンブリッジ数学論文集。第18巻。ケンブリッジ大学出版局。
• GH ハーディ著「ディリクレ級数の一般理論」。コーネル大学図書館歴史数学モノグラフ。{再版} コーネル大学図書館デジタルコレクション
• Gould, Henry W.; Shonhiwa, Temba (2008). 「興味深いディリクレ級数のカタログ」Miss. J. Math. Sci . 20 (1). 2011-10-02 にオリジナルからアーカイブ。
• Mathar, Richard J. (2011). 「乗法算術関数のディリクレ級数の調査」. arXiv : 1106.4038 [math.NT].
• テネンバウム、ジェラルド(1995)。解析的および確率的数論入門。ケンブリッジ高等数学研究。第 46 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-41261-7.ZBL0831.11001  。​
• 「ディリクレ級数」。PlanetMath 。